数学I 第6章 平面図形・空間図形の計量 — 平面図形の計量

三角形の内角の和は 180° なので

C=180°-(60°+75°)=45° また、正弦定理 a/sinA=c/sinC を用いて a=csinA/sinC =2sin60°/sin45° =(2・√3/2)/(√2/2) =2√3/√2=√6

また、点 B からみる第1余弦定理 b=acosC+ccosA を用いて

b=√6cos45°+2cos60°=√3+1 【別解: 75° の三角比（15° とその周辺の三角比）を覚えている場合】

正弦定理 b/sinB=c/sinC より b=2sin75°/sin45° =(2・(√6+√2)/4)/(√2/2) =√3+1

三角形の内角の和は 180° なので

C=180°-(60°+45°)=75° また、正弦定理 a/sinA=b/sinB を用いて

a/sin60°=b/sin45° ⇔ a/(√3/2)=b/(√2/2) ⇔ a=((√3/2)/(√2/2))b=(√3/√2)b a=(√3/√2)b ① また、点 C からみる第1余弦定理 c=acosB+bcosA を用いて 2=bcos60°+acos45° ⇔ 2=b/2+√2a/2 ⇔ 4=b+√2a 4=b+√2a ② ① を ② に代入して 4=b+√2・√3√2b ⇔ 4=(1+√3)b ⇔ b=4/(1+√3)=2√3-2 ① に代入して、 a=3√2-√6 となる。

【別解: 75° の三角比（15° とその周辺の三角比）を覚えている場合】

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC より a=csinA/sinC=2sin60°/sin75°=(2・√3/2)/((√6+√2)/4) =4√3/(√6+√2)=3√2-√6 b=csinB/sinC=2sin45°/sin75° =(2・√2/2)/((√6+√2)/4) =4√2/(√6+√2)=2√3-2

点 A からみる余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA を用いて

a²=√6²+(√3+1)² -2√6(√3+1)cos45° =6+4+2√3-2√6(√3+1)・√2/2 =10+2√3-2√3(√3+1)=4 より、 a=2となる。

また、点 B からみる余弦定理 b²=c²+a²-2cacosB を用いて

sinB=bsinA/a=√6sin45°/2 =(√6・√2/2)/2=√3/2 より、 B=60° または 120° となり、B が1つに定まらない。

cosB =(c²+a²-b²)/2ca =((√3+1)²+2²-(√6)²)/2(√3+1)・2 =(4+2√3+4-6)/4(√3+1) =2(√3+1)/4(√3+1) =1/2 より、 B=60° となる。

三角形の内角の和は 180° なので C=180°-(45°+60°)=75°

点 A からみる余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA を用いて

a²=√6²+2²-2√6・2cos75° =10-2√6・2・(√6-√2)/4 =10-√6(√6-√2 ) =4+2√3 =(√3+1)²

より、 a=√3+1 となる。

また、点 B からみる余弦定理 b²=c²+a²-2cacosB を用いて

sinB=bsinA/a=√6sin75°/(√3+1) =(√6・(√6+√2)/4)/(√3+1)=√3/2 より、 B=60° または 120° となるが、 B=120°とすると、三角形の内角の和が 180° であることに矛盾するので、 B=60° とわかる。

cosB=(2²+(√3+1)²-(√6)²)/2・2(√3+1) =2(√3+1)/4(√3+1) =1/2 より、 B=60° となる。

三角形の内角の和は 180° なので C=180°-(75°+60°)=45°

点 A からみる余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA を用いて

cosA=(b²+c²-a²)/2bc =((√6 )²+(√3+1)²-2²)/2・√6(√3+1) =(6+4+2√3-4)/2(3√2+√6) =(6+2√3)/2(3√2+√6) =(3+√3)/(3√2+√6) =(3+√3)(3√2-√6)/(18-6) =(9√2-3√6+3√6-3√2)/12 =6√2/12 =√2/2

よって、 A=45° となる。

また、点 B からみる余弦定理 b²=c²+a²-2cacosB を用いて cosB=(c²+a²-b²)/2ca =((√3+1)²+2²-(√6 )²)/2(√3+1)・2 =(4+2√3+4-6)/4(√3+1) =2(√3+1)/4(√3+1) =1/2 より、 B=60° となる。

三角形の内角の和は 180° なので C=180°-(45°+60°)=75°

点 A からみる余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA を用いて

cosA=(b²+c²-a²)/2bc ={(√6+√2)² +(√6+√2)²-2²} ÷{2(√6+√2)(√6+√2)} =(2(√6+√2)²-4)/2(√6+√2)² =(2(8+4√3)-4)/2(8+4√3)=(3+2√3)/(4+2√3) =(3+2√3)(4-2√3)/(16-12) =(12-6√3+8√3-12)/4=√3/2 より、 A=30° となる。

ここで、 b=c=√6+√2 より △ABC は二等辺三角形であるから、 B=C なので B=C=(180°-A)/2=75°

正弦定理 a/sinA=b/sinB を用いて

sinB=2sin30°/√2=(2・1/2)/√2=√2/2 より、 B=45° または 135° となる。

1. B=45° のとき

   

   三角形の内角の和は 180° なので C=180°-(30°+45°)=105° また、点 C からみる第1余弦定理 c=bcosA+acosB より c=2cos30°+√2cos45° =2・√3/2+√2・√2/2 =√3+1

2. B=135° のとき

   

   三角形の内角の和は 180° なので C=180°-(30°+135°)=15° また、点 C からみた第1余弦定理 c=bcosA+acosB より c=2cos30°+√2cos135° =2・√3/2+√2・(-√2/2) =√3-1

この問いでは図のように2つの場合がある。

正弦定理 a/sinA=b/sinBを用いて

sinB=√2sin45°/2 =(√2・√2/2)/2=1/2 より、 B=30° または 150° となるが、 B=150° のときは、 A+B=45°+150°>180° となって不適。

よって、 B=30° となる。

三角形の内角の和は 180° なので C=180°-(45°+30°)=105° また、点 C からみる第1余弦定理 c=bcosA+acosB より c=√2cos45°+2cos30° =√2・√2/2+2・√3/2 =1+√3

△ABC に点 B からみる余弦定理 AC²=AB²+BC² -2・AB・BCcos∠ABC を用いて

AC²=5²+8²-2・5・8cos60° =25+64-80・1/2=49 よって、 AC=7 である。

△CAD に点 A からみる余弦定理 DC²=AD²+AC² -2・AD・ACcos∠CAD を用いて

5²=AD²+7²-2・AD・7cos45° ⇔ 25=AD²+49-2・7・(√2/2)AD ⇔ AD²-7√2AD+24=0 2次方程式の解の公式より AD=7√2±√((7√2 )²-4・24)/2 =7√2±√(98-96)/2=7√2±√2/2 =3√2または4√2

△ABC の面積を S1、△CAD の面積を S2 とすると S1=(1/2)・AB・BCsin∠ABC =1/2・5・8・√3/2=10√3 S2=(1/2)AC・ADsin∠CAD =1/2・7・AD・√2/2 つまり、 AD=3√2 のときは S2=21/2、 AD=4√2 のときは S2 = 14。

四角形 ABCD の面積は S1+S2 に等しいので、 AD=3√2のときは10√3+21/2 AD=4√2のときは10√3+14 が求める答えになる。