数学A 第4章 整数の性質 — 整数の応用

2つの整数 a,b を m で割った時の余りを、それぞれ r,r' とすると、次のことが成り立つ。

1. a+b を m で割った余りは、 r+r' を m で割った余りと等しい。
2. a−b を m で割った余りは、 r−r' を m で割った余りと等しい。
3. ab を m で割った余りは、 rr' を m で割った余りと等しい。
4. a^n を m で割った余りは、 r^n を m で割った余りと等しい（ n は正の整数）。

a,b,c を整数、 m を正の整数とするとき、次のことが成り立つ。

1. a≡ a±odm
2. a≡ b±odm ならば、 b≡ a±odm
3. a≡ b±odm かつ b≡ c±odm ならば、 a≡ c±odm

a,b,c,d を整数、 m,n を正の整数とし、以下 m を法とする。 a≡ c かつ b≡ d のとき、次のことが成り立つ。

1. a+b≡ c+d
2. a-b≡ c-d
3. ab≡ cd
4. a^n≡ c^n

a,b,c の最大公約数が1であるピタゴラス数は、 a を奇数、 b を偶数とすると、互いに素で一方が偶数、他方が奇数であるような自然数 m>n を用いて

a=m²-n², b=2mn, c=m²+n²

の形にすべて表せる。 実際、 m=2 、 n=1 とすると (3,4,5) が、 m=3 、 n=2 とすると (5,12,13) が得られる。

a,b を整数、 m,n を互いに素な正の整数とするとき、 x≡ a±od m かつ x≡ b±od n を満たす整数 x は、 mn を法としてただ1つ定まる。

例えば、3で割ると2余り、5で割ると3余る整数 x は、 x≡8±od15 、すなわち 8,23,38,… である。

p を素数とし、整数 a が p の倍数でないとき

a^p-1≡1±od p

が成り立つ。

例えば、 p=7 、 a=2 のとき、 2⁶=64=7・9+1 であるから 2⁶≡1±od7 となる。