数学A 第3章 図形の性質 — 空間図形

直線と平面

2つの直線の位置関係

異なる2直線 l,m の位置関係には次の3つの場合がある．

1)，2)の場合は2直線は同じ平面上にあり，3)の場合は同じ平面上にない．

3)の場合，次の図のように，任意の1点 O を通り l,m にそれぞれ平行な直線 l',m' をひくと， 点 O のとり方に関係なく，2つの角 θ, が決まる． θ+=180° となるので， 片方の角度が決まればもう片方の角度も決まる．この2つの角のうち大きくないほう，すなわち θ≦ のときの θ を2直線 l,m のなす角という．

2)，3)の場合において，特に l,m のなす角が直角であるとき， l と m は垂直であるといい， lm と書く．さらに，垂直である2直線が交わるとき，直交するという．

直線と平面との位置関係

直線 l と平面 α の位置関係には，次の3つの場合がある．

次の図のように，直線 l が平面 α 上のすべての直線と垂直であるとき， l と α は垂直である，または直交するといい， lα と表す．また，このとき， l を平面 α の垂線という．

実は，直線 l が平面 α 上の異なる2直線と垂直であれば， l は α 上のすべての直線と垂直となって， lα となる．

平面 α 上にない点 A を通る α の垂線が，平面 α と交わる点 H を，点 A から平面 α におろした垂線の足という．

2つの平面の位置関係

異なる2平面 α,β の位置関係には，次の2つの場合がある．

1)のように，2平面 α,β が共有点をもたないとき，この2平面は平行であるといい， α∥β とかく．

また，2)のように，2つの平面 α,β が共有点をもつとき，この2平面はその共有点を含むある1つの直線を共有する．このとき，この2平面は交わるといい，この直線を α と β の交線という．

交わる2平面 α,β の交線上の点 P から交線に垂直な直線 PA,PB をそれぞれ α,β 上に引くと， P のとり方に関係なく ∠APB の大きさは一定となる．この角を2平面 α,β のなす角という． 特に， ∠APB=90° のとき， α と β は直交する，または垂直であるといい， α⊥β と書く．

三垂線の定理

多面体

多面体とは何か

正多面体とは何か

空間図形において，全ての面が合同な正多角形からなり，各頂点に集まる辺の数が全て等しい多面体のことを正多面体 regular polyhedronという．

↑ たとえば，正四面体は正多面体であるが，正四面体2つを重ねてできる六面体は，頂点に集まる辺の数が3つの場合と4つの場合があるので，正多面体ではない．

正多面体は

1. 正四面体
2. 正六面体（立方体）
3. 正八面体
4. 正十二面体
5. 正二十面体

の5つしかないことが知られている．

↑ 輪郭がへこんでいる多面体は，凹（おう）多面体 concave polyhedronといい，普通の多面体である凸（とつ）多面体 convex polyhedronとは区別する．

凹多面体も多面体に含めると，正多面体は全部で9つあることが知られている． 右の図は，正凹多面体の1つである．

オイラーの多面体定理

最終更新: 2026-08-09