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数学I 第2章 関数と方程式・不等式 — 1次関数とそのグラフ

1次関数のグラフ

1次関数の定義

定義11次関数の定義 §

関数 が の1次式で表されるとき、つまり、 、 を定数として の形で表されるとき、 は の1次関数 (linear function) であるという。

関数 が の1次式で表されるとき、つまり、 、 を定数として の形で表されるとき、 は の1次関数 (linearfunction) であるという。

たとえば、以下の の関数 は、すべて1次関数である。

のグラフ

1次関数 において、まずは の場合、つまり のグラフについて考えてみよう。このタイプのグラフは次のような特徴があった。

定理2 のグラフの特徴 §

  1. 原点を通る直線である。

    1. のとき
    • が増加するとき、 も増加するため、グラフは右上がり
    • が大きいほど、右上がりは急
    1. のとき
    • が増加するとき、 は減少するため、グラフは右下がり
    • が大きいほど、右下がりは急

直線の（ 軸に対する）傾き具合を決める、 の値を傾き （slope） という。

<mjx-container role= のグラフ"> <mjx-container role= のグラフ"> 傾き は「 が 増加したときの の増加量」になっている。 が負のときは の増加量が負になり、 は減少していることになる。

のグラフ

次に、一般の1次関数 のグラフについて考えてみよう。

例として2つの1次関数 の関係を考えてみよう。

2つの1次関数のグラフ 2つの1次関数の関係の図

上の表から、 のグラフは、 のグラフを 軸方向に だけ平行移動した直線であるとわかる。

注 このことは、式の形からも理解できる。同じの値を代入しても、 のの値の方が、 のの値よりだけ大きく計算されるからである。

また、原点より 軸方向に 大きい点 を通ることがわかる。

定理3 のグラフ §

のグラフは、 のグラフを

「y軸方向にbだけ平行移動」

した直線である。このときの の値を切片 (y-intercept) という。

のグラフ

例として2つの1次関数 の関係を考えてみよう。

2つの1次関数のグラフ 2つの1次関数の関係の図

上の表から、 のグラフは、 のグラフを 軸方向に だけ平行移動した直線になるとわかる

注 このことは、式の形からも理解できる。 のの値と のの値を一致させるには、 のに、 のより大きい値を代入しなければならないからである。

また、このグラフは原点より 軸方向に 大きい点 を通る。

定理4 のグラフ §

のグラフは、 のグラフを

「 軸方向に だけ平行移動」

した直線である。このときの の値を切片 (x-intercept) という。

のグラフ

最後に、 の右辺に を加えた という形をした1次関数のグラフについて考えてみよう。

たとえば のグラフについて考えてみよう。これは、 のグラフを 軸方向に 平行移動した のグラフを、さらに 軸方向に 平行移動した のグラフを表している。

<mjx-container role= のグラフ"> また、 のグラフは、原点より 軸方向に 大きく、 軸方向に 大きい点 を通ることがわかる。

定理5 のグラフ §

のグラフは、 のグラフを

「 軸方向に だけ平行移動し、 軸方向に だけ平行移動」

した直線である。また、このグラフは を通る。

また、 は、計算によって や とも表せるので、 を 軸方向に 平行移動したものともいえるし、 軸方向に 平行移動したものともいえる。このことを、上のグラフで確認しておくこと。

