数学I 第1章 数と式 — いろいろな数

自然数

自然数とは何か

ものの数を数えるとき、表現の仕方はいろいろだが、私たちは順序をつけて考えている。 たとえば

• 日本語ならば： 一、二、三、四、・・・
• 英語ならば： one、two、three、four、・・・
• ドイツ語ならば： ein、zwei、drei、vier、・・・
• フランス語ならば： un、deux、trois、quatre、・・・

順序をつけてものの数を数えるということは、たとえば、リンゴ 個と鉛筆 本は全く異なるものなのに、同じ「」という言葉でひとくくりにする、ということである。これは、ものに備わった「数」という点以外のあらゆる個性を捨て去ることに他ならない。

注 フランスの数学者集団ニコラ・ブルバキ（Nicolas Bourbaki, 1934年～） は「順序」のことを「母なる構造」と表現している。

愛着ある飼い猫のように、その個性が重要な場合には、数を数えることに意味は無い。 しかし、 匹の羊を放牧するときのように、ある程度心理的距離のあるものを管理する場合には、数を数えることには大きな意味がある。数を数えておかないと、夕刻、羊を小屋にしまうとき、迷子の羊がいてもわからなくなってしまう。

注 数を数える代わりに、名前を付けるという方法もある。しかし、それも羊100匹だとメリー、ドリー、ヤリー、・・・と名付けるだけで大変である。

ものの数を数える行為によって生まれる数、、、、 を自然数 （natural number）という。

自然数の図示

自然数の様子を図で見えるようにするため、以下のようなことを考えよう。

まず、向きのある直線（下図では右向き）上に原点 をとり、適当な長さをもった線分を、原点 からすきまが無いように直線の向きと同じ側に次々と並べる。そして、線分のつなぎ目に自然数を対応させていく。

注 コンパスで順にたどるような感じである。

このようにすると、線分のつなぎ目の点として自然数を表現できる。

この自然数の図示によって生まれた、上図のような数を表す直線のことを数直線 (number line) という。数直線上のある点 について「点 に対応する数が であること」を、 と書く。たとえば、下図では点 に対応する数が であるので、 である。

整数

整数とは何か

自然数をものの個数と見ている限り、自然数どうしの差のうち、たとえば、 には意味が無い。 なぜなら、 個のものから 個のものを差し引くことはできないからである。

しかし、 円の貸しがある人から 円借りた場合には、差し引きが

• （円）

の貸しになるように、 円の貸しがある人から 円借りた場合には、 自然数に符号（）のついた数を考え

• （円）

として 円の借りがあると考えると計算が便利である。

このような、自然数にマイナス（）のついた数と、、自然数をあわせて整数 (integer number) という。

たとえば、次の数は全て整数である。

整数の図示

整数の様子を図でみるためには、自然数のときと同じような操作を、原点 の左側にも施（ほどこ）せばよい。

今後、数直線上の両端にある記号「」は省略する。

有理数

有理数とは何か

個のものを 個 組にすると、 組ができる。 この という数は、 の に対する比 (ratio) の値を表している。比の値は整数になることもあるが、 の に対する比の値、つまり、 は整数では表せない。そこで新しい数 をつくる。

一般に、整数 と、 でない整数 によって の形で表せる数を、有理数 (rational number) という。

注 rationalには「合理的な」や「理性的な」という意味があるが、ratioには「比」という意味もある。その点で、明治時代に日本に輸入されたとき、rational numberは“有比数”とでも訳されるべきだったのかもしれない。また、比があることがすなわち合理である、という古代ギリシアの数学（紀元前600年～300年頃）の考え方のなごりが興味深い。

注 | | 加法 | 乗法 | 減法 | 除法 | |---|---|---|---|---| | 自然数 | ○ | ○ | × | × | | 整数 | ○ | ○ | ○ | × | | 有理数 | ○ | ○ | ○ | ○ |

有理数の四則演算（しそくえんざん）（加法・乗法・減法・除法）の結果は有理数になる。このように、演算によって得られる数の集まりが、演算に使う数の集まりと同じになるとき、その数の集まりは四則演算について閉じている (closed) という。表は四則演算について、閉じているものに○、閉じていないものに×をつけてまとめたものである。ただし、除法について、 で割ることは考えないものとする。

ある整数を とすると、一般に と表すことができるので、整数は有理数である。

有理数のうち、 と などは、約分 (reduction) という作業を通じて、どちらも として同一視できる。この のように、もうこれ以上約分できない有理数のことを既約（きやく）分数 (irreducible fraction) という。

