数学A 第4章整数の性質 — 整数の応用

合同式

和・差・積の余り

5+6を4で割った余りは， $5+6=11$ であるから， $11=4・2+3$ より3である．

これは，5を4で割った余りの1と，6を4で割った余りの2を加えた3と等しい．

すなわち，「足してから割った余り」と「割ってから足した余り」が等しくなっている．一般的に次のことが言える．

定理1和・差・積の余り

2つの整数 $a,b$ を $m$ で割った時の余りを，それぞれ $r,r'$ とすると，次のことが成り立つ．

$a+b$ を $m$ で割った余りは， $r+r'$ を $m$ で割った余りと等しい．
$a-b$ を $m$ で割った余りは， $r-r'$ を $m$ で割った余りと等しい．
$ab$ を $m$ で割った余りは， $rr'$ を $m$ で割った余りと等しい．

証明

∎

問題1和・差・積の余り

$5¹⁰⁰$ を4で割った余りを求めよ．
$2¹⁰⁰$ を7で割った余りを求めよ．

解答を見る

なし

合同式とは何か

定義2合同式

2つの整数 $a,b$ を $m$ で割った時の余りが等しいとき， $a$ と $b$ は $m$ を法として合同である，といい

$a\equiv b\pmod m$

と表す．

合同式の性質

合同式については，次のことが成り立つ．

定理3合同式

$a,b,c$ を整数， $m$ を正の整数とするとき，次のことが成り立つ．

$a\equiv a\pmodm$
$a\equiv b\pmodm$ ならば， $b\equiv a\pmodm$
$a\equiv b\pmodm$ かつ $b\equiv c\pmodm$ ならば， $a\equiv c\pmodm$

定理4合同式の性質

$a,b,c,d$ を整数， $m,n$ を正の整数とし，以下 $m$ を法とする． $a\equiv c$ かつ $b\equiv d$ のとき，次のことが成り立つ．

$a+b\equiv c+d$
$a-b\equiv c-d$
$ab\equiv cd$
$a^n\equiv c^n$

問題2倍数の判定

なし

解答を見る

なし

整数の応用的な論点

ピタゴラス数

中国式剰余定理

フェルマーの小定理

最終更新: 2026-08-09

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数学A 第4章 整数の性質 — 整数の応用

合同式