数学II 第7章積分法 — 積分の応用

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積分法の仕上げとして、積分による面積の応用的な計算と、積分を含む関数の方程式について学んでいこう。

絶対値を含んだ関数の積分

絶対値を含んだ関数の定積分について

『積分法』の仕上げとして、積分による面積の応用的な計算と、積分を含む関数の方程式について学んでいこう。

絶対値を含んだ関数の定積分の例として $\int|x|dx ①$ について考えてみよう。

この積分を計算するには、『微積分学の基本定理』で学んだように、 $|x|$ の原始関数の1つを求めればよいのだが、絶対値を含んだ関数の原始関数は簡単には表せない。そこで、以下のように積分区間を分けて計算していくことになる。

$|x|$ は、場合にわけて表すと $|x|=x(x≧0) -x(x<0)$ であるから、 $y=|x|$ のグラフは次の図のようになり、定積分の定義から $①$ はこの図の網掛け部分の面積を表しているのがわかる。

原点で折れ曲がるV字型のグラフ y=|x|。右半分は直線 y=x、左半分は直線 y=-x で、x軸上の -1 から 2 までの間でグラフと x軸が囲む部分が網掛けされている。

$①$ は『定積分の性質』の3（積分区間をとちゅうで区切ってよい、という式）を用いて $①=\int|x|dx+\int|x|dx =\int(-x)dx+\intxdx$ と変形できるので、『定積分の基本公式』での計算が可能となる。

問題1絶対値を含む関数の定積分～その1～

次の定積分を求めよ。

$\int|x-1|dx$
$\int|x²+x-2|dx$

解答を見る

$y=|x-1|$ とおくと、 $\int|x-1|dx$ の様子は次の図のようになるので

$\int|x-1|dx =\int|x-1|dx+\int|x-1|dx =\int{-(x-1)}dx+\int(x-1)dx ①$ ここで、 $x-1$ の原始関数の1つを $F(x)=(1/2)x²-x$ とおくと $①=[-F(x)]-1¹+[F(x)]1² ={-F(1)+F(-1)}+{F(2)-F(1)} =F(2)+F(-1)-2F(1) =(1/2・2²-2)+(1/2・(-1)²-(-1)) -2(1/2・1²-1) =5/2$

注同じ式を何度も書くのを避けるため、 $F(x)$ とおいて計算していく。

注上の図の三角形の面積を、 $（底辺）（高さ）（底辺）\times（高さ）\div2$ の公式で考えることにより、この値を求めることもできる。
$y=|x²+x-2|$ とおくと、 $x²+x-2=(x+2)(x-1)$ であるから、 $\int|x²+x-2|dx$ の様子は次の図のようになるので

$\int|x²+x-2|dx =\int|x²+x-2|dx+\int|x²+x-2|dx =\int{-(x²+x-2)}dx +\int(x²+x-2)dx ②$ ここで、 $x²+x-2$ の原始関数の1つを $F(x)=(1/3)x³+(1/2)x²-2x$ とおくと $②=[-F(x)]0¹+[F(x)]1² ={-F(1)+F(0)}+{F(2)-F(1)} =F(2)+F(0)-2F(1) =(1/3・2³+1/2・2²-2・2)+0 -2(1/3・1³+1/2・1²-2・1) =3$

