数学B 第2章漸化式 — 階差型漸化式:

階差型漸化式の解法

次の問題について考えてみよう．

問題1階差型漸化式～その１～

で定まる数列の一般項をの式で表せ．

このようなタイプの漸化式は，を移項して

と変形すると，数列の階差数列の一般項がとして与えられているものだと考えられる．

よって，階差数列の公式を利用してやれば，で

となる．また，この式の右辺のに1を代入すると，1となりに一致するから，この式はでも成立する．

以上から，でとなる．

ポイントは「階差数列の一般項が与えられている」と気づくことである．

問題2階差型漸化式～その２～

で定まる数列の一般項をの式で表せ．

解答を見る

漸化式を変形すると

階差型漸化式の特徴は，との係数が等しいことにある

となるので，数列の階差数列とすれば

であることがわかる．

ここで，のとき

階差数列の公式は，でないと使えない

階差数列の一般項

この式の右辺のに1を代入すると，1となり，これはに一致する．

でもあてはまるか代入してチェックする

したがって，求める一般項は

定理1階差型漸化式の解法 §

漸化式を次のように変形する．

このとき，式は数列の階差数列の一般項となっているので，階差数列の公式を用いてを求める．

での成立を忘れずにチェックして完成．

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