数学II 第5章対数と対数関数 — 常用対数

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指数の利用

指数で数を表すことの利点

地球と太陽の距離は約1億5000万kmであるが，これを10進法で表すと

$150000000 [km]$

となる．しかし，このように表すと一見何桁の数なのかわからず不便である．

このように大きな数を表すには， $10$ を底とする指数を用いて

$1.5\times10⁸ km$

とするとよい．このように表すことによって， $10⁸$ の部分を見ればこの数が $9$ 桁であることをすぐに読み取れる．また，計算する上でも便利になる．指数で数を表すことについて，一般に次のことがいえる．

定義1指数を使って数を表す方法〜その1〜

$x≧1$ を満たす $x$ は，整数部分が $1$ 桁の数 $a (1≦a<10)$ と，負でない整数 $n$ を使って

$a\times10^n$

という形ただ $1$ 通りに表すことができ，このときこの数は最高位が $n+1$ 桁の数である．

また，赤血球の直径は $1m$ の約12万5000分の1であるが，これを $10$ 進法で表すと

$1/125000=0.000008 [m]$

となり，これも一見小数第何位に $0$ でない数があるのかわかりづらい．

このような $0$ に近い数を表すときにも， $10$ を底とする指数を用いて

$8\times10^-6$

と表せば， $10 ^- 6$ の部分をみることによって，この数が小数第 $6$ 位にはじめて $0$ でない数があらわれることがすぐに読み取れる．こちらの場合もまとめると次のようになる．

定義2指数を使って数を表す方法〜その2〜

$0 < x < 1$ を満たす $x$ は，整数部分が $1$ 桁の数 $a (1≦a<10)$ と，負の整数 $n$ を使って

$a\times10^n$

という形でただ1通りに表すことができ，このとき小数第 $n$ 位にはじめて $0$ でない数があらわれる．

問題1指数を使って数を表す

次の問いに答えよ．

解答を見る

$380000=3.8\times10⁵$ ．
$150000000=1.5\times10⁸$ であるから

$1.5\times10⁸/3.8\times10⁵=1.5/3.8\times10³=394.7\dots$

より，約 $395$ 倍．

$0.0000000000000000000000017$ $=1.7\times10^-24$ ．
$0.000000000000000000000020$ $=2.0\times10^-23$ であるから

$2.0\times10^-231.7\times10^-24=2.0/1.7\times10=11.76\dots$

より，約 $11.8$ 倍．

常用対数の利用

常用対数の定義

定義3常用対数の定義

$10$ を底とする対数 $log10x$ を常用対数(common logarithm)という．

巻末の付録常用対数表には， $1.00$ から $9.99$ までの常用対数の値が，その小数第5位を四捨五入して，小数第4位まで載せてある．これを利用して，さまざまな正の数の対数の値を求めることができる．

問題2常用対数表から対数の値を求める

巻末の付録常用対数表を用いて，次の値について小数第4位を四捨五入して小数第3位まで求めよ．

$log103250$
$log100.0237$
$log1011/7$
$log10\sqrt5$
$log23.4$
$log3.19\sqrt[4]3$

解答を見る

計算していくと

$log103250=log10(3.25\times10³) =log103.25+log1010³ =log103.25+3 =0.5119+3=3.5119$

←和と差に関する対数の性質

よって， $log103250≒3.512$ となる．

計算していくと

$log100.0237=log10(2.37\times10^-2) =log102.37+log1010^-2 =log102.37-2 =0.3747-2=-1.6253$

←和と差に関する対数の性質

よって， $log100.0237≒-1.625$ となる．

計算していくと

$log1011/7=log1011-log107 =log10(1.1\times10)-log107 =log101.1+log1010-log107 =log101.1+1-log107 =0.0414+1-0.8451 =0.1963$