注 $0≦ x≦1$ では $x²+x-2≦0$ 、 $1≦ x≦2$ では $x²+x-2≧0$ なので、 $x=1$ で区間を分けている。

注同じ式を何度も書くのを避けるため、 $F(x)$ とおいて計算していく。

問題2絶対値を含む関数の定積分～その2～

次の定積分をそれぞれ求めよ。

$\int|x-a|dx$ （ $a$ は定数とする）
$\int|x(x-a)|dx$ （ $a$ は正の定数とする）

解答を見る

- a) $a≦0$ のとき
  
  グラフは次の図のようになるので
  
  $\int|x-a|dx =\int(x-a)dx =-2a+2$
- b) $0< a<2$ のとき
  
  グラフは次の図のようになるので
  
  $\int|x-a|dx =\int(-x+a)dx+\int(x-a)dx =a²-2a+2$
- c) $2< a$ のとき
  
  グラフは次の図のようになるので
  
  $\int|x-a|dx =\int(-x+a)dx =2a-2$
以上a)～c)をまとめると

$a≦0$ のとき、 $-2a+2$

$0< a<2$ のとき、 $a²-2a+2$

$2≦ a$ のとき、 $2a-2$

注これらの値は、三角形の面積の公式や台形の面積の公式を使って求めることもできる。

注 $a=2$ のときは b) の $a²-2a+2$ も c) の $2a-2$ もどちらも $2$ になるので、まとめ方はこれでよい。
- a) $0< a<1$ のとき
  
  グラフは次の図のようになるので
  
  $\int|x(x-a)|dx =\int(x²-ax)dx+\int(-x²+ax)dx +\int(x²-ax)dx =a³/3+2/3$
- b) $1≦ a$ のとき
  
  グラフは次の図のようになるので
  
  $\int|x(x-a)|dx =\int(x²-ax)dx+\int(-x²+ax)dx =a$
以上a)、b)をまとめると

$0< a<1$ のとき、 $a³/3+2/3$

$1≦ a$ のとき、 $a$

注 $x(x-a)$ は $x=0$ と $x=a$ で $0$ になり、その間だけ負になる。折り返しが起こるのは $0≦ x≦ a$ の部分なので、この $a$ が積分区間 $-1≦ x≦1$ の中に入るか外に出るかで場合を分けている。

曲線の囲む面積

2曲線の囲む面積

x軸の上側にある2つの曲線 y=f(x) と y=g(x)。区間 a から b で、上側の曲線と x軸が囲む網掛け部分から、下側の曲線と x軸が囲む斜線部分を除いた太線の内側に S と書かれている。

区間 $a≦x≦b$ において、2つの関数 $y=f(x)$ 、 $y=g(x)$ のグラフが囲む上の図の太線内の面積 $S$ は、網掛け部分の面積から斜線部分の面積を引けばよいので $S=\intf(x)dx-\intg(x)dx =\int{f(x)-g(x)}dx ①$ と計算できる。

もし、 $g(x)≦0$ 、つまり $y=g(x)$ のグラフが $x$ 軸より下側にきている場合でも、次のように考え、同じように計算できる。

x軸の上を通る曲線 y=f(x) と、x軸の下を通る曲線 y=g(x)。区間 a から b で、x軸との間にできる上側の領域に S1、下側の領域に S2 と書かれている。

上の図のように $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S1$ 、 $y=g(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S2$ とする。 $S1=\intf(x)dx$ だが、 $g(x)≦0$ なので $S2=\int{-g(x)}dx$ と計算することに注意して $S=S1+S2 =\intf(x)dx+\int{-g(x)}dx =\int{f(x)-g(x)}dx$ となり、確かに $①$ と同じ式になっている。

定理12つの曲線が囲む面積

区間 $a≦x≦b$ において、 $f(x)≧ g(x)$ であるとき、関数 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ とで囲まれる面積 $S$ は $上側下側 S=\int{f(x)上側-g(x)下側}dx$ で与えられる。

区間 a から b で上側にある曲線 y=f(x) と下側にある曲線 y=g(x) にはさまれた部分が網掛けされ、その中に S と書かれている。区間の両端は破線で x軸まで下ろされている。

カバリエリの原理

上下に並んだ2つの座標平面。上は曲線 y=f(x) と y=g(x) にはさまれた領域、下は曲線 y=f(x)-g(x) と x軸が囲む領域で、区間 a から b の同じ x で切った線分の長さがどちらも f(x)-g(x) であることが矢印で示されている。

$①$ でみたように、 $f(x)$ と $g(x)$ の差の関数である $f(x)-g(x)$ を区間 $a≦x≦b$ で積分するということは、見方を変えれば、 $y=f(x)-g(x)$ のグラフと $x$ 軸が区間 $a≦x≦b$ で囲む面積を求めていることと等しい（上の図参照）。

