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数学I 第4章 論理と集合 — 条件の結合

条件の「かつ」と「または」

「かつ」の真理集合

定理1条件の「かつ」 §

2つの条件 、 に対して、「 は共に真である」という主張は条件となり

「 かつ 」

と書く。

いま、ある条件 において、変数 のとり得る範囲を考え、それを全体集合 とし、 の真理集合をそれぞれ とする。

命題の「かつ」でみたように、命題 が共に真のときに限り、命題「 かつ 」は真になるので、条件「 かつ 」の真理集合は となる。

「かつ」の真理集合の図
「かつ」の真理集合の図

「または」の真理集合

定理2条件の「または」 §

2つの条件 に対して、「 の少なくとも一方は真である」という主張は条件となり

「 または 」

と書く。

いま、ある条件 において、変数 のとり得る範囲を考え、それを全体集合 とし、 の真理集合をそれぞれ とする。

命題の「または」でみたように、命題 が共に偽のときに限り、命題「 または 」は偽になるので、それ以外のときを考えて、条件「 または 」の真理集合は となる。

「または」の真理集合の図
「または」の真理集合の図

条件の否定

否定の真理集合

定理3条件の否定 §

条件 に対して

「 ではない」

という主張は条件となり、条件 の否定という。

条件 の否定は、記号 で表すこともある。

いま、ある条件 において、 のとり得る範囲を考え、それを全体集合 とし、命題 が真となるような要素 の集合、つまり条件 の真理集合を とする。

条件の否定を表す図 命題の否定でみたように、命題 が偽のときに命題 は真になるので、条件 の真理集合は の補集合 となる。

問題1条件の否定

は実数とする。次の条件の否定を答えよ。

  4. は無理数である
解答を見る

  1. 「 は である」の否定は「 は ではない」、よって

  2. 「 は 以上である」の否定は「 は 以上ではない」、つまり「 は より小さい」、よって

  3. 「 と を足したものは より大きい」の否定は「 と を足したものは より大きくはない」、つまり「 と を足したものは 以下である」、よって

  4. 「 は無理数である」の否定は「 は無理数ではない」、つまり

    無理数とは「有理数ではない数」、有理数とは「整数 と でない整数 によって の形で表せる数」である

    「 は有理数である」

条件の「ならば」

「ならば」の真理集合

定理4条件の「ならば」 §

2つの条件 に対して、「もし が真であるならば、 は真である」という主張は条件となり

「 ならば 」

と書き、記号では と表す。

このとき、初めの条件 を仮定といい、後の条件 を結論という。

いま、ある条件 において、変数 のとり得る範囲を考え、それを全体集合 とし、 の真理集合をそれぞれ とする。

命題の「ならば」でみたように、 として命題 が真で命題 が偽のときに限り命題 は偽になるので、それ以外の場合を考えて、条件 の真理集合は となる。

「ならば」の真理集合の図
「ならば」の真理集合の図

必要条件と十分条件

一般に

A：「全体集合内のすべての において、 は真となる」

という主張は命題となる。

条件の「ならば」の図のような場合では、白抜きの部分の要素 では、 は真、 は偽だから命題「 」は偽つまり、命題Aは偽となる。

この要素 のことを、この命題の反例 (counterexample) という。

しかし、右図のように、条件 の真理集合 が となる場合には、全体集合内のいかなる要素をとろうとも、 は真となるので、この命題Aは真となる。

必要条件と十分条件の図 全体集合内のすべての に対して、 が真であるとき

  • は であるための必要条件 (neccessary condition) である
  • は であるための十分条件 (sufficient condition) である

という。

注 例えば、 を鳥類の集合、 を動物の集合とする。何か要素を選んだとき、それが鳥類であるには、それ以前にまず動物であることが“必要”である。それゆえ、動物であることは鳥類であることの必要条件という。また、何か要素を選んだとき、それが鳥類であれば、動物であることに“十分”である。それゆえ、鳥類であることは動物であることの十分条件という。とはいえ、このように覚えるのは混乱しやすく難しい。そこで、はじめのうちは、吹き出しにあるように覚えておくとよい。

また、 と がともに真であるとき

  • は であるための必要十分条件 (neccessary and sufficient condition) である

または同値 (equivalence) であるといい、 と書く。この場合は、右図のように真理集合 と は等しく、 は であるための必要十分条件でもある。

必要十分条件の図
必要十分条件の図

必要条件と十分条件

“必要”や“十分”という言葉の意味についてはこだわらず、真理集合 において「小さい方が十分条件」、「大きい方が必要条件」と単純に覚えてしまおう。

問題2必要条件と十分条件

次の四角の中に

  • (ア) 必要条件であるが十分条件ではない
  • (イ) 十分条件であるが必要条件ではない
  • (ウ) 必要十分条件である
  • (エ) 必要条件でも十分条件でもない

のうち、適当なものを選んで入れよ。

  1. は であるための、
  2. は であるための、
  3. は であるための、
  4. は であるための、
解答を見る
  1. これより

1の図

  の真理集合をそれぞれ  とすると図のような関係になっている
  • は偽　（反例 ）
  • は真

となるので、 には(ア)が入る。 2. これより

2の図

  の真理集合をそれぞれ  とすると図のような関係になっている
  • は真
  • は偽　（反例 かつ など）

となるので、 には(イ)が入る。 3. に関して、まず このうち、さらに を満たす は かつ である。これより

3の図

  の真理集合をそれぞれ  とすると図のような関係になっている
  • は真
  • は真

つまり、 であるから、 には(ウ)が入る。 4. 4の図

  の真理集合をそれぞれ  とすると図のような関係になっている
  • は偽　（反例 ）
  • は偽　（反例 など）

となるので、 には(エ)が入る。

元記事: http://www.ftext.org/text/section/73（取得日 2026-08-07）

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