数学B 第7章空間ベクトルと空間図形 — 空間ベクトルの1次独立

ベクトルの1次結合の定義（空間）

2 つの $， a，b$ に関する1 次結合は，「ベクトルの1 次結合の定義」で見たように，適当な実数 $， s，t$ を用いて

$sa + tb$

と表されるベクトルのことであった．

ここでは，これを拡張して，3 つの $，， a，b，c$ に関する1 次結合を次のように定義する．

定義11 次結合の定義

3 つのベクトル， $，， a，b，c$ に対して，適当な実数 $，， s，t，u$ を用いて

$sa + tb + uc$

と表されるベクトルのことを， $，， a，b，c$ の1 次結合という．

点Oから出るベクトルa、ベクトルb、ベクトルcの方向に、それぞれ3倍、2倍、1/2倍伸ばしたベクトルで作られる平行六面体が破線で表され、その対角線としてベクトルOPが描かれている。

たとえば，上の図の空間において $OP$ を $，， a，b，c$ の1次結合で表すと

$OP = 3a + 2b + (1/2)c$

とただ1通りに表せる． $，， a，b，c$ が同一平面上にないときに表し方が1 通りに決まることは，この節の後半で示す．

点Oを始点とするベクトルa，ベクトルb，ベクトルcと、格子の対角線の先にある点Pが描かれている。ベクトルOPは、ベクトルaの方向に4コマ、ベクトルcの方向に2コマ進んだ矢印として示されている。

また，上の図の平面おいて， $OP$ を $，， a，b，c$ の1次結合で表すと

$OP = 4a + 0b + 2c OP = 6a + 4b + 0c OP = 5a + 2b + c ⋮$

などいろいろな方法で表せる．

ベクトルの1次独立の定義（空間）

2 つの $， a，b$ が1 次独立であることの定義は，「ベクトルの1 次独立の定義」で見たように

$sa + tb = 0$

を満たす実数 $， s，t$ が $s = t = 0$ のときに限る，ことであった．

ここでは，これを拡張して，3 つの $，， a，b，c$ に関する1 次独立を次のように定義する．

定義21 次独立の定義

「 $，， a，b，c$ が1 次独立である」とは

$sa + tb + uc = 0$

を満たす実数 $，， s，t，u$ が $s = t = u = 0$ のときに限る，ことである．

点Oを始点とする3つのベクトルa、ベクトルb、ベクトルcがある。ベクトルaとベクトルbが作る平面は灰色で塗られており、ベクトルcはその平面から外れた方向に伸びている。

たとえば，上の図のように空間内にある $，， a，b，c$ では

$sa + tb + uc = 0$

となる $，， s，t，u$ は $s = t = u = 0$ のときに限られるので， $，， a，b，c$ は1 次独立である．

始点Oを共有する3つのベクトルa、ベクトルb、ベクトルcが、点線の格子で表された同一平面上にある。ベクトルcは、ベクトルaの向きに1マス、ベクトルbの向きに2マス進んだ終点をもつ。

また，上の図のように同一平面上にある $，， a，b，c$ （ $c = a + 2b$ を満たす）では， $s = t = u = 0$ のとき以外にも，たとえば $，， s = -1，t = -2，u = 1$ のときや， $，， s = 2， t = 4，u = -2$ のときも

$sa + tb + uc = 0$

を満たすので， $，， a，b，c$ は1 次独立であるとはいえない．

つまり，次のようなことがいえる．

定理31 次独立なベクトルと同一平面にないベクトル

$，， a，b，c$ が1 次独立であるならば， $，， a，b，c$ は同一平面内にない．逆に， $，， a，b，c$ が同一平面になければ， $，， a，b，c$ は1 次独立である．

つまり

「 $，， a，b，c$ が1 次独立」 $\Leftrightarrow$ $，， a，b，c$ が同一平面内にない

である．

実際， $sa + tb + uc = 0$ が $s = t = u = 0$ 以外の解をもち，その解で $u \neq 0$ であったとすると

$c = -(s/u)a - (t/u)b$

となり， $c$ は $， a，b$ の作る平面上のベクトルになってしまう．このように， $s = t = u = 0$ 以外の解をもつことと，3 つが同一平面内にあることは結びついている．

くわしい証明は省略．

1次独立な空間ベクトルに関する定理

1次独立な空間ベクトルに関する定理（空間）

2 つの1 次独立なベクトルの1 次結合に関して，「1 次独立な平面ベクトルに関する定理」が成り立った．ここでは，これを拡張した，3 つの1 次独立なベクトルの1 次結合に関する次の定理を示す．

