空間図形

2つの直線の位置関係

異なる2直線 $l,m$ の位置関係には次の3つの場合がある．

1)，2)の場合は2直線は同じ平面上にあり，3)の場合は同じ平面上にない．

説明文

3)の場合，次の図のように，任意の1点 $\text{O}$ を通り $l,m$ にそれぞれ平行な直線 $l',m'$ をひくと， 点 $\text{O}$ のとり方に関係なく，2つの角 $\theta,\varphi$ が決まる． $\theta+\varphi=180^\circ$ となるので， 片方の角度が決まればもう片方の角度も決まる．この2つの角のうち大きくないほう，すなわち $\theta\leqq\varphi$ のときの $\theta$ を2直線 $l,m$ のなす角という．

2)，3)の場合において，特に $l,m$ のなす角が直角であるとき， $l$ と $m$ は垂直であるといい， $l{\bot}m$ と書く．さらに，垂直である2直線が交わるとき，直交するという．

直線と平面との位置関係

直線 $l$ と平面 $\alpha$ の位置関係には，次の3つの場合がある．

次の図のように，直線 $l$ が平面 $\alpha$ 上のすべての直線と垂直であるとき， $l$ と $\alpha$ は垂直である，または直交するといい， $l{\bot}\alpha$ と表す．また，このとき， $l$ を平面 $\alpha$ の垂線という．

説明文

実は，直線 $l$ が平面 $\alpha$ 上の異なる2直線と垂直であれば， $l$ は $\alpha$ 上のすべての直線と垂直となって， $l{\bot}\alpha$ となる．

平面 $\alpha$ 上にない点 $\text{A}$ を通る $\alpha$ の垂線が，平面 $\alpha$ と交わる点 $\text{H}$ を，点 $\text{A}$ から平面 $\alpha$ におろした垂線の足という．

2つの平面の位置関係

異なる2平面 $\alpha,\beta$ の位置関係には，次の2つの場合がある．

1)のように，2平面 $\alpha,\beta$ が共有点をもたないとき，この2平面は平行であるといい， $\alpha\parallel\beta$ とかく．

また，2)のように，2つの平面 $\alpha,\beta$ が共有点をもつとき，この2平面はその共有点を含むある1つの直線を共有する．このとき，この2平面は交わるといい，この直線を $\alpha$ と $\beta$ の交線という．

説明文

交わる2平面 $\alpha,\beta$ の交線上の点 $\text{P}$ から交線に垂直な直線 $\text{PA},\text{PB}$ をそれぞれ $\alpha,\beta$ 上に引くと， $\text{P}$ のとり方に関係なく $\angle{\text{APB}}$ の大きさは一定となる．この角を2平面 $\alpha,\beta$ のなす角という． 特に， $\angle{\text{APB}}=90^\circ$ のとき， $\alpha$ と $\beta$ は直交する，または垂直であるといい， $\alpha\perp\beta$ と書く．

三垂線の定理

多面体とは何か

正多面体とは何か

空間図形において，全ての面が合同な正多角形からなり，各頂点に集まる辺の数が全て等しい多面体のことを正多面体 regular polyhedronという．

$\uparrow$ たとえば，正四面体は正多面体であるが，正四面体2つを重ねてできる六面体は，頂点に集まる辺の数が3つの場合と4つの場合があるので，正多面体ではない．

説明文

正多面体は

1. 正四面体
2. 正六面体（立方体）
3. 正八面体
4. 正十二面体
5. 正二十面体

の5つしかないことが知られている．

$\uparrow$ 輪郭がへこんでいる多面体は，凹おう多面体 concave polyhedronといい，普通の多面体である凸とつ多面体 convex polyhedronとは区別する．

説明文

凹多面体も多面体に含めると，正多面体は全部で9つあることが知られている． 右の図は，正凹多面体の1つである．

オイラーの多面体定理