数学I 第3章集合の基礎 — 集合と要素

集合と要素の表し方

“1から9までの自然数の集まり”や“すべての偶数の集まり”のように、それに含まれるものが明確であるとき、このものの集まりを集合 (set) といい、ものそれぞれをその集合の要素 (element) という。集合は、アルファベットの大文字などを用いて表される。

注 “大きい数の集まり”などのように、範囲が不明確なものは集合とはいわない。

例えば、集合を $「の正の約数の集合」$ とした場合、の正の約数はであるから、は $「を要素とする集合」$ といっても同じことである。

集合の図のように、要素の満たす条件を示して集合を決める方法のことを、内包（ないほう）的定義 (intensional definition) といい $はの正の約数$ と表す。この方法では、の要素を代表して例えばなどで表し、の中の縦線の右側に、そのの満たす条件を書く。

また、のように、すべての要素を書き並べて集合を決める方法のことを、外延（がいえん）的定義 (extensional definition) といいと表す。

また、「要素をもたない集合」というものも考えることとし、これを空（くう）集合 (empty set) といい、記号で表す。

注集合における空集合の存在は、数におけるゼロと同じようなものである。それが由来で、空集合はに斜線をいれたで表す。

空集合を表すのにギリシア文字の（ファイ）をあてている本もある。

数の集合は次のように、あらかじめ表し方を決めているものがある。

数の種類について、詳しくはいろいろな数を参照のこと。

注有理数の集合を表すは、商を意味するquotientに由来する。

問題1集合の表し方

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1の要素の条件を示す方法では、答えが1通りになるとは限らず、いくつかの表し方があるのが普通である。

1. $以下の自然数$ 《別解》 $はの要素であり$ など
2. $は整数かつ$ 《別解》 $は以下の正の偶数$ など
3. $は以下の素数$ 素数 (prime number) とは、1より大きい整数で、1とその数自身以外に約数をもたないような数をいう。
3. 要素の個数に限りのない集合もある

この例題にある、“18の正の約数”のように、有限個の要素からなる集合を有限集合 (finite set) といい、“自然数全体”の集合のように、要素の個数に限りが無い集合を無限集合 (infinite set) という。

が集合の要素であるとき、は集合に属する (in) といいと表す。また、が集合の要素でないことは、に斜線を引いてで表す。

例として、 $はの正の約数$ とするとである。

問題2集合の要素の表し方

集合、を

とするとき、次のの中にまたはのいずれかを入れよ。

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わかりやすくするため、要素を書き並べてみると

これをもとに問に答える。

元記事: http://www.ftext.org/text/section/66（取得日 2026-08-07）

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