ベクトル方程式（空間）
直線のベクトル方程式（空間）
直線の通る1点と方向ベクトルが与えられたとき（空間）
空間内の点$\text{A}(\vec{a})$ を通り$\vec{0}$ でない$\vec{d}$ に平行な直線を$l$とする．このとき，この直線上を動くの点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方は，平面内の場合と全く同様で次のようになる．
まず，点$\text{P}$ が直線$l$ 上にある限り，必ず$\overrightarrow{\text{AP}} \parallel \vec{d}$ であるから，空間ベクトルの平行条件より
\[\overrightarrow{\text{AP}} = t\vec{d}\]となる実数$t$ が存在する．よって
\[\overrightarrow{\text{OP}} =\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{AP}}\]つまり$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} \tag{1}\label{chokusennotooru1tentohoukoubekutorugaataeraretatoki1}$
が成り立つ
次に，座標空間内で成分表示されたベクトルのベクトル方程式を考えてみよう．
点$\text{A}(x_0: y_0, z_0)$ を通り，方向ベクトルが$\vec{d} = \left( \begin{array}{c} d_x\\ d_y\\ d_z\\ \end{array} \right)$ である直線上の点$\text{P}$ の座標を$\text{P}(x, y, z)$ とおくと，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) ，\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ であるから，$\eqref{chokusennotooru1tentohoukoubekutorugaataeraretatoki1}$より \begin{align} &\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} d_x\\ d_y\\ d_z\\ \end{array} \right)\\ \Longleftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + d_xt\\ y = y_0 + d_yt\\ z = z_0 + d_zt\\ \end{array} \right. \end{align}と表せる．これを，$t$ を媒介変数とする直線$l$の方程式という．
$d_x \neq 0$ かつ$d_y \neq 0$ かつ$d_y \neq 0$ のとき，この式から媒介変数$t$ を消去すると，座標空間内の直線の方程式は
\[(t =)\dfrac{x − x_0}{d_x}=\dfrac{y − y_0}{d_y}=\dfrac{z − z_0}{d_z}\]と表せる．
直線のベクトル方程式 I
以下のそれぞれについて，点$\text{A}$ を通り方向ベクトルを$\vec{d}$ とする直線$l$ の方程式を，媒介変数$t$ を用いて表せ．また，媒介変数を用いない形で直線の方程式を表せ．
- $\text{A}(2, 1, − 2)，\vec{d} = \left( \begin{array}{c} 4\\ 3\\ 1\\ \end{array} \right)$
- $\text{A}(4, 0, 1)，\vec{d} = \left( \begin{array}{c} −3\\ 2\\ 0\\ \end{array} \right) $
- $\text{A}(−1, 3, 0)，\vec{d} = \left( \begin{array}{c} 2\\ 0\\ −1\\ \end{array} \right) $
- $\text{A}(−2, 1, 0)，\vec{d} = \left( \begin{array}{c} 0\\ −3\\ 0\\ \end{array} \right) $
-
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\boldsymbol{x = 2 + 4t}\\
\boldsymbol{y = 1 + 3t}\\
\boldsymbol{z = −2 + t}\\
\end{array}
\right.\]
それぞれの式を$t$ について解くと，$t =\dfrac{x – 2}{4}$，$t =\dfrac{y – 1}{3}$，$t = z + 2$ となるから
\[\boldsymbol{\dfrac{x – 2}{4}=\dfrac{y – 1}{3}= z + 2}．\] -
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\boldsymbol{x = 4 − 3t}\\
\boldsymbol{y = 2t}\\
\boldsymbol{z = 1}\\
\end{array}
\right.
\]
それぞれの式を$t$ について解くと，$t = \dfrac{x – 4}{−3}$，$t =\dfrac{y}{2}$ となり，$z$ は常に$1$ であるから
\[\boldsymbol{\dfrac{x – 4}{−3}=\dfrac{y}{2}, z = 1}．\] -
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\boldsymbol{x = −1 + 2t}\\
\boldsymbol{y = 3}\\
\boldsymbol{z = −t}\\
\end{array}
\right.
\]
それぞれの式を$t$ について解くと，$t = \dfrac{x + 1}{2}$，$t =\dfrac{z}{−1}$となり，$y$ は常に$3$ であるから
\[\boldsymbol{\dfrac{x + 1}{2}=\dfrac{z}{−1}, y = 3}\] -
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\boldsymbol{x = −2}\\
\boldsymbol{y = 1 − 3t}\\
\boldsymbol{z = 0}\\
\end{array}
\right.
