数学A 第3章図形の性質 — 平面図形

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この節の前提数学I平面図形の計量

角の2等分線

内分と外分

定義1内分

正の数 $m,n$ とする。線分 $AB$ 上の点 $P$ について

$AP:PB=m:n$

が成り立つとき、点 $P$ は線分 $AB$ を $m:n$ に

内分（interior division）

するといい、点 $P$ のことを内分点という。

線分AB上に点Pがある。AからPまでの部分の上に丸囲みのmが、PからBまでの部分の上に丸囲みのnが、それぞれアーチ状の線で示されている。

定義2外分

正の数 $m,n$ とする。線分ABの延長上の点 $Q$ について

$AQ:QB=m : n$

が成り立つとき、点 $Q$ は線分 $AB$ を $m:n$ に

外分（exterior division）

するといい、点 $Q$ のことを外分点という。

下図のように、点 $Q$ は

$m> n$ のときは、線分 $AB$ の $B$ の方向への延長上
$m< n$ のときは、線分 $AB$ の $A$ の方向への延長上

にある。

上部に「1) m>n のとき」とあり、直線上に左から点A、点B、点Qが並んでいる。点Aから点Qまでの比が丸囲みのm、点Bから点Qまでの比が丸囲みのnで示されている。「2) m<n のとき」という言葉とともに、直線上に左から順に点Q、点A、点Bが並んでいる。線分QAの上側に丸数字m、線分QBの下側に丸数字nが曲線で示されている。

問題1内分と外分

次の線分 $AB$ において、次の点を図示せよ。

等間隔に目盛りが付いた直線上に点Aと点Bがある。点Aと点Bの間は5目盛り離れており、点Aの左側に5目盛り、点Bの右側に12目盛りの直線が続いている。

$AB$ を $： 1：4$ に内分する点 $P$
$AB$ を $： 3：2$ に外分する点 $Q$
$AB$ を $： 3：2$ に内分する点 $R$
$AB$ を $： 1：2$ に外分する点 $S$

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等間隔の目盛りが並んだ直線上に、左から順に点S、A、P、R、B、Qが並んでいる。線分ABの長さは5目盛りで、点PはAから1目盛り、点Rは3目盛り、点SはAの左へ5目盛りの位置にある。

角の2等分線の定理（幾何）

角の2等分線の定理

定理3角の2等分線の定理

$△ABC$ において、 $∠A$ の2等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とするとき

$AB:AC=BD:DC$

が成り立つ。

△ABCがあり、頂点Aから辺BC上の点Dへ線分ADが引かれている。∠BADと∠CADにそれぞれ黒丸印が付いており、角が等しいことが示されている。

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証明

∎

問題2角の2等分線の定理

次の図の $△ABC$ において、点 $D$ は $∠A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点である。このとき、線分 $BD$ の長さを求めよ。

△ABCにおいて、辺ABの長さは15、辺ACの長さは12、辺BCの長さは18である。頂点Aから∠Aを二等分する線分ADが辺BCに引かれている。

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$BD=x$ とおくと、角の二等分線の定理より、

$AB:AC=BD:DC 15:12=x:(18-x) 5:4=x:(18-x) 4x=5(18-x) 9x=90 x=10 ∴BD=10$

定理4三角形の外角の二等分線と比

$△ABC$ において、 $∠A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長線との交点を $D$ とするとき

$AB:AC=BD:DC$

が成り立つ。

△ABCの辺BAを延長した直線と、頂点Aにおける外角を二等分する線分ADが描かれている。等しい角を表す黒丸印が2つあり、線分ADと辺BCの延長が点Dで交わっている。

