数学I 第6章平面図形・空間図形の計量 — 平面図形の計量

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三角形の決定

三角形の合同

2つの図形が合同 (congruence) であるとは、2つの図形が空間的な回転・平行移動によって完全に重なることを意味する。

2つの三角形の場合は、3辺と3つの内角がすべて一致すれば合同である。2つの三角形の間に、三角形の合同条件 (conditions of congruence)

1辺とその両端の角が等しい（2角夾（きょう）辺相等）
2辺とその間の角が等しい（2辺夾（きょう）角相等）
3辺が等しい（3辺相等）

のいずれかが成り立てば、その2つの三角形は合同である。

三角形の決定条件

三角形の3辺と3つの内角が決まった値をもつとき、この三角形は決定しているという。

たとえば、三角形の3つの内角が $40°$ 、 $60°$ 、 $80°$ と与えられても、辺の長さはわからないので、この三角形は決定しない。しかし、さらにどこか1辺の長さが与えられれば、この三角形は決定する。

三角形を決定するための条件は、上の合同条件1～3に対応して、3つの場合がある。

1辺とその両端の角が与えられた場合
2辺とその間の角が与えられた場合
3辺が与えられた場合
2辺とその間でない角が与えられた場合

以下では、これらの情報が与えられ三角形が決定したとき、残りの辺と角を求める方法を考えてみよう。

問題1a. 1辺とその両端の角が与えられた場合

$A=60°$ 、 $B=75°$ 、 $AB=2$ である三角形において、 $C$ 、 $a$ 、 $b$ を求めよ。
$A=60°$ 、 $B=45°$ 、 $AB=2$ である三角形において、 $C$ 、 $a$ 、 $b$ を求めよ。

解答を見る

三角形の内角の和は $180°$ なので

$C=180°-(60°+75°)=45°$ また、正弦定理 $a/sinA=c/sinC$ を用いて $a=csinA/sinC =2sin60°/sin45° =(2・\sqrt3/2)/(\sqrt2/2) =2\sqrt3/\sqrt2=\sqrt6$

有理数どうしの比の値

また、点 $B$ からみる第1余弦定理 $b=acosC+ccosA$ を用いて

$b=\sqrt6cos45°+2cos60°=\sqrt3+1$ 【別解: $75°$ の三角比（ $15°$ とその周辺の三角比）を覚えている場合】

正弦定理 $b/sinB=c/sinC$ より $b=2sin75°/sin45° =(2・(\sqrt6+\sqrt2)/4)/(\sqrt2/2) =\sqrt3+1$
三角形の内角の和は $180°$ なので

$C=180°-(60°+45°)=75°$ また、正弦定理 $a/sinA=b/sinB$ を用いて

$a/sin60°=b/sin45° \Leftrightarrow a/(\sqrt3/2)=b/(\sqrt2/2) \Leftrightarrow a=(\sqrt3/2)/(\sqrt2/2)b=\sqrt3/\sqrt2b a=\sqrt3/\sqrt2b ①$ また、点 $C$ からみる第1余弦定理 $c=acosB+bcosA$ を用いて $2=bcos60°+acos45° \Leftrightarrow 2=b/2+\sqrt2a/2 \Leftrightarrow 4=b+\sqrt2a 4=b+\sqrt2a ②$ $①$ を $②$ に代入して $4=b+\sqrt2・\sqrt3\sqrt2b \Leftrightarrow 4=(1+\sqrt3)b \Leftrightarrow b=4/(1+\sqrt3)=2\sqrt3-2$ $①$ に代入して、 $a=3\sqrt2-\sqrt6$ となる。

【別解: $75°$ の三角比（ $15°$ とその周辺の三角比）を覚えている場合】

正弦定理 $a/sinA=b/sinB=c/sinC$ より $a=csinA/sinC=2sin60°/sin75°=(2・\sqrt3/2)/((\sqrt6+\sqrt2)/4) =4\sqrt3/(\sqrt6+\sqrt2)=3\sqrt2-\sqrt6 b=csinB/sinC=2sin45°/sin75° =(2・\sqrt2/2)/((\sqrt6+\sqrt2)/4) =4\sqrt2/(\sqrt6+\sqrt2)=2\sqrt3-2$