一般に「2つの平面図形をある一定方向に切ったときに切りとられる線分の長さが常に等しいならば、この2つの図形の面積は等しい」ことがいえ、これをカバリエリの原理 (principle of Cavalieri) という。

問題3曲線の囲む面積～その1～

2つの放物線 $y=x²-2x+2 ① y=-x²-2x-2 ②$ と $x=-1$ 、 $x=1$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。
区間 $1≦x≦3$ において、2つのグラフ $放物線：直線：放物線：y=2x²-4x-1 ③ 直線：y=-2x+3 ④$ にはさまれた図形の面積 $S$ を求めよ。

解答を見る

$①$ 、 $②$ のグラフは次の図のようになるから

$S=\int{(x²-2x+2) -(-x²-2x-2)}dx =2\int(x²+2)dx =2・2\int(x²+2)dx =4[(1/3)x³+2x]0¹ =4(1/3+2)-0=28/3$

注 $①$ は下に凸で最小値が $1$ 、 $②$ は上に凸で最大値が $-1$ なので、区間全体でつねに $①$ が上側にある。

注『対称な区間での定積分』を用いた。 $x²+2$ は偶関数なので $\int(x²+2)dx=2\int(x²+2)dx$ となる。
$③$ と $④$ の交点の $x$ 座標は $2x²-4x-1=-2x+3 \Leftrightarrow 2x²-2x-4=0 \Leftrightarrow x²-x-2=0 \Leftrightarrow (x+1)(x-2)=0$ より、 $x=-1, 2$ である。これより、グラフは次の図のようになるから

$S=\int{(-2x+3) -(2x²-4x-1)}dx +\int{(2x²-4x-1) -(-2x+3)}dx =\int(-2x²+2x+4)dx +\int(2x²-2x-4)dx ⑤$

注 $1≦ x≦2$ では直線 $④$ が上、 $2≦ x≦3$ では放物線 $③$ が上にあるので、交点 $x=2$ で区間を分けて $S=\int(④-③)dx+\int(③-④)dx$ と計算するということである。

$2x²-2x-4$ の原始関数の1つを $F(x)=2x³/3-x²-4x$ とおくと $⑤=[-F(x)]1²+[F(x)]2³ ={-F(2)+F(1)}+{F(3)-F(2)} =F(1)+F(3)-2F(2) =(2/3-1-4)+(2・3³/3-3²-4・3) -2(2・2³/3-2²-4・2) =(2/3-5)-3-2(16/3-12) =6$

注同じ式を何度も書くのを避けるため、 $F(x)$ とおいて計算していく。

問題4曲線の囲む面積～その2～（交点が積分区間になる図形）

2つのグラフ $放物線：直線：放物線：y=2x²-x+1 ① 直線：y=x+2 ②$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。
2つのグラフ $y=3x²-5x+2 ③ y=-x²+3x+3 ④$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

解答を見る

$①$ と $②$ の交点の $x$ 座標は $2x²-x+1=x+2 \Leftrightarrow 2x²-2x-1=0$ より、 $x=1\pm\sqrt3/2$ である。ここで $α=(1-\sqrt3)/2, β=(1+\sqrt3)/2$ とおくと、グラフは次の図のようになるから

$S=\int{(x+2)-(2x²-x+1)}dx =\int(-2x²+2x+1)dx =-2\int(x-α)(x-β)dx =-2{-1/6(β-α)³} =1/3((1+\sqrt3)/2-(1-\sqrt3)/2)³ =\sqrt3$

注 $α$ 、 $β$ は方程式 $-2x²+2x+1=0$ の解なので、 $-2x²+2x+1=-2(x-α)(x-β)$ と因数分解できる。

注『方程式の解を区間の端点とする積分』でみた $\int(x-α)(x-β)dx=-1/6(β-α)³$ を用いた。
$③$ と $④$ の交点の $x$ 座標は $3x²-5x+2=-x²+3x+3 \Leftrightarrow 4x²-8x-1=0$ より、 $x=2\pm\sqrt5/2$ である。ここで $α=(2-\sqrt5)/2, β=(2+\sqrt5)/2$ とおくと、グラフは次の図のようになるから

