確率分布と期待値
表も裏も$\dfrac{1}{2}$の確率で出る硬貨を投げ、表が出たら100円もらえ、裏がでたら何ももらえないというゲームをする。このゲームを何回も続けると、100円もらえるときもあれば何ももらえないときもあるが、1回のゲームにつき平均して50円はもらえると期待できる。以下では、偶然によって支配される出来事において期待できる値、「期待値」について考えてみる。
確率変数と確率分布
確率変数とは何か
10本のくじがあり，そこから1本のくじを引くという試行を考える． A賞が当ると1000円，B賞が当ると500円，C賞が当ると100円もらえるものとする．
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 賞&A賞&B賞&C賞\\\hline 賞金（円）&1000&500&100\\\hline 本数（本）&2&3&5\\\hline \end{array}A賞，B賞，C賞の当る確率は，それぞれ $\frac{2}{10},\frac{3}{10},\frac{5}{10}$ であるから，賞金と確率の関係は表のようにまとめることができる．
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 賞金（円）&1000&500&100\\\hline 確率&\frac{2}{10}&\frac{3}{10}&\frac{5}{10}\\\hline \end{array}ここで，1本のくじを引いた結果もらえる賞金を $X$ 円とすれば， $X$ は1000，500，100のどれかの値をとる． このとき， $X$ がどの値をとるかは試行の結果によって決まる．
また， $X=1000$ となるときの確率を $P(X=1000)$ のように書くとすると，これはA賞に当るという事象の確率であるから
\[P(X=1000)=\frac{2}{10}\]と書くことができる．他のものも同様にして
\[P(X=500)=\frac{3}{10},P(X=100)=\frac{5}{10}\]と書ける．
一般に，いまの $X$ のように，試行の結果によってその値が定まる変数を確率変数（probability variable）という． 確率変数を表すのには，大文字のアルファベット $X,Y,Z$ を使うことが多い．
確率分布とは何か
先程まとめた表
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 賞金（円）&1000&500&100\\\hline 確率&\frac{2}{10}&\frac{3}{10}&\frac{5}{10}\\\hline \end{array}は，確率変数と，その値となるときの確率の対応を示したものであり， この対応のことを確率分布（probability distribution）という．確率分布を上のように表にしてまとめたものを確率分布表（probability distribution chart）という
確率変数 $X$ が， $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ という値をとる試行での確率分布が
\[P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,3,\cdots,n)\]とすると，確率分布表は
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&計\\\hline P&p_1&p_2&p_3&\cdots&p_n&1\\\hline \end{array}となる．
期待値
期待値とは何か
さて，先程のくじ引きにおいて，このくじを1回引くとき，平均していくらの賞金が期待できるかについて考えてみよう．
\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline X&1000&500&100\\\hline P&\frac{2}{10}&\frac{3}{10}&\frac{5}{10}\\\hline \end{array}このくじの賞金は総額で
\begin{align} 1000円\times2本+500円\times3本+100円\times5本&\\ =4000円& \end{align}であるから，くじ1本あたりの賞金は，平均して
\[4000円\div10本=400円\]と考えられる．
この計算の見方を少し変えると（総額= $money$, くじの本数= $kuzibiki$ とすると）
\begin{align} &\frac{money}{kuzibiki}\\ =&\frac{1000\times2+500\times3+100\times5}{10}\\ =&\underbrace{1000}_{確率変数}\times\underbrace{\frac{2}{10}}_{確率}+\underbrace{500}_{確率変数}\times\underbrace{\frac{3}{10}}_{確率}+\underbrace{100}_{確率変数}\times\underbrace{\frac{5}{10}}_{確率} \end{align}と表すこともできる．
一般に，確率変数 $X$ のとり得る値のすべてが
\[x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n\]であり，その値をとるときの確率がそれぞれ
\begin{align} &p_1,p_2,p_3,\cdots,p_n\\ &\qquad(p_1+p_2+p_3+\cdots+p_n=1) \end{align}であるとする．つまり，確率分布が $P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,3,\cdots,n)$ のとき
\[x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+\cdots+x_np_n\]の値を，確率変数 $X$ の期待値（expextation）または平均（mean）といい $\boldsymbol{E(X)}$ と表す．
先程のくじ引きの例では，くじ1本あたりの賞金の平均値が期待値である．
期待値の $E(X)$ の定義
確率分布が $P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,3,\cdots,n)$ のとき，
期待値 $E(X)$ を
\[E(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+\cdots+x_np_n\]と定義する．
期待値の計算～その1～
次の1. と2. ではどちらが有利と考えられるか．
- さいころを1回振り，（出た目） $\times$ 100円もらえる．
- さいころを2回振り，1回でも6の目が出たら1200円もらえる．
1. と2. それぞれの期待値を求めてから判断する.
