数学I 第2章 関数と方程式・不等式 — 関数

関数の基本知識

関数とは何か

の水が入っている水槽の中に毎分 の割合で水を入れたとする。

水を入れてから経過した時間が分とすると、水槽の中の水の量 は と計算することができる。

また、正方形の一辺の長さを とすると、その面積 は と計算することができる。

このように、「 の値を決めるとそれに応じて の値がただ1つだけ決まる」とき、 は の関数 (function) であるという。

が の関数であるということを、一般的に などと表す。関数 において、 の値が であるとき、対応する の値を で表し を のときの関数 の値という。

たとえば、 のとき である。

関数をグラフで表すということ

平面上に数直線を2本、直交するようにとると、その平面上の点 の位置は、右図のように実数の組 で表すことができる。この組 を点 の座標 (coordinates) といい、 と書く。

この直交する数直線のことを座標軸 (coordinateaxes) といい、座標軸の定められた平面を座標平面 (coordinateplane) という。

座標平面は、座標軸によって4つの部分に分けられる。これらを下図のように、それぞれ

• 、 ：第一象限 (firstquadrant)（しょうげん）： 、 ：第二象限 (secondquadrant)： 、 ：第三象限 (thirdquadrant)： 、 ：第四象限 (fourthquadrant)

という（座標軸はどの象限にも含めない）。

次に、関数 を座標平面に図示することを考えよう。

たとえば、関数 を図示するには、 を満たす値の組 を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。

同様に、関数 を図示するには、 を満たす値の組 を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。

一般に、関数 において、 の値とそれに対応する の値の組 を座標とする点全体の作る座標平面上の図形を、関数 のグラフ (graph) という。

のグラフ">

のグラフ">

定義域とは何か

数 において、 のとる値の範囲を、この関数の定義域 (domain) という。定義域をはっきりと示す場合には、関数とともに などと書く。

たとえば、関数 において、 のとる値の範囲、すなわち定義域を とするとき と表す。ただし、関数においてその定義域が特に示されていない場合には、その関数が意味を持つ範囲ですべての の値を考える。たとえば とだけ書かれていた場合には、定義域はすべての実数であり、また とだけ書かれていた場合には、 での除法は意味をなさないので，定義域は 以外のすべての実数である。

の定義域の図">

値域と最大値・最小値

関数 において、 が定義域すべての値をとるときの のとる値の範囲を、この関数の値域 (range) という。

たとえば、関数 の値域は、右のグラフからわかるように となる。

このように、関数において、その値域に最も大きい値があるとき、その値をこの関数の最大値 (maximumvalue) といい、その値域に最も小さい値があるとき、その値をこの関数の最小値 (minimumvalue) という。

元記事: http://www.ftext.org/text/section/59（取得日 2026-08-07）