数学B 第7章空間ベクトルと空間図形 — ベクトルの外積

ベクトルの外積

ベクトルの外積の定義

任意の2 つのベクトル， $， a，b$ に対して外積という演算 $a \times b$ を次のように定義する．

先端を上に向けて垂直に描かれた右ねじがあり、下側の頭部に「右ねじの回転」、上側の先端の脇に「進む向き」という文字が添えられている。

始点を共有する手前のベクトルaと右への矢印があり、それらに垂直で上に伸びるベクトルa×ベクトルbが描かれている。ベクトルaからの回転向きと、ベクトルa×ベクトルbの長さを表すSが添えられている。

$a \neq 0$ かつ $b \neq 0$ のとき

$a$ と $b$ を含む平面内で， $a$ の向きから $b$ の向きへの回転を考える． $a \times b$ は，このような回転により右ねじが進む向きをもつベクトルであり，大きさは $a$ と $b$ によって張られる平行四辺形の面積とする．
$a = 0$ または $b = 0$ のとき

$a \times b = 0$

とする．

外積の計算法則

ベクトルの外積に関して，次の計算法則が成り立つ．

定理1外積に関する計算法則

$a \times b = -b \times a$
結合法則

$a \times (kb) = k(a \times b)$
分配法則

$a \times (b +c) = a \times b + a \timesc$

証明

ゼロベクトルを含む場合の成立は明らかなので，以下ベクトルはすべてゼロベクトルでないとする．

まず， $a \times b$ と $b \times a$ の大きさは，共に $a$ と $b$ で張られる平行四辺形の面積であり等しい．

また， $a$ から $b$ へ右ねじを回して進む向きと， $b$ から $a$ へ右ねじを回して進む向きはちょうど逆になるから， $a \times b$ と $b \times a$ は互いに逆ベクトルとなり

$a \times b = -b \times a$

が成り立つ．
$k = 0$ のときの成立は明らかなので，それ以外の場合について証明する．

$k > 0$ のとき

まず， $a \times (kb)$ と $k(a \times b)$ の大きさは，共に $a$ と $b$ で張られる平行四辺形の面積を $k$ 倍したものであり等しい．

また， $kb$ と $b$ は同じ向きを向いているから， $a$ から $kb$ へ右ねじを回して進む向きと， $a$ から $b$ へ右ねじを回して進む向きは等しくなる．

$k < 0$ のとき

まず， $a \times (kb)$ と $k(a \times b)$ の大きさは，共に $a$ と $b$ で張られる平行四辺形の面積を $-k$ 倍したものであり等しい．

また， $kb$ と $b$ は逆を向いているから， $a$ から $kb$ へ右ねじを回して進む向きと， $a$ から $b$ へ右ねじを回して進む向きは逆になり， $a \times b$ を $k$ 倍することにより，結局同じ向きを向く

以上から，任意の実数 $k$ に対して

$a \times (kb) = k(a \times b)$

が成り立つ．
まず準備として， $a\timesb$ について少し考察しておく．

上の図のように， $，， a，b，$ および $a$ に垂直な平面に $b$ を正射影した $b’$ を考える．

このとき， $a$ から $b$ へ右ねじを回して進む向きと， $a$ から $b’$ へ右ねじを回して進む向きは等しい．また， $a$ と $b$ で張られる平行四辺形の面積と， $a$ と $b’$ で張られる平行四辺形の面積も等しい．つまり

$a \times b = a \times b’$

が成り立つ．

次に， $a \times (b +c)$ について考える．

上の図のように， $，，， a，b，c，$ および $b +c$ をとる．さらに， $a$ に垂直な平面にそれらを正射影した， $，， b’，c’，$ および $(b +c)’$ をとる．ここで， $(b +c)’$ は， $b’$ と $c’$ の和になっているので， $(b +c)’= b’ + c’$ である．

このとき，さきほどの話から $， a\times(b+c) = a\times(b+c)’，$ つまり

$a \times (b +c) = a \times (b’ + c’)$

が成り立つ．

この図を上からのぞき込んでみると，次の図のようになる．

このとき，たとえば $a \times b’$ は， $a$ から $b’$ に右ねじを回して進む向きをもち， $a$ と $b’$ で張られる平行四辺形（長方形）の面積を大きさにもつベクトルである．

