累乗と累乗根の練習問題

Question 1

次の値を求めよ。
(1) √[3]-27
(2) -√[4]81
(3) √[6]0.000001
(4) √[3]0.125

Accepted Answer

(1) − 27の3乗根、つまりx³ = − 27となるxは − 3である。
（注） x³=-27
⇔ x³+27=0
arrayc
⇔ (x+3)(x²-3x+9)=0
正
array
よって
√[3]-27=-3
(2) 81の4乗根、 つまりx⁴ = 81となるxは − 3と3である。 -√[4]81は負の方を表すから
（注） x⁴=81
⇔ x⁴-81=0
⇔ (x²-9)(x²+9)=0
arrayc
⇔ (x-3)(x+3)(x²+9)=0
正
array
-√[4]81=-3
（注）正の方の√[4]81=3にマイナスがつき − 3となると考えても良い
(3) 0.000001の6乗根、 つまりx⁶ = 0.000001となるxは − 0.1と0.1である。 √[6]0.000001は正の方を表すから
（注） x⁶=0.000001
⇔ x⁶-0.000001=0
⇔ (x³-0.001)(x³+0.001)=0
arrayc
(x-0.1)(x²+0.1x+0.01)=0
正
array
または
arrayc
(x+0.1)(x²-0.1x+0.01)=0
正
array
√[6]0.000001=0.1
(4) 0.125の3乗根、 つまりx³ = 0.125となるxは0.5である。よって
（注） x³=0.125
⇔ x³-0.125=0
arrayc
⇔ (x-0.5)(x²+0.5x+0.25)=0
正
array
√[3]0.125=0.5
aのn乗根の表し方でもみたように、 負の数aのn乗根は存在しないことがある。 以下では簡単のため、特にことわりのない限り正の数aのn乗根について考えることにする。
一般に、累乗根について、次のことが成り立つ。

Question 2

指数法則を利用して、累乗の基本性質の4.～6.を証明せよ。

Accepted Answer

・4.(√[n]a)^m0であり
{(√[n]a)^m}^n=(√[n]a)^mn （注） 指数法則2.
={(√[n]a)^n}^m （注） 指数法則2.
=a^m （注） 累乗根の基本性質1.
であるから、左辺の(√[n]a)^mは、a^mのn乗根のうち正のものを表す。 これは、右辺の√[n]a^mにほかならない。
・5.√[m]√[n]a0であり
{√[m]√[n]a}^mn={(√[m]√[n]a)^m}^n （注） 指数法則2.
=(√[n]a)^n （注） 累乗根の基本性質1.
=a （注） 累乗根の基本性質1.
であるから、左辺の√[m]√[n]aは、aのmn乗根のうち正のものを表す。 これは、右辺の√[mn]aにほかならない。
・6.√[n]a^m0であり
{√[n]a^m}^nl={(√[n]a^m)^n}^l （注） 指数法則2.
=(a^m)^l （注） 累乗根の基本性質1.
=a^ml （注） 指数法則2.
であるから、左辺の√[n]a^mは、a^mlのnl乗根のうち正のものを表す。 これは、右辺の√[nl]a^mlにほかならない。

Question 3

次の式を簡単にせよ。
(1) √[3]4√[3]16
(2) √[5]96√[5]3
(3) √[3]216
(4) √[3]√729
(5) √[6]8
(6) √[15]27

Accepted Answer

(1) √[3]4√[3]16=√[3]4×16
=√[3]4³=4
（注） 累乗根の基本性質2.
(2) √[5]96√[5]3=√[5]96/3
=√[5]32=√[5]2⁵=2
（注） 累乗根の基本性質3.
(3) √[3]216=√[3]6³=6
(4) √[3]√729=√[6]729
=√[6]3⁶=3
（注） 累乗根の基本性質5.
(5) √[6]8=√[6]2³=√[2・3]2^1・3
=√[2]2¹=√2
（注） 累乗根の基本性質6.
(6) √[15]27=√[15]3³=√[5・3]3^1・3
=√[5]3
（注） 累乗根の基本性質6.

累乗と累乗根の練習問題（全3問・解答つき）

問題1累乗根の値を求める-その1-

問題2累乗根の値を求める-その2-

覚えておきたい事項（1問）

暗記1累乗根の基本性質の証明