問題2b. 2辺とその間の角が与えられた場合

$A=45°$ 、 $b=\sqrt6$ 、 $c=\sqrt3+1$ である三角形において、 $a$ 、 $B$ 、 $C$ を求めよ。
$A=75°$ 、 $b=\sqrt6$ 、 $c=2$ である三角形において、 $a$ 、 $B$ 、 $C$ を求めよ。ただし、 $cos75°=(\sqrt6-\sqrt2)/4$ である。

解答を見る

点 $A$ からみる余弦定理 $a²=b²+c²-2bccosA$ を用いて

$a²=\sqrt6²+(\sqrt3+1)² -2\sqrt6(\sqrt3+1)cos45° =6+4+2\sqrt3-2\sqrt6(\sqrt3+1)・\sqrt2/2 =10+2\sqrt3-2\sqrt3(\sqrt3+1)=4$ より、 $a=2$ となる。

また、点 $B$ からみる余弦定理 $b²=c²+a²-2cacosB$ を用いて

正弦定理を用いた場合は

$sinB=bsinA/a=\sqrt6sin45°/2 =(\sqrt6・\sqrt2/2)/2=\sqrt3/2$ より、 $B=60°$ または $120°$ となり、 $B$ が1つに定まらない。

$cosB =(c²+a²-b²)/2ca =((\sqrt3+1)²+2²-(\sqrt6)²)/2(\sqrt3+1)・2 =(4+2\sqrt3+4-6)/4(\sqrt3+1) =2(\sqrt3+1)/4(\sqrt3+1) =1/2$ より、 $B=60°$ となる。

三角形の内角の和は $180°$ なので $C=180°-(45°+60°)=75°$
点 $A$ からみる余弦定理 $a²=b²+c²-2bccosA$ を用いて

$a²=\sqrt6²+2²-2\sqrt6・2cos75° =10-2\sqrt6・2・(\sqrt6-\sqrt2)/4 =10-\sqrt6(\sqrt6-\sqrt2 ) =4+2\sqrt3 =(\sqrt3+1)²$

2重根号参照

より、 $a=\sqrt3+1$ となる。

また、点 $B$ からみる余弦定理 $b²=c²+a²-2cacosB$ を用いて

正弦定理を用いた場合は

$sinB=bsinA/a=\sqrt6sin75°/(\sqrt3+1) =(\sqrt6・(\sqrt6+\sqrt2)/4)/(\sqrt3+1)=\sqrt3/2$ より、 $B=60°$ または $120°$ となるが、 $B=120°$ とすると、三角形の内角の和が $180°$ であることに矛盾するので、 $B=60°$ とわかる。

$cosB=(2²+(\sqrt3+1)²-(\sqrt6)²)/2・2(\sqrt3+1) =2(\sqrt3+1)/4(\sqrt3+1) =1/2$ より、 $B=60°$ となる。

三角形の内角の和は $180°$ なので $C=180°-(75°+60°)=45°$

問題3c. 3辺が与えられた場合

$a=2$ 、 $b=\sqrt6$ 、 $c=\sqrt3+1$ である三角形において、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ を求めよ。
$a=2$ 、 $b=\sqrt6+\sqrt2$ 、 $c=\sqrt6+\sqrt2$ である三角形において、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ を求めよ。

解答を見る

点 $A$ からみる余弦定理 $a²=b²+c²-2bccosA$ を用いて

$cosA=(b²+c²-a²)/2bc =((\sqrt6 )²+(\sqrt3+1)²-2²)/2・\sqrt6(\sqrt3+1) =(6+4+2\sqrt3-4)/2(3\sqrt2+\sqrt6) =(6+2\sqrt3)/2(3\sqrt2+\sqrt6) =(3+\sqrt3)/(3\sqrt2+\sqrt6) =(3+\sqrt3)(3\sqrt2-\sqrt6)/(18-6) =(9\sqrt2-3\sqrt6+3\sqrt6-3\sqrt2)/12 =6\sqrt2/12 =\sqrt2/2$