たとえば、次の数は全て有理数である。

有理数どうしの比の値

たとえば、有理数 と有理数 の比の値 は、 のように表すこともできる。このように、 の分子または分母が、さらに分数で表されているとき、この全体の分数を複（ふく）分数 (complex fraction) という。

複分数は、「分母にある分数の分母」と「分子にある分数の分母」の最小公倍数を分母と分子に掛けることにより、普通の分数の形（分母も分子も整数の形）になおすことができる。よって、複分数も有理数である。

の場合は、3と7の最小公倍数21を分母と分子に掛けて次のようになる。

有理数と少数

有理数は筆算により 小数 (decimal number) になおすことができる。

たとえば、右図のような筆算を行うと

• のように、割りきれて 有限小数 (finite decimal) になるもの
• のように、割り切れず 無限小数 (infinite decimal) になるもの

がある。無限小数の中でも、上の の のように、同じ数の並びが繰り返し現れるものを、特に 循環小数 (circulating decimal) という。

循環小数は、循環する部分がわかるように、記号「」（ドット）を使う。たとえば、 は と表す。

有理数の図示

を数直線上で表すには、下図のように と をつなぐ線分の2等分点をとり、その点に を対応させればよい。また、 ならば と考えて、 と をつなぐ線分を5つつないで得られる線分の右端の点を対応させればよい。

一般に、 を数直線上で表すには、まず と をつなぐ線分の 等分点をとり、そのうち原点に一番近い点に を対応させる。そして、 と をつなぐ線分を 個つないで得られる線分の端の点を、 に対応させればよい。

注 これは、コンパスと定規で作図できる。余裕のある人は確認してみよう。

有理数の間には必ず有理数がある

例えば と の間には として、 という有理数が存在する。

一般に、2つの有理数 において とすれば、2つの有理数の間に新しい有理数を考えることができる。

こうして、2つの異なる有理数をどのように選んでも、その間に必ず有理数が存在することがわかる。

注 このことを、有理数の稠密（ちゅうみつ）性 という。

2つの異なる有理数の間には必ず有理数があるのだから、これを数直線上のいろいろな場所で考えると、数直線上には有理数に対応する点がびっしり詰まっているとわかる。

実数

無理数とは何か

さきほどの有理数の話から、数直線上にはびっしりと有理数が詰まっていることがわかった。では、今度は逆に、数直線上の点で表される値のすべてが、有理数として表せるのかについて考えてみよう。

たとえば、2辺の長さがそれぞれ である直角二等辺三角形の斜辺の長さ は、三平方の定理より すなわち、 で表される値であるが、これは下の図のように数直線上の点として表すこともできる。

では、この点に対応する有理数はあるのか、つまり、 は有理数なのだろうか。 それを次の例題で確認しよう。

循環しない無限小数

は、 乗して になる正の数である。 、 であるから は と の間にある。ここで、 、 であるから がいえる。さらに、 、 であるから がいえる。同じようにして などがいえ、 にいくらでも近い有限小数を次々に求めることができる。

これを限りなく繰り返すとき、両辺に現れる無限小数 は を表すと考えられ、この小数は循環することがない。もし、循環してしまうと が有理数になってしまう。

なお、無理数の近似値を筆算によって求める方法については、『付録』を参照せよ。

実数とは何か

数直線上の点として表される数、すなわち有理数と無理数をあわせた数を実数 (real number) という。

有理数と無理数を考えることにより、数直線上の点はすきま無くみっちり埋まる。

注 このことを、実数の連続性 (continuity) といい、有理数の稠密性と区別される。詳しくはFTEXT 数学IIIで学ぶ。

たとえば などは、どれも無理数である。また も無理数であることが知られている。

注 ネイピア数について、詳しくはFTEXT 数学IIIで学ぶ。

今後、、、 など、文字で数を表すとき、特にことわりが無ければ、その数は実数であるとする。

以上見てきたいろいろな数について、まとめると次のようになる。

絶対値

絶対値とは何か

数直線上で、原点 と点 の距離のことを の絶対値 (absolute value) といい、 と書く。たとえば である。この例からわかるように

• 正の数はその値がそのまま絶対値となり、
• 負の数は符号を変えた数が絶対値となる。

符号を変えるには、 倍すればよい。たとえば、 を に変えるには とすればよい。まとめるとつぎのようになる。

定義3絶対値 §

は場合に分けて と表すことができる。絶対値について が成り立つ。

数直線上の2点 と の距離 は、 のときでも、 のときでも、ともに で表すことができる。

元記事: http://www.ftext.org/text/section/57（取得日 2026-08-07）

最終更新: 2026-08-08