数学B 第4章 ベクトルの定義と基本演算 — ベクトルの演算

ベクトルの加法

ベクトルの加法の定義

2 つのベクトル に対して，まず点 を定めて

となる点 を取るとき，ベクトル を と の和といい， と書く．すなわち，

ベクトルの加法に関する計算法則

一般に，ベクトルの加法について，次のことが成り立つ．

逆ベクトルとゼロベクトル

あるに対し，大きさが等しく向きが反対であるベクトルを， の逆ベクトル(inverse vector) といい，で表す．

いま，右図のように とすると， であるから

である．

と，その逆ベクトル の和は

となる．このとき， を，始点と終点が一致した特別な有向線分の表すベクトルと考えて，これをゼロベクトル(zero vector) といい，記号 で表す．つまり

である．

ゼロベクトルの大きさは とし，その向きは考えないものとする．ゼロベクトルには，数の と同じように次のような性質がある．

注 は実数の（ゼロ）ではないことに気をつけよう．必ず矢印をつけて区別すること．

成分表示された平面ベクトルの加法

右図のような2 つのベクトルを考える．

いま， は右図より となる．つまり

が成立する．

一般に， と の和 は

となる．

また， の逆ベクトルの成分表示は，右図より となり，ゼロベクトルの成分表示は

となる．

問題1ベクトルの加法

が次のように表されているとき， を図示し，成分表示せよ．ただし，1 マスの1 辺の長さは とする．

解答を見る

1. 

   右図より， について， の増分は の増分は であるので，

2. 

   右図より， について， の増分は の増分は であるので，

3. 

   右図より， について， の増分は の増分は であるので，

解答を見る

この正六角形の中心を とする．

ベクトルの減法

ベクトルの減法の定義

2 つのベクトル， と に対して， に の逆ベクトルを加えたもの を と書き，これを， から を引いた差という．つまり

いま，右図のように とおくと， は であるから

また， より

が成り立つ．

成分表示された平面ベクトルの減法

2 つのベクトルを， とおくと， となるから

となる．

問題2ベクトルの減法

平行四辺形 の対角線の交点を とし， とする．次のベクトルを を用いて表し，また，成分表示せよ．

解答を見る

ベクトルの実数倍

ベクトルの実数倍の定義

でない と実数 に対し， の 倍 を次のように定める．

1. 

   のとき

   と同じ向きで，大きさが の 倍のベクトル

2. 

   のとき

   と反対の向きで，大きさが の 倍のベクトル

3. のとき

   と定める．

また， のときは，任意の実数 に対して と定める．

特に， のときは を省略して書く．つまり である． が分数 のとき， を と書くこともある．

ベクトルの実数倍に関する計算法則

問題3ベクトルの和，差，実数倍

右の図のようにベクトル をおくとき，次のベクトルを作図せよ．

解答を見る

1. 図示すると下図のようになる．

   

2. 図示すると下図のようになる．

   

3. 図示すると下図のようになる．

   

4. 図示すると下図のようになる．

   

単位ベクトル

である に対して，同じ向きの単位ベクトルは， を自分自身の大きさで割った となる．

成分表示された平面ベクトルの実数倍

とおくとき，右図より

となる．

また， だから， と同じ向きの単位ベクトルの成分表示は， となる．

注 反対向きの単位ベクトルの成分表示は − となる．

ベクトルの合成と分解

ベクトルの加法と減法で次の式を学習した．

このように2 つ以上のベクトルを1 つのベクトルで表現することをベクトルの合成という．

またこれらの式を逆にみて

1 つのベクトルを2 つ以上のベクトルで表現することをベクトルの分解という．

では経由点として点 をとっているが，ベクトルの加法の定義を考えると，点 でなくても任意の点でかまわないことがわかる．つまり

として，□には好きな点を経由点としてとってよい．

同様にして，では始点として点 をとっているが，点でなくても任意の点でかまわないことがわかる．

つまり

として，□には好きな点を始点としてとってよい．