数学I 第6章 平面図形・空間図形の計量 — 空間図形の計量

1. 、、 それぞれに、三平方の定理を用いて
2. に点 からみる余弦定理を用いて
3. 2より だから、1より の面積 は

上の例題で、、、 の面積をそれぞれ 、 、 とおくと が成り立っているのが確認できる。この関係は、一般の直角三角錐で成り立ち、三平方の定理の空間版といえるものである。

1. に正弦定理を用いて

3. まず、 に点 からみる第1余弦定理を用いて

   

   これより、 に三平方の定理を用いて はこれ以上簡単にならない

4. まず、 。

   

   これより、 に からみる余弦定理を用いて

1. であるから

   三角形の面積参照

2. まず、辺 の中点を とおくと、 、 となり、 は、 から におろした垂線の足であるとわかる。

   

   

   まず、 に三平方の定理を用いて よって、 。同様に、 である。

   

   次に、 とおくと、 に点 からみる余弦定理 を用いて

   拡張された三角比の相互関係参照

   であり、 より

   

   よって、 の長さは

   【別解： が の重心であることを使う】

   まず、辺 の中点を とおくと、 となるので、 に三平方の定理を用いて よって、 。同様に、 である。

   ここまでは上の解答と共通

   次に、正四面体の対称性から、点 は の重心となるので 、つまり

   

   最後に、 に三平方の定理を用いて よって、 となる。

3. 内接球の中心の点を とし、その半径を とおく。このとき、正四面体は4つの正三角錐 、、、 に分けることができる。

   

   これらの正三角錐の体積は、どれも であるから、正四面体 の体積 は また、1、2より正四面体 の体積 は よって、、 より

4. を辺 の中点にとり、、 を右図のようにとる。

図形の対称性から、外接球の中心 は 上および 上にあるのがわかる。

 は  の重心だから

となる。同様に、 である。

ここで、 とおくと、 より

1. 

   辺 の中点を とおくと、、 は共に二等辺三角形であるから、 、 である。よって、 が底面と側面のなす角 である。

   いま、直角三角形 において、 より、 となる。これは、他の側面についても同様である。

2. とおくと、三平方の定理より

である。

 に着目して、    となる。ここで、 に着目すれば、     である。

3. 

   であり、 より、 。よって、 が求める角 である。

   に点 からみる余弦定理を用いると よって、 となる。