問題3三角形の外角の二等分線と比

次の図の $△ABC$ において、点Dは $∠A$ の外角の二等分線と半直線 $BC$ との交点である。このとき、線分 $CD$ の長さを求めよ。

AB=7、AC=5、BC=6である△ABCにおいて、頂点Aの外角の二等分線と半直線BCの交点をDとし、二等分された角に黒丸印が付いている。

解答を見る

$CD=x$ とおくと、外角の二等分線の定理より、

$AB:AC=BD:DC 7:5=(6+x):x 7x=5(6+x) 2x=30 x=15 ∴CD=15$

重心

重心とは何か

中線について

三角形の頂点と、その向かい合う辺の中点を結ぶ線分を中線という。

定義5重心

三角形の中線の交点を重心という。

重心の定理

定理6重心

どんな三角形でも、各頂点から引いた3本の中線は1点で交わる。

つまり、どんな三角形でも重心は1つである。

図に示したように、重心は三角形の中線を $2:1$ に内分する。

△ABCの各頂点から対辺の中点へ引いた3本の中線が1点Gで交わっている。頂点Aから引いた中線は、点Gによって比が2対1に分けられていることが丸数字で表されている。

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証明

∎

問題4重心

図において、次の線分の長さを求めよ。

ただし、点Gは $△ABC$ の重心とする。

$CD$
$DG$
$BG$
$EG$

△ABCにおいて、辺BC上の点Dと辺AC上の点Eに対し、線分ADと線分BEの交点をGとする。BDの長さが7、AGの長さが6、BEの長さが12と示されている。

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$CD=BD=7$
$DG=(1/2)AG=1/2\times6=3$
$BG=(2/3)BE=2/3\times12=8$
$EG=(1/3)EB=1/3\times12=4$

内心

内心とは何か

定義7内心

三角形の内角の二等分線の交点を内心という。

内心の定理

定理8内心

どんな三角形でも、3つの角の二等分線は1点で交わる。

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証明

角の二等分線上の点は、その角をつくる2辺から等距離にある。逆に、角をつくる2辺から等距離にある点は、その角の二等分線上にある。いま、 $∠B$ の二等分線と $∠C$ の二等分線の交点を $I$ とすると、 $I$ は辺 $AB$ と辺 $BC$ から等距離にあり、また辺 $BC$ と辺 $CA$ からも等距離にある。よって、 $I$ は3辺すべてから等距離にあり、辺 $AB$ と辺 $CA$ から等距離であることから、 $I$ は $∠A$ の二等分線上にもある。

点 $I$ から辺 $BC,CA,AB$ に下ろした垂線の足を、それぞれ $D,E,F$ とすると、次のことがいえる。

$ID⊥BC,IE⊥CA,IF⊥AB$ $ID=IE=IF$

よって、この点 $I$ を中心とする半径 $ID$ の円は、 $△ABC$ の3辺に接する。

この円を $△ABC$ の内接円といい、点 $I$ を $△ABC$ の内心という。

△ABCの3辺に接する中心Iの内接円と、接点D、E、Fが描かれている。点Iから接点へ引いた線分ID、IE、IFは各辺に垂直で、等しい長さであることが記号で示されている。

∎

問題5内心

次の図において、次の角の大きさを求めよ。ただし、点 $I$ は $△ABC$ の内心とする。

$∠ABI$
$∠BIC$

△ABCの内部に点Iがあり、頂点B、Cとそれぞれ線分BI、CIで結ばれている。∠Aの大きさが80°、∠ACIの大きさが30°である。

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$△ABC$ において、

$2∠ABI+30°\times2+80°=180°$ より、

$∠ABI=20°$
$△IBC$ において、

$20°+30°+∠BIC=180°$ より、

$∠BIC=130°$

問題6内接円の半径と三角形の面積

次の図のような $△ABC$ があり、面積は $12\sqrt15$ である。この三角形の内接円の半径を求めよ。

中心を点Oとする内接円をもつ△ABCがあり、辺ABの長さが12、辺BCの長さが16、辺CAの長さが8であることが示されている。

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$△OAB+△OBC+△OCA=△ABC$ であることに着目する。

内接円の半径を $r$ とすると、

$1/2\times12\timesr+1/2\times16\timesr +1/2\times8\timesr=12\sqrt15$ $r=2\sqrt15/3$

3辺の長さが12、8、16である三角形の内側に、中心O、半径rの内接円が描かれている。点Oから各辺へ下ろした垂線の長さはすべてrで、点Oと各頂点は破線で結ばれている。

