数学I 第3章 集合の基礎 — 集合と集合の関係

部分集合

部分集合について

2つの集合 、 について、 からどのような要素 をとってきても、その要素 が の要素であるとき、つまり が成り立つとき、 は の部分集合 (subset) であるといい と表す。このとき、 と の関係は図のようになり、 は を含む (contain) という。

また、この定義から集合 は自分自身の部分集合、すなわち がいえる。

なお、要素をもたない集合である空集合 は、どのような集合に対しても部分集合であると約束する。つまり、任意の集合 に対し、 とする。

《例》 、 、 のとき

集合の相等

2つの集合 、 において、 かつ のときは、 と の要素が完全に一致している。

このとき、 と は等しい (equal) といい と表す。また、等しくないときは と表す。

《例》 、 、 のとき

真部分集合

2つの集合 、 において、 であるが のとき、 は の真部分集合 (proper subset) であるといい と表す。また、真部分集合でないときは と表す。

《例》 、 、 のとき

真部分集合

集合における部分集合 と真部分集合 の違いは、実数における と の違いに似ていると考えると覚えやすい。

共通部分と和集合

共通部分

2つの集合 、 について、 と の両方に属する要素全体の集合を、 と の共通部分 (common part) といい、 と表す。

つまり である。 と に共通の要素がない場合には となる。特に、 である。

《例》 、 、 のとき

和集合

2つの集合 、 について、 と の少なくとも一方に属する要素全体の集合を、 と の和集合 (sum of sets) といい、 と表す。

つまり である。特に、 である。

《例》 、 のとき

和集合

はコップのような形をしていて、 はこれを裏返したような形をしている。 には水がいっぱい入るが、 には水がほとんど入らない。これと対応させて、要素の個数が多くなる方が 、少なくなる方が と覚えよう。

暗記1集合の性質～その1～

次の等式が成り立つことを、図をつかって確認せよ。

解答を見る

1. と は図において、ともに 、、、、、、 のすべてを表し等しい。

また、 と は図において、ともに の部分を表し等しい。 2. と は図において、ともに 、、、、 の部分を表し等しい。

また、 と は図において、ともに 、、 の部分を表し等しい。

補集合

共通部分と補集合

1つの集合 を定めておいて、 の要素や、 の部分集合だけを考えるとき、 を全体集合 (universal set) という。全体集合 の部分集合 に対して、 の要素ではあるが に属さない要素全体の集合を の補集合 (complement) といい、 で表す。

つまり である。

《例》 、 のとき、全体集合 に関する の補集合 は

暗記2集合の性質～その2～

次の等式が成り立つことを、図をつかって確認せよ。

2. 、
3. 、

解答を見る

1. まず、 の補集合 は

   の補集合">

   であるから、 の補集合の補集合 は

   の補集合の補集合">

   であり、これは と一致する。

2. と はそれぞれ

と の補集合">

であるから、 と の和集合 と、共通部分 はそれぞれ

と の和集合と共通部分">

であり、これらは 、 と一致する。 3. まず、 は

と の和集合">

であるから、その補集合 は

と の和集合の補集合">

である。

また、、 はそれぞれ

の補集合と の補集合">

であるから、これらの共通部分 は

の補集合と の補集合の共通部分">

であり、これは先程の に一致する。

最後に を確認する。まず、 は

と の共通部分">

であるから、その補集合 は

と の共通部分の補集合">

である。

また、、 はそれぞれ

の補集合と の補集合">

であるから、これらの和集合 は

の補集合と の補集合の和集合">

であり、これは先程の に一致する。

集合の直積

直積とは何か

2つの集合 、 について、 の要素 と の要素 の、順序を考えた組 全体がつくる集合を、 と の直積 (direct product) といい、 で表す。つまり である。

《例》 、 のとき

元記事: http://www.ftext.org/text/section/67（取得日 2026-08-07）