数学B 第1章数列の一般項と和 — 数列の増加と減少

数列の増加と減少

たとえば，数列 ${an}$ の一般項が

$an=n(5/6)^n-1(1/6) ①$

で与えられるとき，この数列の増加や減少の様子はどうなるだろうか．

試しに， $①$ の $n$ に $n=1,2,3,4,5,6,7,8,\dots$ を代入し，計算してみると

$a1=1(5/6)⁰(1/6)=1/6≒0.167 a2=2(5/6)¹(1/6)=5/18≒0.278 a3=3(5/6)²(1/6)=25/72≒0.347 a4=4(5/6)³(1/6)=125/324≒0.386 a5=5(5/6)⁴(1/6)=3125/7776≒0.402 a6=6(5/6)⁵(1/6)=3125/7776≒0.402 a7=7(5/6)⁶(1/6)=109375/279936≒0.391 a8=8(5/6)⁷(1/6)=78125/209952≒0.372 ⋮$

となるので，数列 ${an}$ は $n$ が1から5までは増加し，6から先では減少するのがわかる．

しかし，このような方法では，すべての自然数 $n$ について調べるのは不可能である．

そこで， $an+1-an$ という差をつくってみよう．

$正an+1-an =(n+1)(5/6)^n(1/6)-n(5/6)^n-1(1/6) =(n+1)(5/6)^n(1/6) -n・6/5(5/6)^n(1/6) =1/5(5/6)^n(1/6){5(n+1)-6n} =1/5(5/6)^n(1/6)正(5-n)A$

この式の $A$ の部分に着目すると

$n=1,2,3,4$ のときは， $an+1-an$ が正，つまり $an< an+1$ となるから
$n=5$ のときは， $an+1-an$ が0，つまり $an=an+1$ となるから
$n=6,7,8,\dots$ のときは， $an+1-an$ が負，つまり $an> an+1$ となるから

以上， 1.～3. より

$a1< a2< a3<\dots< a5 =a6> a7> a8>\dots$

となるのがわかる．

以上，まとめておこう．

定理1数列の増加・減少を調べる方法

一般項 $an$ に関する漸化式

$an+1-an$

をつくり，この値の正，負，0を調べることにより，数列 ${an}$ の増減がわかる．

問題1数列の増減

$an=n(3/4)^n-1(1/4)$ の増減を調べよ

解答を見る

一般項 $an$ に関する漸化式をつくると

$an+1-an =(n+1)(3/4)^n1/4-n(3/4)^n-11/4 =(3/4)^n-11/4{3/4(n+1)-n} =(3/4)^n-11/4(-1/4n+3/4)$

よって

$an+1-an>0$ を満たす $n$ は， $n<3$
$an+1-an=0$ を満たす $n$ は， $n=3$
$an+1-an<0$ を満たす $n$ は， $n>3$

すなわち， $a1< a2< a3 =a4> a5> a6> a7>\dots$ となる．

最終更新: 2026-08-09

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