外心

外心とは何か

定義9外心

三角形の3辺の垂直二等分線の交点を外心という。

外心の定理

中心をOとする円に三角形ABCが内接している。頂点Aの内側には角Aを示す弧が付いており、辺BCの外側には長さaを示す弧状の線が添えられている。

△ABCの辺AB, ACの垂直二等分線の交点をOとし、それらの垂線の足をD, Eとする。頂点Aから点B, C, Oへ伸びる矢印と、点Oを通る破線が描かれている。

定理10外心

どんな三角形でも、3辺の垂直二等分線は1点で交わる。

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証明

$△ABC$ において、3辺の垂直二等分線が交わる点を $O$ とすると、上の証明により、点 $O$ は $△ABC$ の3つの頂点から等距離にある。よって、この点 $O$ を中心とする半径 $OA$ の円は、 $△ABC$ の3つの頂点を通る。

この円を、 $△ABC$ の外接円といい、点 $O$ を $△ABC$ の外心という。

円に内接する△ABCがあり、その中心Oから各頂点へ線分OA、OB、OCが引かれている。3つの線分にはそれぞれ同じ○印がつき、長さが等しいことを示している。

∎

問題7外心

次の図において、次の角の大きさを求めよ。ただし、点 $O$ は $△ABC$ の外心とする。

$∠ABO$
$∠BOC$

△ABCとその内部にある点Oが描かれており、点Oと頂点B、Cが線分で結ばれている。∠Aは80°、∠OCAは20°と示されている。

解答を見る

$△OAB,△OBC,△OCA$ は二等辺三角形である。

$∠OAC=∠OCA=20°$ より、

$∠ABO=∠BAO=80°-20°=60°$
$△ABC$ において、

$20°+80°+60°+∠OBC+∠OCB =180°$ よって、

$∠OBC+∠OCB=20°$ だから、 $△OBC$ において、

$∠BOC=180°-20°=160°$

垂心

垂心とは何か

定義11垂心

三角形の各頂点から、その向かい合う辺（またはその延長）に下ろした3本の垂線の交点を垂心という。

垂心の定理

△ABCにおいて、頂点Cから辺ABに下ろした垂線CDと、頂点Bから辺ACに下ろした垂線BEの交点をHとし、点Aから点H、B、Cへそれぞれ向かう矢印が描かれている。

定理12垂心

どんな三角形でも、各頂点から、その向かい合う辺（またはその延長）に下ろした3本の垂線は1点で交わる。

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証明

∎

オイラー線

定理13オイラー線

どんな三角形でも、重心 $G$ 、垂心 $H$ 、外心 $O$ は一直線上にある。この直線をオイラー線という。

チェバの定理

チェバの定理

定理14チェバの定理

$△ABC$ の内部に点 $O$ がある。頂点 $A,B,C$ と $O$ を結ぶ直線が向かい合う辺と、それぞれ $P,Q,R$ で交わるとき

$BP/PC・CQ/QA・AR/RB=1$

△ABCの内部に点Oがあり、頂点A、B、Cから点Oを通る3本の線分AP、BQ、CRが交わっている。対辺BC、CA、AB上にそれぞれ交点P、Q、Rがある。

証明を見る

証明

∎

問題8チェバの定理

$∠A=90°,AB=3,AC=4$ の $△ABC$ がある。点 $A$ から辺 $BC$ に垂線を引き交点を $P$ とする。また、 $∠B$ の二等分線と線分 $AP$ 、辺 $CA$ との交点をそれぞれ $Q,R$ とし、直線 $CQ$ と辺 $AB$ との交点を $S$ とする。このとき、 $AS:SB$ を求めよ。

∠A=90°の直角三角形ABCにおいて、頂点Aからの垂線AP、∠Bの二等分線BR、交点Qを通る直線CSが1点Qで交わっており、辺ABの長さが3、辺ACの長さが4と示されている。

