数学I 第3章集合の基礎 — 写像

写像について

ここでは、集合と集合の対応を調べることによって、写像や関数という考え方を学んでいこう。

例えば、東京駅からJRを使いさまざまな駅に向かうときの乗車券の料金は表のようになっている。

このことを「集合」を用いて表すことを考えよう。

まず、向かう駅の集合を $渋谷新宿横浜仙台大阪博多札幌$ とし、料金の集合をとする。

このように集合、を作ると、図のようにの各要素にの要素が1つずつ対応する。

写像を表す図一般に、2つの集合、において、ある規則によってのどの要素にも、の要素が1つずつ対応しているとき、この規則をからへの写像 (mapping) といい、記号などを用いてと書く。

写像において、集合をの定義域 (domain of definition) という。

また、写像によって、の要素に対応するの要素をと書き、これをによるの像 (image)、またはのにおける値 (value) という。

さらに、この像（値）全体の集合を写像の値域 (range) という。

先程の例でいうなら、定義域は $渋谷新宿横浜仙台大阪博多札幌$ であり、値域はである。

また、この対応を与えている規則による「横浜」の像、つまり $横浜$ は、である。

問題1定義域・値域

定義域を以下の自然数とするとき、の各要素に、その正の約数の個数を対応させる写像の値域を求めよ。

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定義域はである。

の各要素の正の約数と、その個数は表のようにまとめられるので、値域はとなる。

からどのような要素、をとってきてもが成り立つならば、であるときを1対1の写像 (one-to-one corespondence)、または単射 (injection) という。

1対1の写像（単射）

単射では、の要素が異なれば、それに対応するの要素も異なるので、の要素に2本以上の矢印が向かうことはなく、あっても1本の矢印しか向かわない。それゆえ、単射と覚えるとよい。

のどのような要素に対してもとなるようなの要素が存在するときを上への写像 (onto-mapping)、または全射 (surjection) という。

上への写像（全射）

全射では、のどのような要素も考えてみても、矢印の向わないところはなく、全部の要素に最低1本は矢印が向かっている。それゆえ、全射と覚えるとよい。単射と違い、2本以上の矢印が向かっていてもよい点に注意しよう。

上への写像であり、かつ1対1の写像でもあるものを、上への1対1写像 (onto and one-to-one corespondence)、または全単射 (bijection) という。

全単射の図特に、集合から集合への全単射のことを、置換 (substitution) ともいう。

上への1対1の写像（全単射）

全単射であるならば、の要素の個数はと必ず等しいことに注意しよう。

元記事: http://www.ftext.org/text/section/68（取得日 2026-08-07）

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