もし $(3+\sqrt3)/(3\sqrt2+\sqrt6)=(3+\sqrt3)/\sqrt2(3+\sqrt3)$ に気がつけば計算は易しくなる

よって、 $A=45°$ となる。

また、点 $B$ からみる余弦定理 $b²=c²+a²-2cacosB$ を用いて $cosB=(c²+a²-b²)/2ca =((\sqrt3+1)²+2²-(\sqrt6 )²)/2(\sqrt3+1)・2 =(4+2\sqrt3+4-6)/4(\sqrt3+1) =2(\sqrt3+1)/4(\sqrt3+1) =1/2$ より、 $B=60°$ となる。

三角形の内角の和は $180°$ なので $C=180°-(45°+60°)=75°$
点 $A$ からみる余弦定理 $a²=b²+c²-2bccosA$ を用いて

$cosA=(b²+c²-a²)/2bc ={(\sqrt6+\sqrt2)² +(\sqrt6+\sqrt2)²-2²} \div{2(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6+\sqrt2)} =(2(\sqrt6+\sqrt2)²-4)/2(\sqrt6+\sqrt2)² =(2(8+4\sqrt3)-4)/2(8+4\sqrt3)=(3+2\sqrt3)/(4+2\sqrt3) =(3+2\sqrt3)(4-2\sqrt3)/(16-12) =(12-6\sqrt3+8\sqrt3-12)/4=\sqrt3/2$ より、 $A=30°$ となる。

ここで、 $b=c=\sqrt6+\sqrt2$ より $△ABC$ は二等辺三角形であるから、 $B=C$ なので $B=C=(180°-A)/2=75°$

2辺とその間でない角が与えられた場合

2辺とその間でない角が与えられた場合は、三角形がただ1つ決定するとは限らない。

たとえば、 $b$ 、 $c$ と $B$ が与えられている場合を考えてみよう。

$B$ を鋭角としたとき、 $b$ の値によって次の4つの場合があるとわかる。このとき、点 $A$ を中心とする半径 $b$ の円を考えるとわかりやすい。

$c≦b$ の場合

$△ABC$ は1つだけ存在する。
$csinB<b<c$ の場合

2つの $△ABC$ が存在する。
$csinB=b$ の場合

$△ABC$ は1つだけ存在する。

このとき、 $△ABC$ は $C=90°$ の直角三角形となる。
$b<csinB$ の場合

このような三角形は存在しない。

以上の条件に注意しながら、次の例題をみてみよう。

問題4d. 2辺とその間でない角が与えられた場合

$A=30°$ 、 $a=\sqrt2$ 、 $b=2$ である三角形において、 $B$ 、 $C$ 、 $c$ を求めよ。
$A=45°$ 、 $a=2$ 、 $b=\sqrt2$ である三角形において、 $B$ 、 $C$ 、 $c$ を求めよ。

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正弦定理 $a/sinA=b/sinB$ を用いて

$sinB=2sin30°/\sqrt2=(2・1/2)/\sqrt2=\sqrt2/2$ より、 $B=45°$ または $135°$ となる。
1. $B=45°$ のとき
  
  このときは、次の図のようになっている。
  
  三角形の内角の和は $180°$ なので $C=180°-(30°+45°)=105°$ また、点 $C$ からみる第1余弦定理 $c=bcosA+acosB$ より $c=2cos30°+\sqrt2cos45° =2・\sqrt3/2+\sqrt2・\sqrt2/2 =\sqrt3+1$
2. $B=135°$ のとき
  