- もらえる金額を $X$ 円とすると，確率分布は
- 2回のさいころの結果，出る目の順列は $_{6}\Pi_{2}=36$ 通りあり，これらは同様に確からしい．このうち，1回でも6の目が出るのは，（数えて）11通りあるので，もらえる金額を $Y$ 円とすると，確率分布は \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline Y&0&1200&計\\\hline P&\frac{25}{36}&\frac{11}{36}&1\\\hline \end{array}
| $X$ | $100$ | $200$ | $300$ | $400$ | $500$ | $600$ | 計 |
| $P$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $1$ |
となるから，期待値 $E(X)$ は
\begin{align} E(X)&=\frac{1}{6}(100+200+300\\ &\qquad\qquad+400+500+600)\\ &=350 \end{align}となる．よって，期待値 $E(Y)$ は
\[E(Y)=\frac{11}{36}\times1200=\frac{1100}{3}\fallingdotseq367\]以上1. と2. の期待値の結果から，
2. の方が有利
と考えられる．
期待値の計算～その2～
次の問いに答えよ．ただし，計算には期待値の定義を使うこと．
- 1，2，3，4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある．カードを2枚引くとき，そのカードの番号の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ． また，カードの番号の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．
- 1，2，3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き， その数字の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ． また，数字の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．
- 確率変数 $X$ の確率分布は次のようになる． \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X&3&4&5&6&7\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{2}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array} \[E(X)=\frac{1}{6}(3+4+5\cdot2+6+7)=\boldsymbol{5}\]
- 確率変数 $X$ の確率分布は次のようになる． \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline X&2&3&4&5&6\\\hline P&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{3}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\hline \end{array} \begin{align} E(X)=&\frac{1}{9}(2+3\cdot2+4\cdot3+5\cdot2+6)\\ =&\boldsymbol{4} \end{align}
また，確率変数 $Y$ の確率分布は次のようになる．
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&2&3&4&6&8&12\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array} \[E(Y)=\frac{1}{6}(2+3+4+6+8+12)=\boldsymbol{\frac{35}{6}}\]また，確率変数 $Y$ の確率分布は次のようになる．
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&1&2&3&4&6&9\\\hline P&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9}&\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\hline \end{array} \begin{align} &E(Y)\\ =&\frac{1}{9}(1+2\cdot2+3\cdot2+4+6\cdot2+9)\\ =&\boldsymbol{4} \end{align}確率変数の1次式の期待値
確率変数 $X$ のとる値が $x_1,x_2,\cdots,x_n$ のとき， $X$ の1次式 $aX+b$ は
\[ax_1+b,ax_2+b,\cdots,ax_n+b\]という値をとる，別の新しい確率変数であると考える．
確率分布を $P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,\cdots,n)$ とすると， $a\neq0$ ならば
\[P(aX+b=ax_i+b)=P(X=x_i)=p_i\]が成り立つ．
