数学B 第3章数学的帰納法 — 数学的帰納法の原理

数学的帰納法の原理

数学的帰納法を理解するために，ドミノ倒しの例を考える．

ドミノ倒しという遊びがある．ドミノを床に立ち並べ，並べ終えたら最初の1枚を倒す．すると，その勢いで後に続くドミノが次々と倒れていき，最終的には全てのドミノを倒すことができる．逆に，ドミノがうまく倒れず途中で止まってしまうこともある．

ドミノ倒しを成功させる要領はなんだろうか．それは

ことである．この2点さえ確実に守れば，ドミノ倒しの規模をどんどん大きくすることができる．1個，2個，3個，とドミノの数を増やしていけば，理論的には無限個のドミノ倒し(もちろん現実には不可能だが)も成功するはずである．

これから学ぶ数学的帰納法では，このドミノ倒しと同じ要領で数学の証明をおこなう．

すなわち，数学的帰納法は

ことで，全ての場合において正しさを証明しまおう，という手法である．

以下では，数式の例を用いて数学的帰納法を説明していく．

次の問題を考えてみよう．

問題1数学的帰納法の例

すべての自然数において

を証明せよ

本当にこのが成立するかどうか，試しにを代入してみると

$左辺右辺$

となり成立している．

次に，の場合も

$左辺右辺$

で成立している．

また，の場合も

$左辺右辺$

で確かに成立している．

しかし，がの場合に成立したからといって，が全ての自然数で成立するかはまだわからない．なぜなら，以上の場合の成立についてはまだ確かめていないからである．

かといって，4以上のについて1つずつ調べていったとしても，無限にある自然数を調べ尽くすことはできない．

ここで威力を発揮するのが数学的帰納法(mathematical induction)である．

ある自然数の場合にが成り立つと仮定したとき，その次の自然数の場合にもが成り立つ．

ことを証明しよう．

これさえ証明してしまえば，の場合にはが成り立つことがすでに証明されているので，その次のの場合も成り立つ．

は成立が示されたもの．●は成立がまだ示されていないものとして並べると，次のようになる．

また，の場合が成り立つならば，同様にしてその次のの場合も成り立つ．

以降，冒頭のドミノ倒しの例のように，次々とが成り立つことが示される．この論法に終わりはないので，すべての自然数に対してが成り立つと結論付けてよい．

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