数学I 第4章 論理と集合 — 命題

命題と真・偽

“正しい”ということ“正しくない”ということ

次の4つの事柄について、“正しい”か“正しくない”かという点について考えてみよう。

1. 日本の首都は東京である
2. ペンギンは魚類である
3. 実数を2乗すると 以上になる
4. 2つの実数 、 に対し ならば、 かつ である

まず、i に関して。日本の首都は東京であるので、疑い無く“正しい”といえる。

次に、ii に関して。ペンギンは鳥類なので、この文章は間違っている。“正しい”か“正しくない”かと聞かれたら、“正しくない”といえるだろう。

そして、iii に関して。実数は、正・負・ の3つに分類でき、正の実数の2乗は正、負の実数の2乗は正、 の2乗は であるから、いずれにしても2乗した結果は 以上となる。ゆえに、この文章は“正しい”といえる。

最後に、iv に関して。 ということはいいかえるならば、 と が同じ符号 をもつということである。 と が同じ符号であるということには、 かつ という場合もあるが、 かつ という場合もあるということである。その点において、この文章は“正しい”とはいいきれないため、“正しくない”ということにする。

命題と真・偽について

式や文章で表された事柄で、“正しい”か“正しくない”かのどちらか一方に定まるものを命題（めいだい） (proposition) という。「カレーライスはおいしい」のように、“正しい”か“正しくない”かの判断が人によって異なるものや、「今何時？」のように、“正しい”か“正しくない”がそもそも決定できないものは、命題として扱わない。

命題が“正しい”とき、その命題は真（しん） (true) であるといい、命題が“正しくない”とき、その命題は偽（ぎ） (false) であるという。

数を などのアルファベットで表すように、命題もアルファベットの などで表す。

注 は命題 (proposition) の頭文字である。

    の「」は「または」の意味である

 「 または  は偶数」には、「どちらか一方が偶数」だけでなく「両方とも偶数」の場合も含まれる

元記事: http://www.ftext.org/text/section/70（取得日 2026-08-07）