よって，確率変数 $aX+b$ の期待値 $E(aX+b)$ は
\begin{align} E(aX+b)=&(ax_1+b)p_1+(ax_2+b)p_2\\ &\qquad\qquad+\cdots+(ax_n+b)p_n \end{align}となる．
確率変数の１次式の期待値
さいころ投げを1回行い，出た目を確率変数 $X$ とするとき， $E(2X+1)$ を求めよ．
$2X+1$ の確率分布は次のようになる.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&3&5&7&9&11&13\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array}これより
\begin{align} E(2X+1)&=\frac{1}{6}(3+5+7+9+11+13)\\ &=\boldsymbol{8} \end{align}$\blacktriangleleft$ （参考） $X$ の確率分布
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&1&2&3&4&5&6\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array} \[E(X)=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{7}{2}\]いま，この例題において，確率変数 $2X+1$ の計算の様子をわかりやすくするため
| 2X+1 | 2 $\cdot$ 1+1 | 2 $\cdot$ 2+1 | 2 $\cdot$ 3+1 | 2 $\cdot$ 4+1 | 2 $\cdot$ 5+1 | 2 $\cdot$ 6+1 |
| P | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ |
となおしてから，期待値 $E(2X+1)$ を計算してみると
\begin{align} &E(2X+1)\\ =&\ \frac{1}{6}\{\ (2\cdot1+1)+(2\cdot2+1)+\\ &\qquad(2\cdot3+1)+(2\cdot4+1)+\\ &\qquad(2\cdot5+1)+(2\cdot6+1)\ \}\\ =&\ \frac{1}{6}\left\{2(1+2+3+4+5+6)+6\right\}\\ &\uparrow Xの係数2でくくれる部分をくくった\\ =&\ 2\cdot\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)+1\\ =&\ 2E(X)+1 \end{align}つまり， $E(2X+1)=2E(X)+1$ が成り立つ．
暗記確率変数の１次式の期待値
$X$ を確率変数， $a,b$ を定数とするとき
\[E(aX+b)=aE(X)+b\]が成り立つことを証明せよ.
確率変数 $X$ の確率分布を
\[P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,\cdots,n)\]
とする（ $n$ は自然数）このとき
\begin{align} &E(aX+b)\\ =&(ax_1+b)p_1+(ax_2+b)p_2\\ &\qquad+\cdots+(ax_n+b)p_n\\ =&(ax_1p_1+bp_1)+(ax_2p_2+bp_2)\\ &\qquad+\cdots+(ax_np_n+bp_n)\\ =&a(x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)\\ &\qquad+b(p_1+p_2+\cdots+p_n)\\ &\blacktriangleleft Xの係数aでくくれる部分をくくった\\ &\qquad（bでもくくった）\\ =&aE(X)+b \end{align}確率変数の１次式の期待値の公式
$X$ を確率変数， $a,b$ を定数とするとき
\[E(aX+b)=aE(X)+b\]が成り立つ．
吹き出し無題
この公式は，確率変数を $a$ 倍すれば，期待値（平均）は $a$ 倍になり， 確率変数に $b$ を加えれば，期待値は $b$ だけ大きくなることを主張している． 感覚的には明らかといえるだろう．
確率変数の和の期待値
確率変数 $X$ の確率分布が $P(X=x_i)=p_{x_i}\quad(i=1,2,\cdots,n)$ ，確率変数 $Y$ の確率分布が $P(Y=y_i)=p_{y_j}\quad(j=1,2,\cdots,m)$ ，となる試行を考える．
$X$ が値 $x$ をとり， $Y$ が値 $y$ をとる確率を $P(X=x,Y=y)$ と書くとし
\[P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\]とする．
2つの確率変数 $X,Y$ はいろいろな値をとるが，それらを足した値をもまたいろいろな値をとり， この値を別の新たな確率変数と考えることもできる．この新しい確率変数 $Z$ を
\[Z=X+Y\]と書くことにする． $Z$ の確率分布表は以下のようになる．
| $y_1$ | $y_2$ | $\cdots$ | $y_m$ | ||
| $x_1$ | $x_1+y_1$ | $x_1+y_2$ | $x_1+y_m$ | 計 | |
| $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_{1m}$ | $p_{x_1}$ | ||