  このときは、次の図のようになっている。
  
  三角形の内角の和は $180°$ なので $C=180°-(30°+135°)=15°$ また、点 $C$ からみた第1余弦定理 $c=bcosA+acosB$ より $c=2cos30°+\sqrt2cos135° =2・\sqrt3/2+\sqrt2・(-\sqrt2/2) =\sqrt3-1$
この問いでは図のように2つの場合がある。
正弦定理 $a/sinA=b/sinB$ を用いて

$sinB=\sqrt2sin45°/2 =(\sqrt2・\sqrt2/2)/2=1/2$ より、 $B=30°$ または $150°$ となるが、 $B=150°$ のときは、 $A+B=45°+150°>180°$ となって不適。

よって、 $B=30°$ となる。

三角形の内角の和は $180°$ なので $C=180°-(45°+30°)=105°$ また、点 $C$ からみる第1余弦定理 $c=bcosA+acosB$ より $c=\sqrt2cos45°+2cos30° =\sqrt2・\sqrt2/2+2・\sqrt3/2 =1+\sqrt3$

問題5四角形の計量

四角形 $ABCD$ において、 $AB=5$ 、 $BC=8$ 、 $CD=5$ 、 $∠ABC=60°$ 、 $∠CAD=45°$ のとき、次の問に答えよ。

$AC$ の長さを求めよ。
$AD$ の長さを求めよ。
四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

四角形ABCDにおいて、対角線ACが点線で描かれている。辺の長さはAB=5、BC=8、CD=5であり、角の大きさは∠B=60°、∠CAD=45°である。

解答を見る

$△ABC$ に点 $B$ からみる余弦定理 $AC²=AB²+BC² -2・AB・BCcos∠ABC$ を用いて

2辺とその間の角が与えられている

$AC²=5²+8²-2・5・8cos60° =25+64-80・1/2=49$ よって、 $AC=7$ である。
$△CAD$ に点 $A$ からみる余弦定理 $DC²=AD²+AC² -2・AD・ACcos∠CAD$ を用いて

2辺とその間でない角が与えられている

$5²=AD²+7²-2・AD・7cos45° \Leftrightarrow 25=AD²+49-2・7・\sqrt2/2AD \Leftrightarrow AD²-7\sqrt2AD+24=0$ 2次方程式の解の公式より $または AD=7\sqrt2\pm\sqrt((7\sqrt2 )²-4・24)/2 =7\sqrt2\pm\sqrt(98-96)/2=7\sqrt2\pm\sqrt2/2 =3\sqrt2または4\sqrt2$
$△ABC$ の面積を $S1$ 、 $△CAD$ の面積を $S2$ とすると $S1=1/2・AB・BCsin∠ABC =1/2・5・8・\sqrt3/2=10\sqrt3 S2=1/2AC・ADsin∠CAD =1/2・7・AD・\sqrt2/2$ つまり、 $AD=3\sqrt2$ のときは $S2=21/2$ 、 $AD=4\sqrt2$ のときは $S2 = 14$ 。

四角形 $ABCD$ の面積は $S1+S2$ に等しいので、 $のときは AD=3\sqrt2のときは10\sqrt3+21/2$ $のときは AD=4\sqrt2のときは10\sqrt3+14$ が求める答えになる。

この問では図のように2つの場合がある。

平面図形におけるいくつかの定理

二等辺三角形を分割する線の長さ

ここでは、平面図形に関して覚えておくべき定理を紹介する。三角形の決定条件を頭に浮かべながら、以下の例題を見てみよう。

問題6二等辺三角形を分割する線の長さ

右図のような二等辺三角形 $ABC$ において次の問に答えよ。ただし $b>c$ とする。

$AD$ の長さを求めよ。
$cos∠ABD$ の値を求めよ。

AB=AC=a である二等辺三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、BD=b、DC=c となっている。頂点Aと点Dは点線で結ばれている。

