数学I 第6章 平面図形・空間図形の計量 — 球の体積と表面積

1. 

   

   底面に垂直な平面で立体を半分に切れば、左の断面図となる。高さ の平面による半球 の切り口は、左図の線分 を半径とした円になるので、線分 の長さを求めればよい。

   よって、求める長さは

2. 

   求める面積は「高さ の平面による円柱の切り口の面積」（これは半径 の円）から「高さ の平面による半球 の切り口の面積」（これは半径 の円）を引けばよいので、求める面積は

一般に、2つの立体について、どの高さに対する切り口の面積も等しいならば、これら2つの立体の体積は等しいことが知られている。上の例題において、底面の半径 、高さ の円錐を逆さにしたものを とすると、高さ における の断面積は と等しく になる、つまり、 と は体積が等しく と計算できる。この の体積を 倍して、半径 の球の体積 を得る。

注 カバリエリの原理 (principle of Cavalieri) といい、詳しくはFTEXT数学IIで学ぶ。

1. • 表面積は
   • 体積は

2. 1辺 の立方体の表面積は、

   直径 の球の半径は なので、表面積は よって、1辺 の立方体の表面積の方が大きい。

3. 水中に入れた球の体積は なので、水の体積と球の体積の和は である。実際には しか入らないので、あふれる水の体積は

円錐の頂点を 、球 、 の中心をそれぞれ 、 とし、 から底面に下ろした垂線の足を とする。このとき、線分 は 、 を通る。

1. 

   直線 を含むように、この立体図形を縦に垂直に切る。すると、断面図は右図のようになり、 球 の断面は、 の内接円になる。

   の面積を 、球 の半径 とすると が成り立つ。

   面積 は、 より であるので、これを に代入して

2. 

   1と同じ断面を考え、右図のように をとると である。

   よって、球 の半径を とすれば