| $x_2$ | $x_2+y_1$ | $x_2+y_2$ | $x_2+y_m$ | 計 | |
| $p_{21}$ | $p_{22}$ | $p_{2m}$ | $p_{x_2}$ | ||
| $\vdots$ | $\vdots$ | ||||
| $x_n$ | $x_n+y_1$ | $x_n+y_2$ | $x_n+y_m$ | 計 | |
| $p_{n1}$ | $p_{n2}$ | $p_{nm}$ | $p_{x_n}$ | ||
| 計 | 計 | 計 | 計 | ||
| $p_{y_1}$ | $p_{y_2}$ | $p_{y_m}$ | $1$ |
このとき， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は
\begin{align} E(Z)=&(x_1+y_1)p_{11}+\cdots+(x_1+y_m)p_{1m}\\ +&(x_2+y_1)p_{21}+\cdots+(x_2+y_m)p_{2m}\\ &\qquad\quad\qquad\qquad\vdots\\ +&(x_n+y_1)p_{n1}+\cdots+(x_n+y_m)p_{nm} \end{align}確率変数の和の期待値
硬貨1枚とさいころ1個を投げる試行を考える．硬貨に表が出たときは1，裏が出たときは0を対応させる確率変数を $X$ とする．また，さいころに出た目を確率変数 $Y$ とする． $E(X+Y)$ を求めよ．
$Z=X+Y$ とすると， $Z$ のとる値は1から7までの整数となる．
例えば， $Z=2$ となるのは $X=1,Y=1$ のときか， $X=0,Y=2$ のときであり，これらは排反であるから
\begin{align} P(Z=2)=&P(X=1,Y=1)\\ &\qquad+P(X=0,Y=2)\\ =&\frac{2}{12} \end{align}である．同様にして，計算すると次のようにまとめられる．
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Z&1&2&3&4&5&6&7\\\hline P&\dfrac{1}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{2}{12}&\dfrac{1}{12}\\\hline \end{array}これより， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は
\begin{align} E(Z)=&\frac{1}{12}(1+2\cdot2+2\cdot3+2\cdot4\\ &\qquad+2\cdot5+2\cdot6+7)\\ =&\boldsymbol{4} \end{align}となる．
$\blacktriangleleft$ （参考1） $X$ の確率分布
\begin{array}{|c|c|c|}\hline X&0&1\\\hline P&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\\hline \end{array} \[E(X)=\dfrac{1}{2}\]$\blacktriangleleft$ （参考2） $Y$ の確率分布
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Y&1&2&3&4&5&6\\\hline P&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\\hline \end{array} \[E(X)=\dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{7}{2}\]いま，この例題において，確率変数 $X+Y$ の計算の様子をわかりやすくするため
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | ||||
| $0$ | $0+1$ | $0+2$ | $0+3$ | $0+4$ | $0+5$ | $0+6$ | 計 | ||
| $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{2}$ | |||
| $1$ | $1+1$ | $1+2$ | $1+3$ | $1+4$ | $1+5$ | $1+6$ | 計 | ||
| $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{2}$ | |||
| 計 | 計 | 計 | 計 | 計 | 計 | 計 | |||
| $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $1$ |
となおしてから，期待値 $E(X+Y)$ を計算してみると
\begin{align} &E(X+Y)\\ =&\ \frac{1}{12}\{(0+1)+(0+2)+(0+3)\\ &\qquad+(0+4)+(0+5)+(0+6)\}\\ &+\frac{1}{12}\{(1+1)+(1+2)+(1+3)\\ &\qquad+(1+4)+(1+5)+(1+6)\}\\ =&\ \left\{6\cdot\frac{1}{12}\cdot0+6\cdot\frac{1}{12}\cdot1\right\}\\ &+\left\{2\cdot\frac{1}{12}\cdot(1+2+3+4+5+6)\right\}\\ =&\ \left(\frac{1}{2}\cdot0+\frac{1}{2}\cdot1\right)\\ &+\left\{\frac{1}{6}\cdot(1+2+3+4+5+6)\right\}\\ =&\ E(X)+E(Y) \end{align}つまり， $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ が成り立つ．