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$BC=\sqrt(3²+4²)=5$

また、 $△ABC∽△PBA$ より、 $BP=9/5$ 、

$△ABC∽△PAC$ より、 $PC=16/5$

よって、 $BP:PC=9:16$ となる。

一方、 $CR:RA=BC:BA=5:3$ である。

チェバの定理より、

$BP/PC・CR/RA・AS/SB=1 9/16・5/3・AS/SB=1 AS/SB=16/15 AS:SB=16:15$

メネラウスの定理

メネラウスの定理

定理15メネラウスの定理

$△ABC$ の辺 $BC,CA,AB$ またはその延長が、三角形の頂点を通らない直線 $l$ と、それぞれ点 $P,Q,R$ で交わるとき

$BP/PC・CQ/QA・AR/RB=1$

△ABCの辺AB上に点R、辺AC上に点Qがあり、2点R, Qを通る直線lが引かれている。直線lは、辺BCを頂点C側に伸ばした延長線と点Pで交わっている。

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証明

∎

問題9メネラウスの定理

$△ABC$ において、辺 $AC$ を $3:1$ の比に内分する点を $E$ 、辺 $AB$ を $1:2$ の比に内分する点を $F$ とし、 $BE$ と $CF$ の交点を $P$ 、 $AP$ と $BC$ の交点を $D$ とする。このとき、次のものを求めよ。

$BD:DC$
$AP:PD$
$CP:PF$
$△ABP:△ABC$

△ABCの各頂点から対辺に引いた線分AD、BE、CFが1点Pで交わっている。辺AB上にAF:FB=1:2、辺AC上にAE:EC=3:1となる比の数字が添えられている。

解答を見る

チェバの定理より、

$BD/DC・CE/EA・AF/FB=1,BD/DC・1/3・1/2=1$ よって、 $BD:DC=6:1$
$△ADC$ と直線 $BE$ にメネラウスの定理を用いると、

$DB/BC・CE/EA・AP/PD=1,6/7・1/3・AP/PD=1$ よって、 $AP:PD=7:2$
$△ACF$ と直線 $BE$ にメネラウスの定理を用いると、

$CP/PF・FB/BA・AE/EC=1,CP/PF・2/3・3/1=1$ よって、 $CP:PF=1:2$
$AP:PD=7:2$ より、 $△ABP=(7/9)△ABD$

$BD:DC=6:1$ より、 $△ABD=(6/7)△ABC$

よって、 $△ABP=7/9\times(6/7)△ABC=(2/3)△ABC$

ゆえに、 $△ABP:△ABC=2:3$

円と三角形

円周角の定理

円Oの周上に点A, B, C, Dがあり、弧BCに対する円周角∠Aと∠Dが示されている。中心Oを通る直径BDの長さは2R、辺BCの長さはa、∠DCBは直角である。

円Oの円周上に点A, B, C, Dがあり、線分BDは中心Oを通る直径で長さは2Rである。∠DCBは直角、線分BCの長さはaで、∠Aと∠Dの位置に角の記号が付いている。

定理16円周角の定理

1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の大きさの半分である。

円周上に点A、B、P、Qがあり、中心をOとする。弧ABに対する円周角∠APBと∠AQBには角のマークが、中心角∠AOBには二重の角のマークが付いている。

問題10円周角の定理

次の図で、 $∠x$ の大きさを求めよ。

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$48°$
$132°$
$105°$
$112°$
$70°$
$50°$

定理17円周角の定理の逆

4点 $A,B,P,Q$ について、点 $P,Q$ が直線 $AB$ に関して同じ側にあって

$∠APB=∠AQB$

ならば、4点 $A,B,P,Q$ は1つの円周上にある。

円周上に4点A、B、P、Qがあり、直線ABの同じ側に点P、Qが位置している。各点を結ぶ線分と線分ABが引かれ、∠APBと∠AQBにそれぞれ同じ角であることを示す弧が描かれている。