解答を見る

$∠ABD=∠ACD=θ$ とおき、 $AD=x$ とおく。 $△ABD$ に点 $B$ からみる余弦定理を用いると

$cosθ=(a²+b²-x²)/2ab ①$ $△ACD$ に点 $C$ からみる余弦定理を用いると $cosθ=(a²+c²-x²)/2ac ②$ $①$ 、 $②$ より $(a²+b²-x²)/2ab=(a²+c²-x²)/2ac \Leftrightarrow c(a²+b²-x²)=b(a²+c²-x²) \Leftrightarrow (b-c)x²=ba²+bc²-ca²-cb² \Leftrightarrow (b-c)x²=a²(b-c)-bc(b-c) \Leftrightarrow (b-c)x²=(a²-bc)(b-c)$ $b>c$ より $b\neqc$ なので、両辺を $(b-c)$ で割って $x²=a²-bc ∴x=\sqrt(a²-bc)$
1で求めた $x=\sqrt(a²-bc)$ を $①$ に代入して

別解として、以下のように補助線を引いて、導くこともできる。

$cosθ=(a²+b²-(a²-bc))/2ab=(b²+bc)/2ab =(b+c)/2a$

角の2等分線の定理

定理1角の2等分線の定理

$△ABC$ において、 $∠A$ の2等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき $AB:AC=BD:DC$ が成り立つ。

△ABCがあり、頂点Aから辺BC上の点Dに線分ADが引かれている。∠BADと∠CADの内側に、等しい角であることを表す黒丸印がそれぞれ付いている。

問題7角の2等分線の定理

次の図の $△ABC$ において、点 $D$ は $∠A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点である。このとき、線分 $BD$ の長さを求めよ。

△ABCと、頂点Aから辺BC上の点Dへ引かれた線分ADがあり、辺ABの長さは10、辺ACは8、辺BCは18である。∠BADと∠CADには、大きさが等しいことを示す記号が付いている。

解答を見る

$BD=x$ とおくと、角の二等分線の定理より、 $AB:AC=BD:DC 5:4=x:(18-x) 4x=5(18-x) 9x=90 x=10 ∴BD=10$

定理2三角形の外角の二等分線と比

$△ABC$ において、 $∠A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長線との交点を $D$ とするとき $AB:AC=BD:DC$ が成り立つ。

△ABCの辺BAを延長した半直線と、頂点Aにおける外角の二等分線ADが描かれている。辺BCの延長線上に交点Dがあり、二等分された2つの角にはそれぞれ黒丸が付いている。

問題8三角形の外角の二等分線と比

次の図の $△ABC$ において、点 $D$ は $∠A$ の外角の二等分線と半直線 $BC$ との交点である。このとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。

ABの長さが7、ACの長さが5、BCの長さが6である△ABCがあり、頂点Aにおける外角の二等分線と半直線BCとの交点が点Dとなっている。

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$CD=x$ とおくと、外角の二等分線の定理より、 $AB:AC=BD:DC 7:5=(6+x):x 7x=5(6+x) 2x=30 x=15 ∴CD=15$

四角形の対角線と面積

暗記1四角形の対角線と面積

2つの対角線の長さが $a$ 、 $b$ で、そのなす角が $θ$ である、図のような四角形の面積 $S$ を求めよ。

四角形ABCDがあり、対角線ACとBDの交点をPとする。対角線ACの長さがa、BDの長さがbで、∠CPDがθである。

解答を見る

$△ABP$ 、 $△BCP$ 、 $△CDP$ 、 $△DAP$ の面積を、それぞれ $S1$ 、 $S2$ 、 $S3$ 、 $S4$ とおくと $三角形の面積参照の三角比 S1=1/2AP・BPsinθ （注）三角形の面積参照 S2=1/2BP・CPsin(180°-θ) =1/2BP・CPsinθ （注） 180°-θの三角比 S3=1/2CP・DPsinθ S4=1/2DP・APsin(180°-θ) =1/2DP・APsinθ$ となるから $S=S1+S2+S3+S4 =1/2(AP・BP+BP・CP +CP・DP+DP・AP)sinθ =1/2{BP・(AP+CP) +DP・(CP+AP)}sinθ =1/2(AP+CP)(BP+DP)sinθ =1/2AC・BDsinθ=1/2absinθ$

