数学B 第1章 数列の一般項と和 — 数列の増加と減少
数列の増加と減少
数列の増加と減少
たとえば,数列 {an} の一般項が
an=n(5/6)^n-1(1/6) ①
で与えられるとき,この数列の増加や減少の様子はどうなるだろうか.
試しに, ① の n に n=1,2,3,4,5,6,7,8,… を代入し,計算してみると
a1=1(5/6)⁰(1/6)=(1/6)≒0.167 a2=2(5/6)¹(1/6)=(5/18)≒0.278 a3=3(5/6)²(1/6)=(25/72)≒0.347 a4=4(5/6)³(1/6)=(125/324)≒0.386 a5=5(5/6)⁴(1/6)=(3125/7776)≒0.402 a6=6(5/6)⁵(1/6)=(3125/7776)≒0.402 a7=7(5/6)⁶(1/6)=(109375/279936)≒0.391 a8=8(5/6)⁷(1/6)=(78125/209952)≒0.372 ⋮
となるので,数列 {an} は n が1から5までは増加し,6から先では減少するのがわかる.
しかし,このような方法では,すべての自然数 n について調べるのは不可能である.
そこで, an+1-an という差をつくってみよう.
正an+1-an =(n+1)(5/6)^n(1/6)-n(5/6)^n-1(1/6) =(n+1)(5/6)^n(1/6) -n・6/5(5/6)^n(1/6) =1/5(5/6)^n(1/6){5(n+1)-6n} =1/5(5/6)^n(1/6)正(5-n)A
この式の A の部分に着目すると
n=1,2,3,4 のときは, an+1-an が正,つまり an< an+1 となるから
a1< a2< a3< a4< a5
がわかる.
n=5 のときは, an+1-an が0,つまり an=an+1 となるから
a5=a6
がわかる.
n=6,7,8,… のときは, an+1-an が負,つまり an> an+1 となるから
a6> a7> a8>…
がわかる.
以上, 1.~3. より
a1< a2< a3<…< a5 =a6> a7> a8>…
となるのがわかる.
以上,まとめておこう.
§
定理1数列の増加・減少を調べる方法
一般項 an から,となりあう項の差
an+1-an
をつくり,この値の正,負,0を調べることにより,数列 {an} の増減がわかる.
問題1数列の増減
an=n(3/4)^n-1(1/4) の増減を調べよ
解答を見る
an+1-an という差をつくると
正an+1-an =(n+1)(3/4)^n1/4-n(3/4)^n-11/4 =(3/4)^n-11/4{3/4(n+1)-n} =(3/4)^n-11/4正(-(1/4)n+3/4)A
この式の A の部分に着目すると
- an+1-an>0 を満たす n は, n<3 ,すなわち n=1,2
- an+1-an=0 を満たす n は, n=3
- an+1-an<0 を満たす n は, n>3 ,すなわち n=4,5,6,…
すなわち,
a1< a2< a3 =a4> a5> a6> a7>…
となる.
最終更新: 2026-08-12
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