数学A 第2章 確率 — 加法定理と排反事象

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和事象と積事象

和事象と積事象について

さいころを1回投げる試行を考えよう．この試行において，標本空間 U を

U={1,2,3,4,5,6}

とすると，「偶数の目が出る」という事象 A ，「3以下の目が出る」という事象 B は

A={2,4,6},B={1,2,3}

と表すことができる．

いま，「偶数の目が出るか，または，3以下の目が出る」という事象は， A と B の和集合で

A∪B={2,4,6}∪{1,2,3}={1,2,3,4,6}

と表すことができる．

また，「偶数の目が出て，かつ，3以下の目が出る」という事象は， A と B の共通部分で

A∩B={2,4,6}∩{1,2,3}={2}

と表すことができる．

§

定理1和事象と積事象

標本空間 U の部分集合で表される2つの事象 A,B において「 A または B 」を A と B の

和事象(sum event)

という．和事象は和集合 A∪B で表される（図参照）.

また「 A かつ B 」を A と B の

積事象(product event)

という．積事象は共通部分 A∩B で表される （図参照）.

加法定理と排反事象について

加法定理

ある試行の標本空間 U と，事象 A,B について考える．

事象 A,B に包含と排除の原理を用いると

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

が成り立つ．この両辺を標本空間 U の根元事象の個数 n(U) で割ると

n(A∪B)n(U)=n(A)/n(U)+n(B)/n(U)-n(A∩B)n(U) ∴P(A∪B)=P(A)+P(B) -P(A∩B) ①

が成り立つ．

この ① のことを，確率の加法定理(addition theorem)という．

排反事象

さいころを1回投げる試行において，偶数の目が出る事象 A={2,4,6} と，奇数の目が出る事象 B={1,3,5} は同時に起こることがない．別のいいかたをすれば，同時に起こらない事象の積事象は，次のように空事象になる．

A∩B={2,4,6}∩{1,3,5}=∅

一般に，2つの事象 A,B が同時に起こることがないとき， A と B は互いに排反（はいはん）(exclusive)である，または，排反事象(exclusive event)であるという．このとき， A と B の積事象は空事象である．

A∩B=∅

余事象とその確率

余事象

事象 A に対して，“ A が起こらない”という事象を A の余事象(complementary event)といい， A で表す．余事象 A は，事象 A を表す集合 A の補集合 A で表される．

余事象 A のさらに余事象は，“ A が起こる”という事象 A にもどる．

事象 A と A は互いに排反で，それらの和事象 A∪A は標本空間 U である．

余事象の確率

補集合の要素の個数より

n(A)=n(U)-n(A)

が成り立つ．この両辺を， n(U) で割ると

n(A)/n(U)=1-n(A)/n(U) ∴P(A)=1-P(A)

が成り立つ．

最終更新: 2026-08-10