数学B 第7章空間ベクトルと空間図形 — 内分点・外分点の位置ベクトル（空間）

空間内での位置ベクトル

空間内でも平面上のときと同様にして，基準とする点をあらかじめ定めておくと，任意の点の位置は

というによって表すことができる．

このを，点に関する点への位置ベクトルという．また，位置ベクトルがである点を，と表す．

点に関して，2 点 $，$ がそれぞれ， $，$ であるとき

であるから，は

と表される．

つまり，は「終点の位置ベクトルから，始点の位置ベクトルを引いた差」に等しい．

点に関して空間内の2 点 $，$ をとるとき，線分をの比に内分する点の位置ベクトル，および外分する点の位置ベクトルは $，，，$ を用いて次のように表すことができる．

これより，2 点 $，$ を結ぶ線分をに内分する点を，外分する点をとすると，点 $，$ の座標は次のようになる．

点に関して空間内の3 点，，をとるとき，の重心の位置ベクトルは $，，$ を用いて次のように表すことができる．

これより，3 点，，を結んでできる空間内の三角形の重心をとすると，点の座標は次のようになる．

問題1空間内の三角形の重心

右図のような平行六面体において，，，，の重心をそれぞれ， $，，，$ とするとき，この4 点は平行四辺形をなすことを証明せよ．

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，，とすると， $，，，$ の位置ベクトル， $，，，$ は

$『空間内の三角形の重心』『空間内の三角形の重心』『空間内の三角形の重心』『空間内の三角形の重心』$

となり

$『空間内での位置ベクトル』『空間内での位置ベクトル』$

であるから，平行四辺形をなすことがわかる．

問題2内分点・外分点の位置ベクトル

四面体で，をに内分する点を，の中点を，をに内分する点を，の重心をとするとき，3 点 $，，$ は同一直線上にあることを示せ．

解答を見る

$，，$ とおくと，

$空間内での内分点・外分点の位置ベクトル空間内の三角形の重心空間内での内分点・外分点の位置ベクトル$

したがって，となるので， $，，$ は一直線上にある．

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