$S=\int{(-x²+3x+3) -(3x²-5x+2)}dx =\int(-4x²+8x+1)dx =-4\int(x-α)(x-β)dx =-4{-1/6(β-α)³} =2/3((2+\sqrt5)/2-(2-\sqrt5)/2)³ =10\sqrt5/3$

注 $α$ 、 $β$ は方程式 $-4x²+8x+1=0$ の解なので、 $-4x²+8x+1=-4(x-α)(x-β)$ と因数分解できる。

注『方程式の解を区間の端点とする積分』でみた $\int(x-α)(x-β)dx=-1/6(β-α)³$ を用いた。

問題5曲線の囲む面積～その3～（接点が積分区間になる図形）

2つのグラフ $放物線：直線：放物線：y=2x²-2\sqrt3x+2 ① 直線：y=2x-\sqrt3 ②$ と $y$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

解答を見る

$①$ と $②$ の交点の $x$ 座標は $2x²-2\sqrt3x+2=2x-\sqrt3 \Leftrightarrow 2x²-2(1+\sqrt3)x+2+\sqrt3=0$ より、 $x=(1+\sqrt3)/2$ （重解）である。ここで $α=(1+\sqrt3)/2$ とおくと、グラフは次の図のようになるから

下に凸の放物線①と直線②が1点で接し、接点に黒丸が付いている。y軸と接点の x座標 α との間で、放物線と直線にはさまれた部分が網掛けされている。

$S=∫{(2x²-2√3x+2) -(2x-√3)}dx =∫{2x²-2(1+√3)x+2+√3}dx =2∫(x-α)²dx =2[1/3(x-α)³]0^α =0-2/3(-α)³ =2/3((1+√3)/2)³ =2/3・(10+6√3)/8 =(5+3√3)/6$

基本的な積分方程式

積分方程式とは何か

$3x-2=0$ のように数の等式ではなく、 $3f(x)-2x=0$ のように関数の等式で与えられる方程式を関数方程式 (functional equation) とよぶ。上の方程式の解は、それぞれ $x=2/3$ 、 $f(x)=(2/3)x$ である。数の方程式では、解が数であるのに対し、関数方程式では、解は関数である点に注意しよう。

関数方程式の中でも、未知の関数が積分の中に現れるような方程式を積分方程式 (integral equation) という。

積分区間が定数の場合

問題6積分方程式～その1～（積分区間が定数の場合）

次の等式を満たす関数 $f(x)$ をそれぞれ求めよ。

$f(x)=2x²-x+\intf(t)dt$
$f(x)=x\intf(t)dt+\inttf(t)dt-1$

解答を見る

$\intf(t)dt$ は積分区間が定数なので、積分結果も定数となる。それゆえ、適当な定数 $A$ を用いて $\intf(t)dt=A ①$ とおくことができるので、与式は $f(x)=2x²-x+A ②$ と表すことができる。

$②$ をもちいて $①$ は $\int(2t²-t+A)dt=A$ となるので、これを計算していくと $\int(2t²-t+A)dt=A \Leftrightarrow [(2/3)t³-(1/2)t²+At]0²=A \Leftrightarrow 10/3+2A=A \Leftrightarrow A=-10/3$ $②$ より、求める関数 $f(x)$ は $f(x)=2x²-x-10/3$ である。

注 $②$ の $f(x)$ の $x$ を $t$ に書きかえて代入している。積分する変数は $t$ でも $x$ でも結果は変わらない。
$\intf(t)dt$ 、 $\inttf(t)dt$ は積分区間が定数なので、積分結果も定数となる。それゆえ、適当な定数 $A$ 、 $B$ を用いて $\intf(t)dt=A ③ \inttf(t)dt=B ④$ とおくことができるので、与式は $f(x)=Ax+B-1 ⑤$ と表すことができる。

まず、 $⑤$ をもちいて $③$ は $\int(At+B-1)dt=A$ となるので、これを計算していくと $\int(At+B-1)dt=A \Leftrightarrow \intAtdt+\int(B-1)dt=A \Leftrightarrow 0+2\int(B-1)dt=A \Leftrightarrow 2[(B-1)t]0¹=A \Leftrightarrow 2(B-1)=A \Leftrightarrow A-2B=-2 ⑥$