定理41 次独立な空間ベクトルに関する定理

ある $p$ が，1 次独立な $，， a，b，c$ の1 次結合で

$p = sa + tb + uc p = s’a + t’b + u’c$

と2 通りに表されたとする．このとき

\begin{eqnarray} \left{ $s = s’ t = t’ u = u’$ \right. \end{eqnarray}

が成り立つ．つまり， $p$ は1 通りでしか表せない．

証明

$p$ は

$p = sa + tb + uc = s’a + t’b + u’c$

と表されるので

$sa + tb + uc = s’a + t’b + u’c$ $\Leftrightarrow (s - s’)a + (t - t’)b + (u - u’)c = 0$

ここで， $，， a，b，c$ は1 次独立であるから，その定義より

\begin{eqnarray} \left{ $s - s’= 0 t - t’= 0 u - u’= 0$ \right. \Longleftrightarrow \left{ $s = s’ t = t’ u = u’$ \right. \end{eqnarray}

∎

問題1空間内の直線の交点の位置ベクトル

空間内の四面体 $OABC$ において，辺 $AB$ の中点を $E$ ，辺 $OC$ を $2 : 1$ に内分する点を $F$ ，辺 $OA$ を $1 : 2$ に内分する点を $P$ とする．また， $Q$ を辺 $BC$ 上の点とする．線分 $EF$ と $PQ$ のが交点 $X$ をもつとき， $OX$ を $，， OA，OB，OC$ で表せ．

解答を見る

$，， OA = a，OB = b，OC = c$ とおく．

まず， $X$ は線分 $EF$ 上にあるから， $EX : XF = s : 1 - s$ とおくと

$内分点の位置ベクトル OX=(1-s)OE+sOF （注）内分点の位置ベクトル \LeftrightarrowOX=(1-s)・1/2(a+b)+s・(2/3)c \LeftrightarrowOX=((1-s)/2)a+((1-s)/2)b+(2s/3)c ①$

と表すことができる．

また， $X$ は線分 $PQ$ 上にあるから， $PX:XQ=t:1-t$ とおき，また，点 $Q$ について $BQ:QC=u:1-u$ とおくと

$内分点の位置ベクトル OX=(1-t)OP+tOQ （注）内分点の位置ベクトル \LeftrightarrowOX=(1-t)・(1/3)a +t・{(1-u)b+uc} \LeftrightarrowOX=(1-t/3)a+t(1-u)b+tuc ②$

と表すことができる．

いま， $OABC$ は四面体であるから， $，， a，b，c$ は同一平面上になく1次独立である．よって， $， ①，②$ より

\begin{eqnarray} && \left{ $(1-s)/2=(1-t)/3 (1-s)/2=t(1-u) 2s/3=tu$ \right. \ &\Leftrightarrow& \left{ $3-3s=2-2t (1-s)/2=t-tu 2s/3=tu$ \right. \ &\Leftrightarrow& \left{ $t=(3s-1)/2 (3-3s)/6=t-tu 4s/6=tu$ \right. \end{eqnarray}

以下，連立方程式

${ t=(3s-1)/2 (3-3s)/6=t-tu 4s/6=tu .$ を解く．

上の式を上から順に $(3)$ ， $(4)$ ， $(5)$ とする．

まず， $(4)+(5)$ より

$t=(3+s)/6$

これを $(3)$ に代入して

$(3+s)/6=(3s-1)/2\Leftrightarrow6+2s=18s-6$ $∴s=3/4$

これと $(3)$ より， $t=5/8$ である．これらと $(5)$ より， $u=4/5$ となる．

よって

$OX =(1/8)a+(1/8)b+(1/2)c$

最終更新: 2026-08-12

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質問の内容

数学B 第7章 空間ベクトルと空間図形 — 空間ベクトルの1次独立

ベクトルの1次結合の定義（空間）

ベクトルの1次結合の定義（空間）

定義11 次結合の定義

ベクトルの1次独立の定義（空間）

ベクトルの1次独立の定義（空間）

定義21 次独立の定義

定理31 次独立なベクトルと同一平面にないベクトル

1次独立な空間ベクトルに関する定理

1次独立な空間ベクトルに関する定理（空間）

定理41 次独立な空間ベクトルに関する定理

問題1空間内の直線の交点の位置ベクトル

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