積分の応用の練習問題（全7問・解答つき）

1. y=|x-1| とおくと、∫|x-1|dx の様子は次の図のようになるので

   

   ∫|x-1|dx =∫|x-1|dx+∫|x-1|dx =∫{-(x-1)}dx+∫(x-1)dx ① ここで、 x-1 の原始関数の1つを F(x)=1/2x²-x とおくと ①=[-F(x)]-1¹+[F(x)]1² ={-F(1)+F(-1)}+{F(2)-F(1)} =F(2)+F(-1)-2F(1) =(1/2・2²-2)+(1/2・(-1)²-(-1)) -2(1/2・1²-1) =5/2

2. y=|x²+x-2| とおくと、 x²+x-2=(x+2)(x-1) であるから、∫|x²+x-2|dx の様子は次の図のようになるので

   

   ∫|x²+x-2|dx =∫|x²+x-2|dx+∫|x²+x-2|dx =∫{-(x²+x-2)}dx +∫(x²+x-2)dx ② ここで、 x²+x-2 の原始関数の1つを F(x)=1/3x³+1/2x²-2x とおくと ②=[-F(x)]0¹+[F(x)]1² ={-F(1)+F(0)}+{F(2)-F(1)} =F(2)+F(0)-2F(1) =(1/3・2³+1/2・2²-2・2)+0 -2(1/3・1³+1/2・1²-2・1) =3

1. • a) a≦0 のとき

     グラフは次の図のようになるので

     

     ∫|x-a|dx =∫(x-a)dx =-2a+2

   • b) 0< a<2 のとき

     グラフは次の図のようになるので

     

     ∫|x-a|dx =∫(-x+a)dx+∫(x-a)dx =a²-2a+2

   • c) 2< a のとき

     グラフは次の図のようになるので

     

     ∫|x-a|dx =∫(-x+a)dx =2a-2

   以上a)～c)をまとめると

   a≦0 のとき、 -2a+2

   0< a<2 のとき、 a²-2a+2

   2≦ a のとき、 2a-2

2. • a) 0< a<1 のとき

     グラフは次の図のようになるので

     

     ∫|x(x-a)|dx =∫(x²-ax)dx+∫(-x²+ax)dx +∫(x²-ax)dx =a³/3+2/3

   • b) 1≦ a のとき

     グラフは次の図のようになるので

     

     ∫|x(x-a)|dx =∫(x²-ax)dx+∫(-x²+ax)dx =a

   以上a)、b)をまとめると

   0< a<1 のとき、 a³/3+2/3

   1≦ a のとき、a

1. ①、② のグラフは次の図のようになるから

   

   S=∫{(x²-2x+2) -(-x²-2x-2)}dx =2∫(x²+2)dx =2・2∫(x²+2)dx =4[1/3x³+2x]0¹ =4(1/3+2)-0=28/3

2. ③ と ④ の交点の x 座標は 2x²-4x-1=-2x+3 ⇔ 2x²-2x-4=0 ⇔ x²-x-2=0 ⇔ (x+1)(x-2)=0 より、 x=-1, 2 である。これより、グラフは次の図のようになるから

   

   S=∫{(-2x+3) -(2x²-4x-1)}dx +∫{(2x²-4x-1) -(-2x+3)}dx =∫(-2x²+2x+4)dx +∫(2x²-2x-4)dx ⑤

   2x²-2x-4 の原始関数の1つを F(x)=2x³/3-x²-4x とおくと ⑤=[-F(x)]1²+[F(x)]2³ ={-F(2)+F(1)}+{F(3)-F(2)} =F(1)+F(3)-2F(2) =(2/3-1-4)+(2・3³/3-3²-4・3) -2(2・2³/3-2²-4・2) =(2/3-5)-3-2(16/3-12) =6

1. ① と ② の交点の x 座標は 2x²-x+1=x+2 ⇔ 2x²-2x-1=0 より、 x=1±√3/2 である。ここで α=(1-√3)/2, β=(1+√3)/2 とおくと、グラフは次の図のようになるから

   