問題11円周角の定理の逆

次の図で、 $∠x$ の大きさを求めよ。

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$∠ABD=∠ACD=30°$ より、

4点 $A,B,C,D$ は同一円周上にある。

$∠CBD=∠CAD=40°$ より、

$△BCD$ において、 $∠x=180°-(40°+81°+30°)=29°$
$∠CAD=180°-(118°+30°)=32°$

$∠CAD=∠CBD$ より、

4点 $A,B,C,D$ は同一円周上にある。 $∠x=∠ACD=30°$
$∠CAD=42°-27°=15°$

$∠CAD=∠CBD$ より、

4点 $A,B,C,D$ は同一円周上にある。

$∠x=∠ABD =180°-(98°+27°+15°) =40°$

円に内接する四角形の定理

定理18円に内接する四角形の定理

円に内接する四角形について、次の2つが成り立つ。

対角の和は $180°$ である。
内角は、その対角の外角に等しい。

円に内接する四角形があり、底辺を右側へ延長して外角がつくられている。左上の内角と右下の外角には同じ1本の弧が、右下の内角には2本の弧がつけられている。

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証明

∎

問題12円に内接する四角形の定理

次の図で、 $∠x,∠y$ の大きさを求めよ。

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$∠x=180°-110°=70°,∠y=120°$
$∠BAD=180°-100°=80°$ より、 $∠x=180°-(80°+55°)=45°$
$∠x=78°\times2=156°$
$∠CAD=86°-52°=34°$ より、 $∠x=180°-34°\times2=112°$
$△ABC$ は $AB=AC$ の二等辺三角形だから、 $∠ABC=(180°-50°)\times1/2=65°$ $∠x=180°-65°=115°$
$△OCD$ は $OC=OD$ の二等辺三角形だから、 $∠COD=180°-38°\times2=104°$ $∠x=104°\times1/2=52°$

$∠BCD=180°-112°=68°$ より、 $△BCD$ において、 $∠y=180°-(52°+68°+38°)=22°$

円と直線

円と直線の位置関係

円と直線の共有点の個数		2個	1個	0個
円と直線の位置関係

円と接線

円の接線は、接点を通る半径と垂直である。

逆に、円周上の点を通り、その点と中心を結ぶ半径に垂直な直線は、その円の接線である。

中心(a, b)で半径rの円Cがあり、円上の点(p, q)で接する直線lが描かれている。中心と点(p, q)を結ぶ破線は、直線lと垂直に交わっている。

接弦定理

定理19接弦定理

円の接線とその接点を通る弦の作る角は、その内部にある弧に対する円周角に等しい。

円Oに点Aで接する直線と、円に内接する三角形APBが描かれている。接線と弦APの作る角と∠B、接線と弦ABの作る角と∠Pに、それぞれ等しいことを示す角のマークがついている。

問題13接弦定理

次の図で、 $AT$ は円の接線であり、 $A$ はその接点である。 $∠x$ の大きさを求めよ。

円に内接する△ABCがあり、接点Aを通る接線ATが引かれている。∠ACBの大きさが65°で、弦ABと接線ATのなす角がxで示されている。

解答を見る

弦 $AB$ と接線 $AT$ の作る角 $∠x$ は、その内部にある弧 $AB$ に対する円周角 $∠ACB$ に等しいので、

$∠x=65°$

方べきの定理

定理20方べきの定理

方べきの定理には、主に次の2つがある。

1つの円における2つの弦 $AB,CD$ の交点、またはそれらの延長の交点を $P$ とすると、 $PA・PB=PC・PD$ が成り立つ。
円の外部の点 $P$ から円に引いた接線の接点を $T$ とする。 $P$ を通ってこの円と2点 $A,B$ で交わる直線を引くと、 $PA・PB=PT²$ が成り立つ。

問題14方べきの定理

次の図において、 $x$ の値を求めよ。ただし、Tは円の接点とする。

解答を見る

$4・4=8x$ 、 $x=2$
$(x+6)・x=5・8,x²+6x-40=0$

$x>0$ より、 $x=4$
$6・10=x²$

$x>0$ より、 $x=2\sqrt15$

円と円

2円の位置関係

2円の位置関係は、2円の半径と中心間の距離で決まり、以下の5つの状態がある。

定理212円の位置関係

2円の半径を $r1,r2(r1< r2)$ 、中心間の距離を $d$ とすると、以下のようになる。

2円の図
2円の位置関係	離れている	外接している	交わっている
2円の共有点の個数	0個	1個(外接)	2個
2円の中心間の距離 $d$	$d>r1+r2$	$d=r1+r2$	$r2-r1<d<r1+r2$