定理3四角形の対角線と面積

図のような四角形の2つの対角線の長さが $a$ 、 $b$ 、そのなす角が $θ$ のとき、この四角形の面積 $S$ は $S=1/2absinθ$ となる。

四角形とその2本の対角線が描かれている。一方の対角線の長さがa、他方の対角線の長さがbと表され、対角線の交点の下側にできるなす角がθと示されている。

三角形の面積と内接円の半径

暗記2三角形の面積と内接円の半径

三角形の3つの辺すべてに接する円を、その三角形の内接円 (inscribed circle) という。1つの三角形に対し、内接円は1つに定まる。

$b=4$ 、 $c=5$ 、 $A=60°$ である $△ABC$ について、内接円の半径を $r$ とする。

$a$ の値を求めよ。
$△ABC$ の面積を求めよ。
$△ABC$ の内接円の半径を求めよ。

△ABCの3辺の長さがa, b, cであり、内接円の中心Iから各頂点A, B, Cに線分が引かれている。点Iから辺ABへ下ろした垂線の長さが半径rとして表されている。

解答を見る

点 $A$ からみる余弦定理より $a²=b²+c²-2bccosA =4²+5²-2・4・5cos60° =16+25-40\times1/2=21$ よって、 $a=\sqrt21$ である。

$S=1/2bcsinA =1/2・4・5sin60° =5\sqrt3$ 3.

内接円の中心を $I$ とすると、 $△ABI$ 、 $△BCI$ 、 $△CAI$ の面積はそれぞれ $1/2cr$ 、 $1/2ar$ 、 $1/2br$ となるから、 $△ABC$ の面積 $S$ は $S=1/2ar+1/2br+1/2cr =1/2r(a+b+c) ③$ とも表せる。よって2と $③$ より $r=2S/(a+b+c) =2・5\sqrt3/(\sqrt21+4+5) =10\sqrt3/(\sqrt21+9) =(3\sqrt3-\sqrt7)/2$

定理4三角形の面積と内接円の半径

三角形の面積 $S$ は、内接円の半径 $r$ を用いて $S=1/2r(a+b+c)$ と表すことができる。ここで $a$ 、 $b$ 、 $c$ は各辺の長さを表す。

辺の長さがa、b、cである△ABCの内側に、中心をIとする内接円が描かれている。点Iから各頂点へ線分が引かれ、点Iから辺ABに下ろした垂直な線分の長さがrと示されている。

円に内接する四角形

問題9円に内接する四角形

円に内接する四角形 $ABCD$ において、 $AB=4$ 、 $BC=5$ 、 $CD=3$ 、 $DA=3$ とする。

$A+C=180°$ を示せ。
$cosA=-cosC$ を示せ。
対角線 $BD$ の長さを求めよ。
四角形 $ABCD$ の面積を求めよ。

円に内接する四角形ABCDがあり、頂点A、B、C、Dは円周上に配置されている。頂点Bと頂点Dを結ぶ対角線BDが破線で描かれている。

解答を見る

中心角は円周角の2倍なので

$A$ は図の $1/2α$ と等しく、
$C$ は図の $1/2β$ と等しい。

よって、 $A+C=1/2(α+β)=180°$ 2. 1より、 $A=180°-C$ であるので

$cosA=cos(180°-C)=-cosC$ 3. $△ABD$ に点 $A$ からみる余弦定理を用いて $BD²=4²+3² -2・4・3cosA =25-24cosA ①$ $△CBD$ に点 $C$ からみる余弦定理を用いて $BD²=5²+3² -2・5・3cosC =34-30cosC ②$ $①$ 、 $②$ 、 $cosA=-cosC$ より $25-24cosA=34+30cosA \Leftrightarrow cosA=-9/54=-1/6$ これを $①$ に代入して $BD²=25-24・(-1/6)=29$ $BD>0$ であるので、 $BD=\sqrt29$ と分かる。 4. $sinA=\sqrt1-cos²A=\sqrt35/6$ より