   S=∫{(x+2)-(2x²-x+1)}dx =∫(-2x²+2x+1)dx =-2∫(x-α)(x-β)dx =-2{-1/6(β-α)³} =1/3((1+√3)/2-(1-√3)/2)³ =√3

2. ③ と ④ の交点の x 座標は 3x²-5x+2=-x²+3x+3 ⇔ 4x²-8x-1=0 より、 x=2±√5/2 である。ここで α=(2-√5)/2, β=(2+√5)/2 とおくと、グラフは次の図のようになるから

   

   S=∫{(-x²+3x+3) -(3x²-5x+2)}dx =∫(-4x²+8x+1)dx =-4∫(x-α)(x-β)dx =-4{-1/6(β-α)³} =2/3((2+√5)/2-(2-√5)/2)³ =10√5/3

① と ② の交点の x 座標は 2x²-2√3x+2=2x-√3 ⇔ 2x²-2(1+√3)x+2+√3=0 より、 x=(1+√3)/2（重解）である。ここで α=(1+√3)/2 とおくと、グラフは次の図のようになるから

S=∫{(2x²-2√3x+2) -(2x-√3)}dx =∫{2x²-2(1+√3)x+2+√3}dx =2∫(x-α)²dx =2[1/3(x-α)³]0^α =0-2/3(-α)³ =2/3((1+√3)/2)³ =2/3・(10+6√3)/8 =(5+3√3)/6

1. ∫f(t)dt は積分区間が定数なので、積分結果も定数となる。それゆえ、適当な定数 A を用いて ∫f(t)dt=A ① とおくことができるので、与式は f(x)=2x²-x+A ② と表すことができる。

   ② をもちいて ① は ∫(2t²-t+A)dt=A となるので、これを計算していくと ∫(2t²-t+A)dt=A ⇔ [2/3t³-1/2t²+At]0²=A ⇔ 10/3+2A=A ⇔ A=-10/3 ② より、求める関数 f(x) は f(x)=2x²-x-10/3 である。

2. ∫f(t)dt、∫tf(t)dt は積分区間が定数なので、積分結果も定数となる。それゆえ、適当な定数 A、B を用いて ∫f(t)dt=A ③ ∫tf(t)dt=B ④ とおくことができるので、与式は f(x)=Ax+B-1 ⑤ と表すことができる。

   まず、⑤ をもちいて ③ は ∫(At+B-1)dt=A となるので、これを計算していくと ∫(At+B-1)dt=A ⇔ ∫Atdt+∫(B-1)dt=A ⇔ 0+2∫(B-1)dt=A ⇔ 2[(B-1)t]0¹=A ⇔ 2(B-1)=A ⇔ A-2B=-2 ⑥

   また、⑤ をもちいて ④ は ∫t(At+B-1)dt=B となるので、これを計算していくと ∫t(At+B-1)dt=B ⇔ ∫{At²+(B-1)t}dt=B ⇔ ∫At²dt+∫(B-1)tdt=B ⇔ 2∫At²dt+0=B ⇔ 2[A/3t³]0¹=B ⇔ 2/3A=B ⑦

   ⑥ と ⑦ を満たす A、B を求めると、 A=6、 B=4 となるので、⑤ より、求める関数 f(x) は f(x)=6x+3 である。

1. 与式の両辺を x で微分すると d/dx∫f(t)dt=d/dx(x²-2x+a) ∴f(x)=2x-2

   また、与式に x=1 を代入すると ∫f(t)dt=1²-2・1+a ⇔ 0=-1+a ⇔ a=1

2. 与式の両辺を x で微分すると d/dx{f(x)+∫tf'(t)dt} =d/dx(3/2x⁴-3x²+1) ∴f'(x)+xf'(x)=6x³-6x ⇔ (1+x)f'(x)=6x(x+1)(x-1)

   この式がいかなる x の値でも成り立つから、 f'(x)=6x(x-1)=6x²-6x である。これより f(x)=2x³-3x²+C (C は定数) ①

   また、与式に x=0 を代入すると f(0)+∫tf'(t)dt=3/2・0⁴-3・0²+1 ⇔ f(0)=1

   ① に x=0 を代入すると f(0)=C これより、 C=1 であるから、 f(x)=2x³-3x²+1 となる。