←和と差に関する対数の性質

よって， $log1011/7≒0.196$ となる．

計算していくと

$log10\sqrt5=log105¹/2 =1/2log105 =1/2\times0.6990=0.3495$

←実数倍に関する対数の性質

よって， $log10\sqrt5≒0.350$ となる．

計算していくと

$log23.4=log103.4log102 =0.5315/0.3010=1.7657\dots$

←底の変換公式

よって， $log23.4≒1.766$ となる．

計算していくと

$log3.19\sqrt[4]3=log10\sqrt[4]3log103.19 =log103¹/4log103.19 =1/4log103log103.19 =(1/4\times0.4771)/0.5038=0.2367\dots$

←底の変換公式

←実数倍に関する対数の性質

よって， $log3.19\sqrt[4]3≒0.237$ となる．

問題3対数をもちいて積や商の計算を簡単にする

常用対数表を用いて，次の値について小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めよ．

$124²\times(0.37)⁸$
$721⁵/3.1⁴\times143⁵\times\sqrt143$

解答を見る

桁数と最高位の数の評価

問題4桁数と最高位の数の評価

$log102≒0.3010,log103≒0.4771$ を利用して次の問いに答えよ．

解答を見る

$5¹⁰¹$ の常用対数を考えると

$log105¹⁰¹ =101log105 =101(log1010-log102) =101(1-0.3010) =70.599$

より， $5¹⁰¹=10^70.599$ とわかる．

ここで， $は 10^70.599は10^0.599+70$ だから

$10^0.599A\times10⁷⁰B$

と2つの部分に分けることができ， $A$ の部分は

$(1=) 10⁰≦10^0.599<10¹ (=10)$

を満たすので， $B$ の指数部分から， $10^0.599\times10⁷⁰$ つまり $5¹⁰¹$ は

$71$ 桁

とわかる．

←指数を使って数を表す方法〜その1〜

さらに

$1=10⁰ 2=10^0.3010 3=10^0.4771 4=2²=10^0.3010\times2=10^0.6020$

などと求まるが，いま $A$ の部分は

$(3=) 10^0.4771<10^0.599<10^0.6020 (=4)$

を満たすので， $10^0.599=3.\dots$ となり， $5¹⁰¹$ の最高位の数は $3$ とわかる．

← $5¹⁰¹=10^0.599\times10⁷⁰=3.\dots\times10⁷⁰$

$(1/3)²⁰$ の常用対数を考えると

$log10(1/3)²⁰ =log103^-20 =-20log103 =-20\times0.4771 =-9.542$

より， $5¹⁰¹=10^-9.542$ とわかる．

ここで， $は 10^-9.542は10^0.458-10$ だから

$10^0.458A\times10^-10B$

と2つの部分に分けることができ， $A$ の部分は

$(1=) 10⁰≦10^0.458<10¹ (=10)$

を満たすので， $B$ の指数部分から， $10^0.458\times10^-10$ つまり $5¹⁰¹$ は

小数第10位

にはじめて $0$ でない数字があらわれる．

←指数を使って数を表す方法〜その2〜

さらに

$1=10⁰ 2=10^0.3010 3=10^0.4771$

などと求まるが，いま $A$ の部分は

$(2=) 10^0.3010<10^0.458<10^0.4771 (=3)$

を満たすので， $10^0.458=2.\dots$ となり， $(1/3)²⁰$ の求める数は $2$ とわかる．

$(1/3)²⁰=10^0.458\times10^-10 =2.\dots\times10^-10$

最終更新: 2026-08-09

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数学II 第5章 対数と対数関数 — 常用対数

指数の利用

指数で数を表すことの利点

定義1指数を使って数を表す方法〜その1〜

定義2指数を使って数を表す方法〜その2〜

問題1指数を使って数を表す

常用対数の利用

常用対数の定義

定義3常用対数の定義

問題2常用対数表から対数の値を求める

問題3対数をもちいて積や商の計算を簡単にする

桁数と最高位の数の評価

問題4桁数と最高位の数の評価

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