数学I 第2章関数と方程式・不等式 — 2次不等式と2次関数

2次不等式とは

不等式を移項して整理することにより $次式次式$ などの形に変形できる不等式を、一般に 2次不等式 (quadratic inequality) という。

2次不等式を満たすの値について考えてみると、やはを満たすが、やはを満たさない。

1次不等式の解法と同じように、2次不等式でも、不等式を満たすの値の範囲をその不等式の解といい、解を求めることを不等式を解くという。

2次不等式の解法

2次関数をもちいて2次不等式を解く

2次不等式を解くためには、2次関数について、となるの値の範囲を調べればよい。

と因数分解できるので、グラフは下図のようになる。これより、となるの範囲はである。

<mjx-container role= のグラフ">

暗記12次不等式の解法

以下の空欄に適当な数字を入れよ。

2次不等式を解くことを考えよう。

まずを因数分解するため、2次方程式を解こう。

これは、解の公式よりとなる。よってと因数分解できる。

2次方程式の解と因数分解参照

この左辺をとおいて、となるときのの範囲を求めればよい。

2次関数のグラフを描けば右図のようになるので、の解は

<mjx-container role= のグラフ">

解答を見る

、、

、の計算

問題1判別式

の場合の2次不等式

次の2次不等式を解け。

解答を見る

<mjx-container role= のグラフ">

とおくと、判別式はとなるので、この放物線は軸と2つの共有点をもつ。その共有点の座標はより、軸との交点の座標は、とわかる。

これより、のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

右図より、 $の積$ となるのはまたはのときであるとわかる。

よって、2次不等式の解はとなる。
右図より、 $の積$ となるのはまたはのときとわかる。

よって、2次不等式の解はとなる。
右図より、 $の積$ となるのはのときとわかる。

よって、2次不等式の解はとなる。
右図より、 $の積$ となるのはのときとわかる。

よって、2次不等式の解はとなる。

問題2判別式

の場合の2次不等式

次の2次不等式を解け。

解答を見る

<mjx-container role= のグラフ">

とおくと、判別式はとなるので、この放物線は軸と接する。

さらに、2次方程式を解くととなるので、軸との共有点（接点）の座標はとわかる。

これより、のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

右図より、となるのはまたはのときとわかる。

よって、2次不等式の解はとなる。

「は以外のすべての実数」という答え方でもよい
右図より、すべての実数でとなるのがわかる。

よって、2次不等式の解はすべての実数となる。
右図より、となるは存在しないのがわかる。

よって、2次不等式の解は存在しない。
右図より、となるのはのときのみとわかる。

よって、2次不等式の解はとなる。

問題3判別式

の場合の2次不等式

次の2次不等式を解け。

解答を見る

<mjx-container role= のグラフ">

とおくと、判別式はとなり、この放物線は軸と交点をもたないので、のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

右図より、すべての実数でとなるのがわかる。

よって、2次不等式の解はすべての実数となる。
右図より、すべての実数でとなるのがわかる。

よって、2次不等式の解はすべての実数となる。
右図より、となるは存在しないのがわかる

よって、2次不等式の解は存在しない。
右図より、となるは存在しないのがわかる。

よって、2次不等式の解は存在しない。

定理12次不等式の解 §

の場合の、2次不等式の解はつぎのようにまとめることができる。

2次不等式の解

この結果は暗記するようなものではない。簡単なグラフを必ず描き、結果を導き出せるようにしよう。

問題42次不等式の練習

次の2次不等式を解け。

解答を見る

のグラフを描けば右図のようになるので、が解となる。
は整数の範囲で因数分解でき

の判別式をとするとのグラフを描けば右図のようになるので、が解となる。
式全体にを掛けて

の係数は正にした方がよいは判別式であるので、グラフは右図のようになる。つまり、この不等式を満たす実数は存在しないので、解はない。
移項して整理するとは簡単には因数分解できないので、

の判別式をとすると

2次方程式の解 2次方程式の解の公式参照

を利用してが解となる。
移項して整理するとの係数は正にした方がよい

の判別式についてであるので、グラフは右図のようになる。つまり、この不等式は常に正しいので、解はすべての実数。
両辺を6倍して整理するとのグラフを描くと右図のようになる。よって、この不等式の解は。