注『対称な区間での定積分』を用いた。 $At$ は奇関数なので $\intAtdt=0$ 、 $B-1$ は偶関数なので $\int(B-1)dt=2\int(B-1)dt$ となる。

また、 $⑤$ をもちいて $④$ は $\intt(At+B-1)dt=B$ となるので、これを計算していくと $\intt(At+B-1)dt=B \Leftrightarrow \int{At²+(B-1)t}dt=B \Leftrightarrow \intAt²dt+\int(B-1)tdt=B \Leftrightarrow 2\intAt²dt+0=B \Leftrightarrow 2[(A/3)t³]0¹=B \Leftrightarrow (2/3)A=B ⑦$

注『対称な区間での定積分』を用いた。今度は $At²$ が偶関数、 $(B-1)t$ が奇関数である。

$⑥$ と $⑦$ を満たす $A$ 、 $B$ を求めると、 $A=6$ 、 $B=4$ となるので、 $⑤$ より、求める関数 $f(x)$ は $f(x)=6x+3$ である。

注 $⑦$ の $B=(2/3)A$ を $⑥$ に代入すると $A-(4/3)A=-2$ 、つまり $-(1/3)A=-2$ となり $A=6$ 、これより $B=4$ である。

積分区間に変数を含む場合

問題7積分方程式～その2～（積分区間に変数を含む場合）

次の等式を満たす関数 $f(x)$ および定数 $a$ の値を求めよ。 $\intf(t)dt=x²-2x+a$
次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。 $f(x)+\inttf'(t)dt=(3/2)x⁴-3x²+1$

解答を見る

与式の両辺を $x$ で微分すると $d/dx\intf(t)dt=d/dx(x²-2x+a) ∴f(x)=2x-2$

注『微積分学の基本定理』を使った。

また、与式に $x=1$ を代入すると $\intf(t)dt=1²-2・1+a \Leftrightarrow 0=-1+a \Leftrightarrow a=1$

注 $\intf(t)dt=0$ である。
与式の両辺を $x$ で微分すると $d/dx{f(x)+\inttf'(t)dt} =d/dx((3/2)x⁴-3x²+1) ∴f'(x)+xf'(x)=6x³-6x \Leftrightarrow (1+x)f'(x)=6x(x+1)(x-1)$

注『微積分学の基本定理』を使った。

この式がいかなる $x$ の値でも成り立つから、 $f'(x)=6x(x-1)=6x²-6x$ である。これより $は定数 f(x)=2x³-3x²+C (C は定数) ①$

注 $x\neq-1$ のときは両辺を $1+x$ で割って $f'(x)=6x(x-1)$ が得られる。 $f'(x)$ は多項式でとぎれずにつながっているので、 $x=-1$ のときもこの式が成り立つ。

また、与式に $x=0$ を代入すると $f(0)+\inttf'(t)dt=3/2・0⁴-3・0²+1 \Leftrightarrow f(0)=1$

注 $\inttf'(t)dt=0$ である。

$①$ に $x=0$ を代入すると $f(0)=C$ これより、 $C=1$ であるから、 $f(x)=2x³-3x²+1$ となる。

最終更新: 2026-08-13

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質問の内容

数学II 第7章 積分法 — 積分の応用

絶対値を含んだ関数の積分

絶対値を含んだ関数の定積分について

問題1絶対値を含む関数の定積分～その1～

問題2絶対値を含む関数の定積分～その2～

曲線の囲む面積

2曲線の囲む面積

定理12つの曲線が囲む面積

カバリエリの原理

問題3曲線の囲む面積～その1～

問題4曲線の囲む面積～その2～（交点が積分区間になる図形）

問題5曲線の囲む面積～その3～（接点が積分区間になる図形）

基本的な積分方程式

積分方程式とは何か

積分区間が定数の場合

問題6積分方程式～その1～（積分区間が定数の場合）

積分区間に変数を含む場合

問題7積分方程式～その2～（積分区間に変数を含む場合）

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