数学B 第6章空間ベクトルの演算 — 空間ベクトルの定義

空間ベクトルとは何か

空間内の有向線分から，その“位置”を無視して“向き”と“大きさ”だけに着目したものを(空間) ベクトルといい，で表すことにする．

「平面上のベクトルの相等」と同じように，空間内でも2 つのベクトルとの“向き”と“大きさ”が等しいとき

と書くことにし，このときとは等しいということにする．

空間ベクトルの場合にも，「ベクトルの大きさの表し方」と同様に，やの大きさを，それぞれ

と表す．ここで，は，(有向) 線分の長さに等しい．

「平面ベクトルを成分で表す」と同じように，今度は座標空間内にあるベクトルの成分を用いた表し方についてみていこう．

右図のように，座標空間内に2 点

$，$

があるとき，を

を用いて，と表すことにする．

の値を 成分(x-component) ，の値を 成分(y-component) ，の値を 成分(z-component) という．

「成分表示された平面ベクトルの相等」は，空間ベクトルの場合にも拡張される．

一般に，2 つの $，$ の相等に関して

が成り立つ．

空間ベクトルの大きさは，線分の長さである．いま，この線分の長さを求めてみよう．

点から，平面に下ろした垂線の足をとすると，の座標はであるから，三平方の定理より

である．また，はを直角とする直角三角形であるから，再び三平方の定理より

となり

と計算できる．

これより，2 点， $，$ 間の距離は，を用いて

と計算できる．

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