$△ABD=1/2・4・3・\sqrt35/6=\sqrt35$

また、 $sinC=sin(180°-A)=sinA$ より

$△CBD=1/2・5・3・\sqrt35/6=5/4\sqrt35$ よって、求める面積は $\sqrt35+5/4\sqrt35=9/4\sqrt35$

円に内接する四角形ABCDがあり、円の中心と頂点B、Dが線分で結ばれている。また、頂点BとDを結ぶ破線があり、中心のまわりには下側にα、上側にβの中心角が示されている。

トレミーの定理

暗記3トレミーの定理

図のように、四角形 $ABCD$ が円に内接している。 $AB=a$ 、 $BC=b$ 、 $CD=c$ 、 $DA=d$ とするとき、以下の式を示せ。

$(ad+bc)BD²=(ab+cd)(ac+bd)$
$AC・BD=ac+bd$

円に内接する四角形ABCDがあり、頂点A、B、C、Dは反時計回りに並んでいる。四角形の内部には、2本の対角線ACとBDが引かれている。

解答を見る

$△ABD$ に点 $A$ からみる余弦定理を用いると $cos∠BAD =a²+d²-BD²2ad ①$ $△CBD$ に点 $C$ からみる余弦定理を用いると $cos∠BCD =b²+c²-BD²2bc ②$ $-cos∠BAD=cos∠BCD$ であるので、 $①$ $②$ より $両辺にをかけた -a²+d²-BD²2ad =b²+c²-BD²2bc \Leftrightarrow bc(BD²-a²-d²) =ad(b²+c²-BD²) （注）両辺に2adbcをかけた \Leftrightarrow (ad+bc)BD² =ad(b²+c²)+bc(a²+d²) =ab(bd+ac)+cd(ac+bd) =(ab+cd)(ac+bd)$
$cos∠ABC=-cos∠ADC$ より $-(a²+b²-AC²)/2ab=(c²+d²-AC²)/2cd$ 1と同じように整頓すれば $(ab+cd)AC² =cd(a²+b²)+ab(c²+d²) \Leftrightarrow (ab+cd)AC² =(ad+bc)(ac+bd)$ これと1の結果より $左辺どうし、右辺どうしを掛け合わせた (ad+bc)BD²\times(ab+cd)AC² =(ab+cd)(ac+bd) \times(ad+bc)(ac+bd) （注）左辺どうし、右辺どうしを掛け合わせた \Leftrightarrow BD²・ AC²=(ac+bd)² ∴BD・AC=(ac+bd)$

最終更新: 2026-08-10

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質問の内容

数学I 第6章 平面図形・空間図形の計量 — 平面図形の計量

三角形の決定

三角形の合同

三角形の決定条件

問題1a. 1辺とその両端の角が与えられた場合

問題2b. 2辺とその間の角が与えられた場合

問題3c. 3辺が与えられた場合

2辺とその間でない角が与えられた場合

問題4d. 2辺とその間でない角が与えられた場合

問題5四角形の計量

平面図形におけるいくつかの定理

二等辺三角形を分割する線の長さ

問題6二等辺三角形を分割する線の長さ

角の2等分線の定理

定理1角の2等分線の定理

問題7角の2等分線の定理

定理2三角形の外角の二等分線と比

問題8三角形の外角の二等分線と比

四角形の対角線と面積

暗記1四角形の対角線と面積

定理3四角形の対角線と面積

三角形の面積と内接円の半径

暗記2三角形の面積と内接円の半径

定理4三角形の面積と内接円の半径

円に内接する四角形

問題9円に内接する四角形

トレミーの定理

暗記3トレミーの定理

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