数学B 第7章 空間ベクトルと空間図形 — ベクトルの外積

ゼロベクトルを含む場合の成立は明らかなので，以下ベクトルはすべてゼロベクトルでないとする．

1. まず， と の大きさは，共に と で張られる平行四辺形の面積であり等しい．

   また， から へ右ねじを回して進む向きと， から へ右ねじを回して進む向きはちょうど逆になるから， と は互いに逆ベクトルとなり

   が成り立つ．

2. のときの成立は明らかなので，それ以外の場合について証明する．

   のとき

まず， と の大きさは，共に と で張られる平行四辺形の面積を 倍したものであり等しい．

また， と は同じ向きを向いているから， から へ右ねじを回して進む向きと， から へ右ねじを回して進む向きは等しくなる．

  <strong>のとき</strong>

まず， と の大きさは，共に と で張られる平行四辺形の面積を倍したものであり等しい．

また， と は逆を向いているから， から へ右ねじを回して進む向きと， から へ右ねじを回して進む向きは逆になり， を 倍することにより，結局同じ向きを向く

以上から，任意の実数 に対して

が成り立つ． 3.

まず準備として， について少し考察しておく．

右図のように，およびに垂直な平面に を正射影した を考える．

このとき， から へ右ねじを回して進む向きと， から へ右ねじを回して進む向きは等しい．また， と で張られる平行四辺形の面積と，と で張られる平行四辺形の面積も等しい．つまり

が成り立つ．

次に， について考える．

右図のように，および をとる．さらに， に垂直な平面にそれらを正射影した，および をとる．ここで， は，と の和になっているので， である．

このとき，さきほどの話から つまり

が成り立つ．

この図を上からのぞき込んでみると，右図のようになる．

このとき，たとえば は， から に右ねじを回して進む向きをもち， と で張られる平行四辺形（長方形）の面積を大きさにもつベクトルである．

いいかえると， は， を に垂直な平面内で反時計回りに 回転させた向きをもち， の 倍の大きさをもつベクトルである．これは， についても同様に考えることができ， は， と で張られる平行四辺形の対角線を表すベクトルとなる．

このことから

が成り立ち， がそれぞれ と等しくなることに注意すると

がいえる．