\]
$t$ が変化すると$y$ はすべての実数をとるが，$x$ は常に$−2$ であり，$z $は常に$0 $であるから
$\boldsymbol{x = −2 , z = 0 , y}$はすべての実数
直線の通る2点が与えられたとき（空間）
無題
空間内の異なる2 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ を通る直線を$l$ とする．このとき，$l$ は点$\text{A}(\vec{a})$ を通り，方向ベクトルが$\vec{d} = \overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b} − \vec{a}$ の直線であるから，$l$ 上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関するベクトル方程式は，「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」 の(1)より
\begin{align} &\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} − \vec{a})\\ \Leftrightarrow &\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b} \tag{2}\label{chokusennotooru2tengaataeraretatoki2} \end{align}となる．
この式を利用して，座標空間内の2 点が与えられたときの直線の方程式を求めてみ よう．
$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ ，$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \end{array} \right)$ とし，$\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ とすると，$\eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki2}$より
\begin{align} &\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}\\ \Longleftrightarrow &\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) = (1 − t) \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{c} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \end{array} \right)\\ \Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} x = (1 − t)x_0 + tx_1\\ y = (1 − t)y_0 + ty_1\\ z = (1 − t)z_0 + ty_1\\ \end{array} \right.\\ \Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} x − x_0 = t(x_1 − x_0)\\ y − y_0 = t(y_1 − y_0)\\ z − z_0 = t(z1 − z_0)\\ \end{array} \right.\\ \Longleftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} t =\dfrac{x − x_0}{x_1 − x_0}\\ t =\dfrac{y − y_0}{y_1 − y_0}\\ t =\dfrac{z − z_0}{z_1 − z_0}\\ \end{array} \right. \end{align}これより，$t$ を消去して
\[ (t =)\dfrac{x − x_0}{x_1 − x_0}=\dfrac{y − y_0}{y_1 − y_0}=\dfrac{z − z_0}{z_1 − z_0}\]を得る．
この式は，直線の通る1 点$\text{A}(\vec{a})$ を$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ ，方向ベクトル$\vec{d}$ を$\vec{d} = \vec{b} − \vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_1 − x_0\\ y_1 − y_0\\ z_1 − z_0\\ \end{array} \right)$
として，「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」 の(1)を用いた結果に他ならない．
2 直線の距離
空間内に2 直線
\begin{align} l &:\overrightarrow{\text{OP}} =\overrightarrow{\text{OA}} + t\vec{d}_l\\ m &:\overrightarrow{\text{OQ}} =\overrightarrow{\text{OB}} + s\vec{d}_m \end{align}がねじれの位置にあるとする（$s，t$ は任意の実数をとる）．
- 直線$l$ と$m$ の距離$d$ を，$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\vec{d}_l \times \vec{d}_m$ を用いて表せ．
- 点$\text{A}(5, 3, − 2)$，$\vec{d}_l = \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ −1\\ \end{array} \right)$ ，点$\text{B}(2, − 1: 6)$， $\vec{d}_m = \left( \begin{array}{c} 1\\ −1\\ −5\\ \end{array} \right)$ とするとき直線$l$ と$m$の距離を求めよ．
-
$\overrightarrow{\text{AB}}$ を$\vec{d}_l \times \vec{d}_m$ に正射影したベクトル$_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m)$ は\[_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) =
\dfrac{\overrightarrow{\text{AB}} \cdot (\vec{d}_l \times \vec{d}_m)}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|^2}
\vec{d}_l \times \vec{d}_m\]
$\blacktriangleleft$空間の正射影ベクトルの内積での表し方
であり， $\left|_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|$ が$d$ であるから
\begin{align} &\left|_{\overrightarrow{\text{AB}}\rightarrow}(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|\\ & \\ =&\dfrac{\left|\overrightarrow{\text{AB}} \cdot(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|^2}\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|\\ =&\boldsymbol{\dfrac{\left|\overrightarrow{\text{AB}} \cdot(\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|} } \end{align} \[\overrightarrow{\text{AB}} =\overrightarrow{\text{OB}}−\overrightarrow{\text{OA}}\] \[ = \left( \begin{array}{c} 2\\ −1\\ 6\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} 5\\ 3\\ −2\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} −3\\ −4\\ 8\\ \end{array} \right)\] であり，$\vec{d}_l\times \vec{d}_m = \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ −1\\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 1\\ −1\\ −5\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} −6\\ 9\\ −3\\ \end{array} \right)$ であるから
$\blacktriangleleft$外積の成分表示 \begin{align} d &=\dfrac{\left|\overrightarrow{\text{AB}} \cdot (\vec{d}_l \times \vec{d}_m) \right|}{\left|\vec{d}_l \times \vec{d}_m\right|}\\ &=\dfrac{\left|\left( \begin{array}{c} −3\\ −4\\ 8\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} −6\\ 9\\ −3\\ \end{array} \right) \right|} {\left|\left( \begin{array}{c} −6\\ 9\\ −3\\ \end{array} \right) \right|}\\ &=\dfrac{\left| (−3) \cdot (−6) + (−4) \cdot 9 + 8 \cdot (−3) \right|} {\sqrt{(−6)^2 + 9^2 + (−3)^2}}\\ &= \dfrac{42}{3\sqrt{14}}=\boldsymbol{\sqrt{14}} \end{align}