いいかえると， $a \times b’$ は， $b’$ を $a$ に垂直な平面内で反時計回りに $90°$ 回転させた向きをもち， $|b’|$ の $|a|$ 倍の大きさをもつベクトルである．これは， $， a \times c’，a \times (b’ + c’)$ についても同様である．つまり， $a$ に垂直な平面上のベクトル $x$ に $a \times x$ を対応させる操作は，この平面全体を反時計回りに $90°$ 回転させて $|a|$ 倍に拡大する操作にほかならない．回転と拡大は平行四辺形を平行四辺形に，その対角線を対角線に移すから， $a \times (b’ + c’)$ は， $a \times b’$ と $a \times c’$ で張られる平行四辺形の対角線を表すベクトルとなる．

このことから

$a \times (b’ + c’) = a \times b’ + a \times c’$

が成り立ち， $， a \times b’，a \times c’$ がそれぞれ $， a \times b，a \timesc$ と等しくなることに注意すると

$a \times (b +c) = a \times b + a \timesc$

がいえる．

∎

外積の成分表示

成分表示された2 つのベクトル， $， a = ( ax ay az ) ，b = ( bx by bz )$ の外積について考えてみよう．

まず， $， a，b$ は $，， ex = ( 1 0 0 ) ，ey = ( 0 1 0 ) ，ez = ( 0 0 1 )$ を用いて

$a =ax ex + ay ey + az ez$ $b =bx ex + by ey + bz ez$

と分解できる．

ここで，座標軸は右手系にとってあるとする．つまり， $x$ 軸の正の向きから $y$ 軸の正の向きへ右ねじを回すと， $z$ 軸の正の向きに進むということである．

$ex$ と $ey$ は大きさが $1$ で互いに垂直であるから， $ex \times ey$ の大きさは1 辺の長さが $1$ の正方形の面積に等しく $1$ となり，向きは $ez$ と同じになる．同じように考えると

$，， ex \times ey = ez，ey \times ez = ex，ez \times ex = ey$

が成り立ち，計算法則1. より

$，， ey \times ex = -ez，ez \times ey = -ex，ex \times ez = -ey$

となる．

また，同じベクトルどうしでは張られる平行四辺形がつぶれて面積が $0$ になるから， $ex \times ex = 0$ ， $ey \times ey = 0$ ， $ez \times ez = 0$ である．

さらに，計算法則2.，3. は $\times$ の右側についてのものであるが，計算法則1. とあわせると，左側についても

$， (ka) \times b = k(a \times b)，(a +b) \times c = a \times c + b \times c$

が成り立つ．たとえば2 つ目は， $(a +b) \times c = -c \times (a +b) = -(c \times a + c \times b) = a \times c + b \times c$ とすればよい．

以上に注意して， $a \times b$ を計算していくと

$a \times b =(ax ex + ay ey + az ez) \times (bx ex + by ey + bz ez) =axby( ex \times ey) + axbz( ex \times ez) + aybx(ey \times ex) + aybz(ey \times ez) + azbx(ez \times ex) + azby(ez \times ey) =axby(ez) + axbz(-ey) + aybx(-ez) + aybz( ex) + azbx(ey) + azby(-ex) =(aybz - azby) ex + (azbx - axbz)ey + (axby - aybx)ez$

となるので

$( ax ay az ) \times ( bx by bz ) = ( aybz - azby azbx - axbz axby - aybx )$

が成立する．

問題1外積の成分計算

$， a = ( -2 1 5 ) ，b = ( -1 -4 3 )$ とする．

$a \times b$ を成分で表せ．
$a \times b$ が $， a，b$ それぞれと垂直になっていることを，内積を計算することによって確かめよ．

解答を見る

$成分成分成分 x 成分: 1 ・ 3 - (-4) ・ 5 = 23 y 成分: 5 ・ (-1) - 3 ・ (-2) = 1 z 成分: (-2) ・ (-4) - (-1) ・ 1 = 9$ $（注） ( ax ay az ) \times ( bx by bz ) = ( aybz - azby azbx - axbz axby - aybx )$

より， $a \times b = ( 23 1 9 )$
まず $(a \times b) ・ a= ( arrayc 23 1 9 array ) ・ ( arrayc -2 1 5 array ) = 23 ・ (-2) + 1 ・ 1 + 9 ・ 5 = 0 （注） ( arrayc ax ay az array ) ・ ( arrayc bx by bz array ) = axbx + ayby + azbz$

となり，確かに $a \timesb$ と $a$ は垂直となっている．また

$(a \times b) ・ b= ( arrayc 23 1 9 array ) ・ ( arrayc -1 -4 3 array ) = 23 ・ (-1) + 1 ・ (-4) + 9 ・ 3 = 0 （注） ( arrayc ax ay az array ) ・ ( arrayc bx by bz array ) = axbx + ayby + azbz$

となり，確かに $a\timesb$ と $b$ も垂直となっている．

最終更新: 2026-08-12

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