暗記確率変数の和の期待値
$X,Y$ を確率変数とするとき
\[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\]が成り立つことを証明せよ．
確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=x_i)=p_{x_i}\quad(i=1,2,\cdots,n)$ ，
確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=y_i)=p_{y_j}\quad(j=1,2,\cdots,m)$ ，とし
\[P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\]とする．
$X+Y$ の確率分布表は以下のようになる．
| $y_1$ | $y_2$ | $\cdots$ | $y_m$ | ||
| $x_1$ | $x_1+y_1$ | $x_1+y_2$ | $x_1+y_m$ | 計 | |
| $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_{1m}$ | $p_{x_1}$ | ||
| $x_2$ | $x_2+y_1$ | $x_2+y_2$ | $x_2+y_m$ | 計 | |
| $p_{21}$ | $p_{22}$ | $p_{2m}$ | $p_{x_2}$ | ||
| $\vdots$ | $\vdots$ | ||||
| $x_n$ | $x_n+y_1$ | $x_n+y_2$ | $x_n+y_m$ | 計 | |
| $p_{n1}$ | $p_{n2}$ | $p_{nm}$ | $p_{x_n}$ | ||
| 計 | 計 | 計 | 計 | ||
| $p_{y_1}$ | $p_{y_2}$ | $p_{y_m}$ | $1$ |
このとき， $X+Y$ の期待値 $E(X+Y)$ は
\begin{align} &E(X+Y)\\ =&(x_1+y_1)p_{11}+(x_1+y_2)p_{12}\\ &\qquad+\cdots+(x_1+y_m)p_{1m}\\ &+(x_2+y_1)p_{21}+(x_2+y_2)p_{22}\\ &\qquad+\cdots+(x_2+y_m)p_{2m}\\ &+\cdots\\ &+(x_n+y_1)p_{n1}+(x_n+y_2)p_{n2}\\ &\qquad+\cdots+(x_n+y_m)p_{nm}\\ =&x_1(p_{11}+p_{12}+\cdots+p_{1m})\\ &+x_2(p_{21}+p_{22}+\cdots+p_{2m})\\ &+\cdots\\ &+x_n(p_{n1}+p_{n2}+\cdots+p_{nm})\\ &+y_1(p_{11}+p_{21}+\cdots+p_{n1})\\ &+y_2(p_{12}+p_{22}+\cdots+p_{n2})\\ &+\cdots\\ &+y_m(p_{1m}+p_{2m}+\cdots+p_{nm})\\ =&(x_1p_{x_1}+x_2p_{x_2}+\cdots+x_np_{x_n})\\ &+(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_np_{y_m})\\ =&E(X)+E(Y) \end{align}確率変数の和の期待値の公式
$X,Y$ を確率変数とするとき
\[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\]が成り立つ．
独立な確率変数の積の期待値
硬貨投げとさいころ投げのように，独立試行では確率変数 $X,Y$ のとる値すべての組 $x_i,y_j$ に対して
\[P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_j)\]が成り立つ．
一般に，2つの確率変数 $X,Y$ があって， $X$ のとるすべての値 $x$ と $Y$ のとる値 $y$ に対して
\[P(X=x,Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)\]が成り立つとき，確率変数 $X,Y$ は互いに独立（independent）であるという．
独立な確率変数の積の期待値
硬貨1枚とさいころ1個を投げる試行を考える． 硬貨に表が出たときは1，裏が出たときは0を対応させる確率変数を $X$ とする． また，さいころに出た目を確率変数 $Y$ とする． $E(XY)$ を求めよ．
$Z=XY$ とすると， $Z$ のとる値は0から6までの整数となる．
例えば， $Z=2$ となるのは $X=1,Y=2$ のときであるから
\[P(Z=2)=P(X=1,Y=2)=\frac{1}{12}\]である．同様にして，計算すると次のようにまとめられる．
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Z&0&1&2&3&4&5&6\\\hline P&\dfrac{6}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}&\dfrac{1}{12}\\\hline \end{array}これより， $Z$ の期待値 $E(Z)$ は