問題5連立2次不等式

次の不等式を解け。

上の式を、下の式をとする。
上の式を、下の式をとする。

解答を見る

- のグラフ">
  
  まず、を解くと最後の式をとする。
- のグラフ">
  
  次に、を解くと最後の式をとする。
以上、を共通して満たすは

1で求める不等式の範囲
- のグラフ">
  
  まず、を解くとの係数が正になるように両辺にを掛けた
  
  最後の式をとする。
- のグラフ">
  
  次に、を解くのだが、これは簡単には因数分解できないので、2次方程式の解の係数が偶数の場合の解の公式参照
  
  を利用して最後の式をとする。
以上、を共通して満たすは

2で求める不等式の範囲

より

なので

なので

問題6範囲に注意すべき2次関数の最大・最小

のとき、の最大値・最小値、そのときの、を求めよ。

解答を見る

まず、を変形して

からを消去することが目的をに代入し、平方完成すると

最大・最小を求めたいので平方完成する一方、において、なので

条件に2乗などがあるときは範囲に注意するである。つまり

<mjx-container role= のグラフ">

において、の最大値・最小値を求めればよい。そこで、のグラフを描けば、右図のようになる。

図から、最大値はであり、をに代入してとなる。

また、最小値はであり、をに代入してとなる。まとめると

のとき最大値
のとき最小値

絶対値を含む関数・方程式

「絶対値」で学んだことを使って、絶対値を含む2次関数や2次方程式・不等式にして考えていこう。

問題7絶対値を含む2次関数

次の式で与えられた関数のグラフを描け。

解答を見る

1. のとき、なので
2. 、つまりのとき、であるので
以上i,iiより、グラフは右図のようになる。
1. 、つまりのとき、なので
2. 、つまりのとき、なので
以上i,iiより、グラフは右図のようになる。

この問の2のグラフは、のグラフのうち軸より下にある部分を上側へ折り返したものになっている。一般に、のグラフは、のグラフを描いておき、軸より下にある部分を上に折り返すと素早く描くことができる。

問題8絶対値を含む2次方程式

次の方程式を解け。

解答を見る

1. 、つまり
のとき、与えられた方程式はの範囲で考えているので、 2. 、つまり
```
 i の  の範囲以外
```
のとき、与えられた方程式は
```
  の係数が偶数の場合の解の公式参照

  より 

 の範囲で考えているので、
```
以上 i,ii より、求める解は
1. 、つまり
のとき、与えられた方程式は
```
 2次方程式の解の公式参照

 

 の範囲で考えているので、
```
1. 、つまり
  
  i のの範囲以外のとき、与えられた方程式は
  
  2次方程式の解の公式参照の範囲で考えているので、
以上 i,ii より、求める解は

問題9絶対値を含む2次不等式

次の不等式を解け。

解答を見る

1. 、つまり
のとき、与えられた不等式は
これとを合わせて、 2. i のの範囲以外

のとき、与えられた不等式は
```
 方程式  の解を利用した

  より 、
```
これと、を合わせて、

以上 i,ii より求める解は
1. 、つまり
  
  方程式の解を利用したのとき、与えられた不等式は
```
 
```
これと、を合わせて、 2. 、つまり
```
 i の  の範囲以外
```
のとき、与えられた不等式は
これと、を合わせて、

以上 i,ii より求める解は

問題10絶対値記号を複数含む式

以下の問いに答えよ。

関数のグラフを書け。
方程式を解け。
不等式を解け。

解答を見る

まず、場合分けについて考える。
- を解くと、
- を解くと、
になる場合は省略している。

よって、次の表のようになる。

～～～
1. のとき
2. のとき
3. のとき
以上 i,ii,iii より、グラフは右図のようになる。
まず、場合分けについて考える。
- を解くと、
- を解くと、
になる場合は省略している。

よって、次の表のようになる。

～～～
1. のときこれはに適する。
2. のときがいくつでも、この等式を満たすことはありえない。よって、この場合には解は無い。
3. のときこれはに適する。
以上 i,ii,iii より、求める解はである。
まず、場合分けについて考える。

3で与えられた不等式のグラフ
- を解くと、、
- を解くと、
になる場合は省略している。

よって、次の表のようになる。

～～～～
1. のとき
これと、を合わせて、この場合は解が無い。 2. のとき
これと、を合わせて、 3. のとき
```
 の判別式を  すると、 であり、グラフを考えると、解はすべての実数。
```
これと、を合わせて、 4. のとき
```
 方程式  の解を利用した
```
これと、を合わせて、

以上 i,ii,iii,iv より、求める解は