数学B 第5章 平面ベクトルと平面図形 — 内分点・外分点の位置ベクトル

3点が1直線上にある条件

ベクトルの伸縮

たとえば，右図のように直線 上に点 があり， であったとする．このとき， は を「伸縮する」ことによって表すことができ

と書ける．

3点が一直線上にある条件

3 点 が一直線上にあるのは，ベクトル が を「伸縮する」ことによって表すことができる場合である．つまり，

となる実数 が存在することである．

内分点・外分点の位置ベクトル

内分点の位置ベクトル

右図のように，点 に関して2 点， をとるとき，線分 を の比に内分する点 の位置ベクトルである は，を用いて次のように表すことができる．

定理2内分点の位置ベクトル §

2 点 を結ぶ線分 を の比に内分する点 において， は

と表すことができる．

この式 の分子 は，右図の太線で表したようにたすきをかけたような形になっていると覚えるとよい．

外分点の位置ベクトル

右図のように，点 に関して2 点， をとるとき，線分 を の比に外分する点 の位置ベクトルである は， を用いて次のように表すことができる．

注 図では としてあるが， の場合も同じ式で表すことができる．

定理3外分点の位置ベクトル §

2 点 を結ぶ線分 を の比に外分する点 において， は

と表すことができる．

この式は，「 に外分すること」は「 に内分すること」と等しいと覚えるとよい．また， は分母・分子に をかけることにより

とも書けるので，「 に内分すること」とも等しいことがわかる．

注 これは，右上図で「mとnの進む向きが逆」であることによるものである．

証明

とおくと， ， ， と表すことができる．

よって

以上より， であり， は同一直線上にある．

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元記事: http://www.ftext.org/text/section/165（取得日 2026-08-07）