数学B 第7章 空間ベクトルと空間図形 — 空間ベクトルの内積

空間ベクトルの正射影

ベクトルのなす角の定義（空間）

まず平面ベクトルの場合と同じように、空間ベクトルでもベクトルのなす角を定義する。

でない2つの空間ベクトル、、 に対して、点 を始点として となるように点 、 をとる。このとき、 の大きさ は、、 によって決まる。この を、 と のなす角とする。

なす角の取り得る範囲は、平面ベクトルの場合と同様に となる。

ベクトルの正射影と有向距離（空間）

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの正射影と有向距離を定義する．

でない2 つの空間ベクトル， に対して，点 を始点として

となるように点 をとる．

いま，右図の点 からから直線 に下ろした垂線の足を とする．このとき，を の への正射影ベクトルといい と表す．正射影ベクトル は， とそのなす角 を用いて次のように表すことができる．

1. のとき

2. のとき

つまり， で と表せる．この の値のことを，の有向距離または符号付長さという．

なお， の大きさは

で表される．

ベクトルの内積（空間）

ベクトルの内積の定義（空間）

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの内積を定義 する．

任意の2 つの空間ベクトル， に対して内積という演算 を次のように定義する．

1. かつ のとき

   「 の大きさに， の有向距離をかけたもの」，すなわち

   とする．ここで， は と のなす角である．

2. または のとき

   とする．

空間の正射影ベクトルの内積での表し方

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでも同様な形で，正射影ベク トルを内積で表すことができる．

の への正射影ベクトル は

と表すことができる．

内積の計算法則（空間）

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルの内積でも，次のような計算 法則が成り立つ．

成分表示された空間ベクトルの内積

成分表示された2 つの空間ベクトル， の内積について考えてみよう．

まず， について，それぞれのベクトルの大きさはであり，どの2 つのベクトルのなす角も であるから

が成り立つ．

ここで， は

であるから， を に分解すると

となる．

同様にして

となる．

よって， より

となる．

空間ベクトルの垂直条件

平面ベクトルの場合と同じように，空間ベクトルでもベクトルの垂直を定義する．

でない2 つのベクトル， と のなす角が とき， と は垂直であるといい， と表す．また， はすべてのベクトルに対し垂直と定める．

このとき， と の内積は， となる．逆に， ならば といえる．つまり

である．

また，成分表示された2 つのベクトル， と が垂直であるとき

が成り立つ．

問題2空間ベクトルの垂直条件

正四面体 で， が垂直であることを証明せよ．

解答を見る

正四面体であるので

より

以上から， であることが示せた．

問題3空間ベクトルの内積と垂直条件

1 辺の長さ2 の正四面体 がある．の中点を の中点を とする． とおくとき，以下の問いに答えよ．

1. の値を求めよ．
2. を で表せ．
3. であることを証明せよ．
4. を求めよ．
5. と のなす角の余弦を求めよ．

解答を見る

3. であるので

ここで，1. と が正四面体であることから， であるので

したがって， である． 4.

したがって， である． 5. は正三角形であり， が の中点であることから

となり，また

である．したがって， のなす角をとすると

元記事: http://www.ftext.org/text/section/175（取得日 2026-08-07）