数学I 第4章論理と集合 — 条件と真理集合

条件と真理集合について

例えば、ある数を含む事柄を「の値はである」、つまりとしてみよう。

の値が決まらないと、の真偽も決まらないので、は命題ではない。しかし、例えばにを代入したもの、つまりは $｢である」$ となり偽と決まるので命題である。また、にを代入したもの、つまりは $「である」$ となり真と決まるので、これもやはり命題である。このように

定理1変数・条件 §

の内容が決まれば命題となる事柄のことを、を変数 (variable)とする条件 (condition)という。

変数は1つとは限らず、複数ある場合もある。例えば $「はより大きい数である」$ は、2つの変数が確定して初めて命題となる。以下では、簡単のため、変数が1つの条件について説明していくが、変数がいくつかある条件でも基本的には同じである。

条件を考える場合には、その条件がもつ変数のとりうる範囲を、全体集合（全体集合と補集合参照）としてあらかじめ決めておく必要がある。このもとで、次のような集合を定義する。

定義2真理集合 §

が真となるようなの集合をの真理集合 (truth set) という。

例えば、条件を、先程と同じとして、の真理集合を求めてみる。

全体集合が実数全体の場合には、2次方程式を考えての2つがを真とするの値である。つまり、条件の真理集合はとなる。また、全体集合が自然数全体の場合には、は除外されるので、真理集合はとなる。

問題1条件と真理集合

条件を、全体集合をとするとき、真理集合を求めよ。

記号、、については、集合の表し方参照。

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真理集合とは何か

たとえ同じ条件でも、全体集合の取り方によって、真理集合は変化することに注意しよう。

元記事: http://www.ftext.org/text/section/72（取得日 2026-08-07）

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