常用対数の練習問題

Question 1

次の問いに答えよ。
(1) 地球から月までの距離は約380000 [km]である。これを、a×10^n [km]の形で表せ。ただし、1≦a<10,nは整数とする。
(2) 地球から太陽までの距離は約150000000 [km]である。このことと1.を利用して、地球から太陽までの距離は、地球から月までの距離の約何倍か求めよ。
(3) 水素原子の質量は約0.0000000000000000000000017 [g]である。これを、a×10^n [g]の形で表せ。ただし、1≦a<10,nは整数とする。
(4) 炭素原子の質量は約0.000000000000000000000020 [g]である。このことと3.を利用して、炭素原子の質量は、水素原子の質量の約何倍か求めよ。

Accepted Answer

(1) 380000=3.8×10⁵。
(2) 150000000=1.5×10⁸であるから
1.5×10⁸/3.8×10⁵=1.5/3.8×10³=394.7…
より、約395倍。
(3) 0.0000000000000000000000017
=1.7×10^-24。
(4) 0.000000000000000000000020
=2.0×10^-23であるから
2.0×10^-231.7×10^-24=2.0/1.7×10=11.76…
より、約11.8倍。

Question 2

本文の補足にある常用対数表を用いて、次の値について小数第4位を四捨五入して小数第3位まで求めよ。
(1) log103250
(2) log100.0237
(3) log1011/7
(4) log10√5
(5) log23.4
(6) log3.19√[4]3

Accepted Answer

(1) 計算していくと
log103250=log10(3.25×10³)
=log103.25+log1010³
=log103.25+3
=0.5119+3=3.5119
←和と差に関する対数の性質
よって、log103250≒3.512となる。
(2) 計算していくと
log100.0237=log10(2.37×10^-2)
=log102.37+log1010^-2
=log102.37-2
=0.3747-2=-1.6253
←和と差に関する対数の性質
よって、log100.0237≒-1.625となる。
(3) 計算していくと
log1011/7=log1011-log107
=log10(1.1×10)-log107
=log101.1+log1010-log107
=log101.1+1-log107
=0.0414+1-0.8451
=0.1963
←和と差に関する対数の性質
よって、log10(11/7)≒0.196となる。
(4) 計算していくと
log10√5=log105¹/2
=1/2log105
=1/2×0.6990=0.3495
←実数倍に関する対数の性質
よって、log10√5≒0.350となる。
(5) 計算していくと
log23.4=log103.4log102
=0.5315/0.3010=1.7657…
←底の変換公式
よって、log23.4≒1.766となる。
(6) 計算していくと
log3.19√[4]3=log10√[4]3log103.19
=log103¹/4log103.19
=(1/4)log103log103.19
=(1/4×0.4771)/0.5038=0.2367…
←底の変換公式
←実数倍に関する対数の性質
よって、log3.19√[4]3≒0.237となる。

Question 3

常用対数表を用いて、次の値について小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めよ。
(1) 124²×(0.37)⁸
(2) 721⁵/3.1⁴×143⁵×√143

Accepted Answer

(1) x=124²×(0.37)⁸とおき、xの常用対数を考えると
log10x=log10{124²×(0.37)⁸}
=log10124²+log10(0.37)⁸
=2log10124+8log100.37
=2log10(1.24×10²)
+8log10(3.7×10^-1)
=2(log101.24+log1010²)
+8(log103.7+log1010^-1)
=2(0.0934+2)+8(0.5682-1)
=0.7324
よって、表からx = 5.40とわかるので、求める値は5.4となる。
(2) x=721⁵/3.1⁴×143⁵×√143とおき、xの常用対数を考えると
log10x
=log10721⁵/3.1⁴×143⁵×√143
=log10721⁵3.1⁴×143^5.5
=5log10721
-(4log103.1+5.5log10143)
=5log10(7.21×10²)-4log103.1
-5.5log10(1.43×10²)
=5(log107.21+2)-4log103.1
-5.5(log101.43+2)
=5(0.8579+2)-4・0.4914
-5.5(0.1553+2)
=0.46975
よって、表からx = 2.95とわかるので、求める値は3.0となる。
常用対数の定義
現代のように計算機（コンピュータ）の発達していなかった時代の天文学者や物理学者は、 大きな数の掛け算や割り算を上の例題のように工夫して計算していた。 当時、付録常用対数表の作成には、ネイピア(John Napier)やブリッグス(Henry Briggs)などが何十年もの歳月をかけて行った。 後の数学者ラプラス(Pierre Simon de Laplace)は、この業績を評価して 「(対数の発見は)天文学者の寿命を2倍にした」と語ったという。

Question 4

log102≒0.3010,log103≒0.4771を利用して次の問いに答えよ。
(1) 5¹⁰¹は何桁の整数か求めよ。また、5¹⁰¹の最高位の数を求めよ。
(2) (1/3)²⁰は小数第何位にはじめて0でない数があらわれるか求めよ。 また、その数はいくつか求めよ。

Accepted Answer

(1) 5¹⁰¹の常用対数を考えると
log105¹⁰¹
=101log105
=101(log1010-log102)
=101(1-0.3010)
=70.599
より、5¹⁰¹=10^70.599とわかる。
ここで、10^70.599は10^0.599+70だから
10^0.599A×10⁷⁰B
と2つの部分に分けることができ、Aの部分は
(1=) 10⁰≦10^0.599<10¹ (=10)
を満たすので、Bの指数部分から、10^0.599×10⁷⁰つまり5¹⁰¹は
71桁
とわかる。
←指数を使って数を表す方法〜その1〜
さらに
1=10⁰
2=10^0.3010
3=10^0.4771
4=2²=10^0.3010×2=10^0.6020
などと求まるが、いまAの部分は
(3=) 10^0.4771<10^0.599<10^0.6020 (=4)
を満たすので、10^0.599=3.…となり、5¹⁰¹の最高位の数は3とわかる。
←5¹⁰¹=10^0.599×10⁷⁰=3.…×10⁷⁰
(2) (1/3)²⁰の常用対数を考えると
log10(1/3)²⁰
=log103^-20
=-20log103
=-20×0.4771
=-9.542
より、(1/3)²⁰=10^-9.542とわかる。
ここで、10^-9.542は10^0.458-10だから
10^0.458A×10^-10B
と2つの部分に分けることができ、Aの部分は
(1=) 10⁰≦10^0.458<10¹ (=10)
を満たすので、Bの指数部分から、10^0.458×10^-10つまり(1/3)²⁰は
小数第10位
にはじめて0でない数字があらわれる。
←指数を使って数を表す方法〜その2〜
さらに
1=10⁰
2=10^0.3010
3=10^0.4771
などと求まるが、いまAの部分は
(2=) 10^0.3010<10^0.458<10^0.4771 (=3)
を満たすので、10^0.458=2.…となり、(1/3)²⁰の求める数は2とわかる。
(1/3)²⁰=10^0.458×10^-10
=2.…×10^-10

常用対数の練習問題（全4問・解答つき）

問題1指数を使って数を表す

問題2常用対数表から対数の値を求める

問題3対数をもちいて積や商の計算を簡単にする

問題4桁数と最高位の数の評価