2円の図

2円の位置関係	内接している	一方が他方を含む
2円の共有点の個数	1個(内接)	0個
2円の中心間の距離 $d$	$d=r2-r1$	$d<r2-r1$

問題152円の関係

円 $C1$ は $A$ を中心とした半径 $2$ の円、円 $C2$ は $B$ を中心とした半径 $5$ の円とする。

$AB=10$ のとき、円 $C1$ と $C2$ はどんな位置関係にあるか。また、 $AB=6$ のとき、 $AB=2$ のときはどうか。
$C1$ と $C2$ が外接するとき線分 $AB$ の長さを求めよ。また、内接するときはどうか。
$C1$ が $C2$ に含まれるための、線分 $AB$ の長さの条件を求めよ。

解答を見る

$AB=10$ のときは共有点がない

$AB=6$ のときは2点で交わる

$AB=2$ のときは円 $C1$ が円 $C2$ に含まれている
外接のときは $AB=7$ 、内接のときは $AB=3$ 。
線分 $AB$ の長さが、内接するときより短ければよいので、 $(0<)AB<3$ 。

2円と共通接線

2円の共通接線の本数は、2円の位置関係によって異なる。

定理222円の共通接線

共通接線の本数	4本	3本	2本	1本	0本
2円と共通接線の図

2円の位置関係	離れている	外接している	交わっている	内接している	一方が他方を含む

$↑$ 2円の中心間を横切る共通接線は共通内接線（2本ある）、2円の上下で接する共通接線は共通外接線（2本ある）と言われる。

共通接線の方程式を求めるには、問題を図示し、図形的に考えることが不可欠である。

問題162円と共通接線

次の図で、直線 $AB$ は円 $O$ 、 $O'$ の共通接線で、 $A$ 、 $B$ はその接点である。このとき、点 $O'$ から直線 $OA$ に垂線 $O'A'$ を引き、 $△OO'A'$ を考えることにより、線分 $AB$ の長さを求めよ。

解答を見る

$\sqrt(13²-(10-5)²)=12$
$\sqrt(15²-(8+4)²)=9$

最終更新: 2026-09-03

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質問の内容

数学A 第3章 図形の性質 — 平面図形

角の2等分線

内分と外分

定義1内分

定義2外分

問題1内分と外分

角の2等分線の定理（幾何）

定理3角の2等分線の定理

問題2角の2等分線の定理

定理4三角形の外角の二等分線と比

問題3三角形の外角の二等分線と比

重心

重心とは何か

定義5重心

重心の定理

定理6重心

問題4重心

内心

内心とは何か

定義7内心

内心の定理

定理8内心

問題5内心

問題6内接円の半径と三角形の面積

外心

外心とは何か

定義9外心

外心の定理

定理10外心

問題7外心

垂心

垂心とは何か

定義11垂心

垂心の定理

定理12垂心

オイラー線

定理13オイラー線

チェバの定理

定理14チェバの定理

問題8チェバの定理

メネラウスの定理

定理15メネラウスの定理

問題9メネラウスの定理

円と三角形

円周角の定理

定理16円周角の定理

問題10円周角の定理

定理17円周角の定理の逆

問題11円周角の定理の逆

円に内接する四角形の定理

定理18円に内接する四角形の定理

問題12円に内接する四角形の定理

円と直線

円と直線の位置関係

円と接線

接弦定理

定理19接弦定理

問題13接弦定理

方べきの定理

定理20方べきの定理

問題14方べきの定理

円と円

2円の位置関係

定理212円の位置関係

問題152円の関係

2円と共通接線

定理222円の共通接線

問題162円と共通接線

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