「1次関数 のグラフ」のことを

「直線 」

ということがある。このときの は、直線の方程式 (equation of line) といわれる。

問題11次関数のグラフ

次の1次関数のグラフはすべて、 のグラフを平行移動してできる。それぞれ、 軸方向、 軸方向にいくつ平行移動が行われたのか、式の形から読み取れ。

また、それぞれのグラフを座標平面上に描け。

解答を見る
  1. 1の図

    であるので、 のグラフを 軸方向に 平行移動したグラフである。座標平面上に表すと右図のようになる。

  2. 2の図

    であるので、 のグラフを 軸方向に 平行移動し、 軸方向に 平行移動したグラフである。座標平面上に表すと右図のようになる。

1次関数の決定

変化の割合と傾き

関数 において、ある の範囲における「 の増加量に対する の増加量の比」を，その の範囲における変化の割合 (rateofchange) という。

座標が， から に増加するときの の変化の割合は

右図のように、直線 が異なる2点 、 を通るとき

変化の割合と傾きの関係の図 となり、1次関数の変化の割合は傾きと等しいことがわかる。

定義6直線の傾き §
  • 1次関数の変化の割合は、常にそのグラフの傾きに等しい。
  • 異なる2点 、 を通る直線の傾き は次の式で求められる。
直線の傾きの図
直線の傾きの図
問題2傾き を求める

次の条件にあった1次関数の傾きを求めよ。

  1. が 増えれば は 増える1次関数
  2. が 増えれば は 減る1次関数
  3. グラフが2点 、 を通る1次関数
  4. グラフが2点 、 を通る1次関数
解答を見る

  1. （の増加量）（の増加量）

  2. （の増加量）（の増加量）

    「 減る」ことと「 増える」ことは同じ

  3. 傾きは

    直線の傾き 参照

  4. 傾きは

    直線の傾き 参照

1次関数を決定する

のグラフで学んだことを用い、条件に合った1次関数の式を求めてみよう。

問題3直線の傾きと通る1点が与えられた場合

グラフが次の条件を満たす1次関数を求めよ。

  1. 傾きが で、点 を通る。
  2. 傾きが で、 切片が である。
  3. 傾きが で、 切片が である。
解答を見る
  1. 傾きが で、点 を通る直線の方程式は
  2. 切片が であるということは、点 を通るということであるから
  3. 切片が であるということは、点 を通るということであるから
問題4直線の通る2点が与えられた場合

グラフが次の条件を満たす1次関数を求めよ。

  1. 2点 、 を通る。
  2. 2点 、 を通る。
  3. 切片が 、 切片が である。
解答を見る

  1. 傾きは 直線の傾き

    である。

    通る点を として

    通る点を としてもよい

  2. 傾きは \blacktriangleleft 直線の傾き

    である。

    通る点を として

    通る点を としてもよい

  3. 求めたい関数のグラフは、 切片が なので を通り、 切片が なので を通る。

    つまり、傾きは 直線の傾き

    であるから、通る点を として

    通る点を としてもよい

切片が与えられたときの直線の方程式

右の図のように原点を通らない直線で、 切片が 、 切片が である直線は、傾きが であり を通るので、 となる。

この式全体を で割ると となる。

原点を通らない直線
原点を通らない直線
定理7切片が与えられたときの直線の方程式 §

切片が 、 切片が の直線の方程式は で表される。

上の例題の3は、 切片が 、 切片が であるから となりさきほどの解答と確かに一致する。

1次関数の対称移動

軸に関する対称移動

たとえば、1次関数 と、右辺全体に を掛けた1次関数 のグラフは、右図のように互いに 軸対称となっている。

<mjx-container role=軸対称の2本のグラフ"> これは、2つの1次関数に関して「同じ という値に対して、 の値の絶対値は同じだか、符号は逆になるため」と考えれば明らかであろう。

定理8 軸対称なグラフの関係 §

1次関数 において のグラフと のグラフは、互いに 軸対称になる。

軸に関する対称移動

次に、1次関数 と、右辺の を で置き換かえた1次関数 のグラフを図示すると、下図のように互いに 軸対称となっている。

<mjx-container role=軸に対称な2本の直線"> これは、2つの1次関数に関して「同じ という値をとるのが、 では 、 では のときであるため」と考えれば納得できるだろう。具体的にいえば、 の に を代入すると となり、 の に を代入すると同じく になるということである。

定理9 軸対称なグラフの関係 §

1次関数 において のグラフと のグラフは、互いに 軸対称になる。

元記事: http://www.ftext.org/text/section/60（取得日 2026-08-07）

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