\begin{align} E(Z)&=\frac{6}{12}\cdot0+\frac{1}{12}(1+2+3+4+5+6)\\ &=\boldsymbol{\frac{7}{4}} \end{align}となる．
$\blacktriangleleft$ （参考1） $X$ の確率分布
\begin{array}{|c|c|c|}\hline X&0&1\\\hline P&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\\hline \end{array} \[E(X)=\dfrac{1}{2}\]$\blacktriangleleft$ （参考2） $Y$ の確率分布
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Y&1&2&3&4&5&6\\\hline P&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{6}\\\hline \end{array} \[E(X)=\dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\dfrac{7}{2}\]いま，この例題において，確率変数 $XY$ の計算の様子をわかりやすくするため
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | ||||
| $0$ | $0\cdot1$ | $0\cdot2$ | $0\cdot3$ | $0\cdot4$ | $0\cdot5$ | $0\cdot6$ | 計 | ||
| $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{2}$ | |||
| $1$ | $1\cdot1$ | $1\cdot2$ | $1\cdot3$ | $1\cdot4$ | $1\cdot5$ | $1\cdot6$ | 計 | ||
| $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{12}$ | $\dfrac{1}{2}$ | |||
| 計 | 計 | 計 | 計 | 計 | 計 | 計 | |||
| $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $\dfrac{1}{6}$ | $1$ |
となおしてから，期待値 $E(XY)$ を計算してみると
\begin{align} E(XY)&=\frac{1}{12}\{(0\cdot1)+(0\cdot2)+(0\cdot3)\\ &\qquad+(0\cdot4)+(0\cdot5)+(0\cdot6)\}\\ &+\frac{1}{12}\{(1\cdot1)+(1\cdot2)+(1\cdot3)\\ &\qquad+(1\cdot4)+(1\cdot5)+(1\cdot6)\}\\ &=\frac{1}{12}\cdot0\cdot(1+2+3+4+5+6)\\ &\qquad+\frac{1}{12}\cdot1\cdot(1+2+3+4+5+6)\\ &=\frac{1}{12}(0+1)(1+2+3+4+5+6)\\ &=\frac{1}{2}(0+1)\\ &\qquad\cdot\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)\\ &=E(X)\cdot E(Y) \end{align}つまり， $E(X+Y)=E(X)E(Y)$ が成り立つ．
暗記独立な確率変数の積の期待値
$X,Y$ を独立な確率変数とするとき
\[E(XY)=E(X)E(Y)\]が成り立つことを証明せよ．
確率変数 $X$ の確率分布を $P(X=x_i)=p_{x_i}\quad(i=1,2,\cdots,n)$ ，
確率変数 $Y$ の確率分布を $P(Y=y_i)=p_{y_j}\quad(j=1,2,\cdots,m)$ ，とすると， $X$ と $Y$ は独立なので
\begin{align} P(X=x_i,Y=y_j)&=P(X=x_i)\cdot P(Y=y_i)\\ &=p_{x_i}p_{y_i} \end{align}が成り立つ．
$XY$ の確率分布表は以下のようになる．
| $y_1$ | $y_2$ | $\cdots$ | $y_m$ | ||
| $x_1$ | $x_1y_1$ | $x_1y_2$ | $x_1y_m$ | 計 | |
| $p_{x_1}p_{y_1}$ | $p_{x_1}p_{y_2}$ | $p_{x_1}p_{y_m}$ | $p_{x_1}$ | ||
| $x_2$ | $x_2y_1$ | $x_2y_2$ | $x_2y_m$ | 計 | |
| $p_{x_2}p_{y_1}$ | $p_{x_2}p_{y_2}$ | $p_{x_2}p_{y_m}$ | $p_{x_2}$ | ||
| $\vdots$ | $\vdots$ | ||||
| $x_n$ | $x_ny_1$ | $x_ny_2$ | $x_ny_m$ | 計 | |
| $p_{x_n}p_{y_1}$ | $p_{x_n}p_{y_2}$ | $p_{x_n}p_{y_m}$ | $p_{x_n}$ | ||
| 計 | 計 | 計 | 計 | ||
| $p_{y_1}$ | $p_{y_2}$ | $p_{y_m}$ | $1$ |
