空間における点・直線・平面

異なる2 直線$l，m$の位置関係には次の3 つの場合がある．

1)，2) の場合は2 直線は同じ平面上にあり，3) の場合は同じ平面上にない．

3) の場合，右の図のように，任意の1 点$\text{O}$ を通り$l，m$ にそれぞれ平行な直線$l_0，m_0$ をひくと，点$\text{O}$ のとり方に関係なく，2 つの角$\theta，\varphi$ が決まる．$\theta + \varphi = 180^\circ$ となるので，片方の角度が決まればもう片方の角度も決まる．この2 つの角のうち大きくないほう，すなわち$\theta \leqq \varphi$ のときの$\theta$ を2 直線$l，m$ のなす角という．

2)，3) の場合において，特に$l，m$ のなす角が直角であるとき，$l$ と$m$ は垂直であるといい，$l \perp m$ と書く．さらに，垂直である2 直線が交わるとき，直交するという．

直線$l$ と平面$\alpha$ の位置関係には，次の3 つの場合がある．

右図のように，直線$l$ が平面$\alpha$ 上のすべての直線と垂直であるとき，$l$ と$\alpha$ は垂直である，または直交するといい，$l \perp \alpha$ と表す．また，このとき，$l$ を平面$\alpha$ の垂線という．

実は，直線$l$ が平面$\alpha$ 上の異なる2 直線と垂直であれば，$l$ は$\alpha$ 上のすべての直線と垂直となって，$l \perp \alpha$ となる．

平面$\alpha$ 上にない点$\text{A}$ を通る$\alpha$ の垂線が，平面$\alpha$ と交わる点$\text{H}$ を，点$\text{A}$ から平面$\alpha$ におろした垂線の足という．

異なる2 平面$\alpha ,\beta$ の位置関係には，次の2 つの場合がある．

1) のように，2 平面$\alpha ,\beta$ が共有点をもたないとき，この2 平面は平行であるといい，$\alpha \parallel \beta$ とかく．

また，2) のように，2 つの平面$\alpha ,\beta$ が共有点をもつとき，この2 平面はその共有点を含むある1 つの直線を共有する．このとき，この2 平面は交わるといい，この直線を$\alpha$と$\beta$ の交線という．

交わる2 平面$\alpha ,\beta$ の交線上の点$\text{P}$ から交線に垂直な直線$\text{PA}，\text{PB}$ をそれぞれ$\alpha ,\beta$ 上に引くと，$\text{P}$ のとり 方に関係なく$\angle \text{APB}$ の大きさは一定となる．この角を2 平面$\alpha ,\beta$ のなす角という．特に，$\angle \text{APB} = 90^\circ$ のとき，$\alpha$と$\beta$ は直交する，または垂直であるといい，$\alpha \perp \beta$と書く．