このとき， $XY$ の期待値 $E(XY)$ は
\begin{align} &E(XY)\\ =&(x_1y_1)p_{x_1}p_{y_1}+(x_1y_2)p_{x_1}p_{y_2}\\ &\qquad+\cdots+(x_1y_m)p_{x_1}p_{y_m}\\ &+(x_2y_1)p_{x_2}p_{y_1}+(x_2y_2)p_{x_2}p_{y_2}\\ &\qquad+\cdots+(x_2y_m)p_{x_2}p_{y_m}\\ &+\cdots\\ &+(x_ny_1)p_{x_n}p_{y_1}+(x_ny_2)p_{x_n}p_{y_2}\\ &\qquad+\cdots+(x_ny_m)p_{x_n}p_{y_m}\\ =&x_1p_{x_1}(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_mp_{y_m})\\ &+x_2p_{x_2}(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_mp_{y_m})\\ &+\cdots\\ &+x_np_{x_n}(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_mp_{y_m})\\ =&(x_1p_{x_1}+x_2p_{x_2}+\cdots+x_np_{x_n})\\ &\times(y_1p_{y_1}+y_2p_{y_2}+\cdots+y_np_{y_m})\\ =&E(X)E(Y) \end{align}独立な確率変数の積の期待値の公式
$X,Y$ を確率変数とするとき
\[E(XY)=E(X)E(Y)\]が成り立つ．
公式を使った期待値の計算
期待値の計算～その２～と同じ問題を，今度は公式を上手に使って解け．
- 1，2，3，4と数字の書いてあるカードがそれぞれ1枚ずつ計4枚ある．カードを2枚引くとき，そのカードの番号の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ． また，カードの番号の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．
- 1，2，3の数字の書いてあるくじ（引いたら元に戻すものとする）を2回引き， その数字の和を確率変数 $X$ として，期待値 $E(X)$ を求めよ． また，数字の積を確率変数 $Y$ として，期待値 $E(Y)$ を求めよ．
- はじめに引いたカードの番号を確率変数 $A$ ，2枚目に引いたカードの番号を確率変数 $B$ とすると $A,B$ の確率分布は次のようになる． \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline A,B&1&2&3&4&計\\\hline P&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&1\\\hline \end{array} \[E(A)=E(B)=\frac{1}{4}(1+2+3+4)=\frac{5}{2}\]
- はじめに引くくじの番号を確率変数 $A$ ，2回目に引くくじの番号を確率変数 $B$ とすると， $A,B$ の確率分布は次のようになる． \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline A,B&1&2&3&計\\\hline P&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&1\\\hline \end{array} \[E(A)=E(B)=\frac{1}{3}(1+2+3)=2\]
$X=A+B$ であるから
\begin{align} E(X)&=E(A+B)\\ &=E(A)+E(B)\\ &=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\\ &=\boldsymbol{5} \end{align}$\blacktriangleleft$ 確率変数の和の期待値の公式
また，確率変数 $Y$ の確率分布は次のようになる．
$\blacktriangleleft$ 確率変数 $A$ と $B$ は独立ではないので $E(AB)=E(A)E(B)$ は成り立たず，定義式で計算するしかない.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X&2&3&4&6&8&12\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\hline \end{array} \begin{align} E(Y)&=\frac{1}{6}(2+3+4+6+8+12)\\ &=\boldsymbol{\frac{35}{6}} \end{align}$X=A+B$ であるから
\begin{align} E(X)&=E(A+B)\\ &=E(A)+E(B)\\ &=2+2\\ &=\boldsymbol{4} \end{align}$\blacktriangleleft$ 確率変数の和の期待値の公式
また， $Y=AB$ であり確率変数 $A$ と $B$ は独立なので
\begin{align} E(Y)&=E(AB)\\ &=E(A)\cdot E(B)\\ &=2\cdot2\\ &=\boldsymbol{4} \end{align}$\blacktriangleleft$ 独立な確率変数の積の期待値の公式