平面のベクトル方程式
平面上の3点が与えられたとき
ここでは，同一直線上にない空間内の3 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})，\text{C}(\vec{c})$ を含む平面$\alpha$を表すベクトル方程式を求めてみる．
まず，平面$\alpha$上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関して$\overrightarrow{\text{AP}}$ は，「ベクトルの1 次結合の定義」で見たように，平面上の1 次独立な2 つの$\overrightarrow{\text{AB}}$ と$\overrightarrow{\text{AC}}$ に分解して
\[\overrightarrow{\text{AP}} = s\overrightarrow{\text{AB}} + t\overrightarrow{\text{AC}}\]と表すことができる．
これを用いて$\overrightarrow{\text{OP}}$ は
\begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &=\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{AP}}\\ &=\overrightarrow{\text{OA}} + s\overrightarrow{\text{AB}} + t\overrightarrow{\text{AC}} \end{align}と表すことができる．$\overrightarrow{\text{OP}} = \vec{p}$，$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}$，$\overrightarrow{\text{AB}} =\vec{b} − \vec{a}$，$\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{c} − \vec{a}$ を用いて整理すると
\begin{align} \vec{p} &= \vec{a} + s(\vec{b} − \vec{a}) + t(\vec{c} − \vec{a})\\ &= (1 − s − t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c} \tag{1}\label{heimenjouno3tengaataeraretatoki1} \end{align} となる．平面上の1点と法線ベクトルが与えられたとき
次に，平面$\alpha$上の1 点$\text{A}(\vec{a})$ と，$\alpha$法線ベクトル$\vec{n}$ が与えられた場合のベクトル方程式を求めてみる．
平面$\alpha$上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関して$\overrightarrow{\text{AP}}$ は，法線ベクトル$\vec{n}$ と常に垂直になるから
\begin{align} &\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} = 0\\ \Leftrightarrow &\vec{n} \cdot (\vec{p} − \vec{a}) = 0 \tag{2}\label{heimenjouno1tentohousenbekutorugaataeraretatoki2} \end{align}と表すことができる．
次に，座標空間内で成分表示されたベクトルのベクトル方程式をみていこう．
点$\text{A}(x_0, y_0, z_0)$ を通り，法線ベクトルが$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right)$ である平面$\alpha$上の点を$\text{P}(x, y, z)$ とすると，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ ，$\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ であるから，$\eqref{heimenjouno1tentohousenbekutorugaataeraretatoki2}$より
\begin{align} &\left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right) \cdot \left( \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) \right) = 0 \\ \Leftrightarrow &\left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x − x_0\\ y − y_0\\ z − z_0\\ \end{array} \right) = 0\\ \Leftrightarrow &a(x − x_0) + b(y − y_0) + c(z − z_0) = 0 \end{align} となる．平面のベクトル方程式
点$\text{A}(x_0, y_0, z_0)$ と平面$ax + by + cz + d = 0$ の距離を$p$ とすると
\[p =\dfrac{\left|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\]であることを証明せよ．
- 点$(1, 1, 1)$ と平面$3x + 6y + 2z + 3 = 0$ との距離を求めよ．
点$\text{A}$ から平面に下ろした垂線と平面との交点を$\text{P}(x_1, x_2, x_3)$ とすると，平面の法線ベクトル$\vec{n} = \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right)$ と$\overrightarrow{\text{PA}}$ のなす角度は$0^\circ$ もしくは$180^\circ$ であるので
\begin{align} &1 =\left|\dfrac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{PA}}}{\left|\vec{n}\right| \cdot \left|\overrightarrow{\text{PA}}\right|}\right|\\ \Leftrightarrow &\left|\overrightarrow{\text{PA}}\right| =\dfrac{\left|\vec{n} \cdot \overrightarrow{\text{PA}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}\\ &= \dfrac{\left| \left( \begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x_0 − x_1\\ y_0 − y_1\\ z_0 – z_1\\ \end{array} \right) \right|} {\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\\ \Leftrightarrow &\left|\overrightarrow{\text{PA}}\right|\\ &= \dfrac{\left|a(x_0 − x_1) + b(y_0 − y_1) + c(z_0 − z_1) \right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\\ \Leftrightarrow &\left|\overrightarrow{\text{PA}}\right| = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{align} $\blacktriangleleft$ 点$\text{P}$ は平面上にあるので，$ax_1 +by_1 + cz_1 + d = 0$ が成立することを用いたここで，$\overrightarrow{\text{PA}} = p$ であるので，
$p =\dfrac{\left|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\right|}{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$となる．
- 1. の関係を用いて \[p =\dfrac{\left|3 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3\right|}{ \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2}}= 2\]
球面のベクトル方程式
中心と半径が与えられたとき（空間）
点$\text{C}(\vec{c})$ を中心とする，半径$r$ の球を$S$ とする．このとき，この球面上を動くの点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．
点$\text{P}$ が球$S$ 上にあるとき，常に線分$\text{CP}$ の長さは$r$，すなわち$\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r$ となるから
\begin{align} &\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r\\ \Leftrightarrow& \left|\vec{p} −\vec{c}\right| = r \tag{1}\label{chuushintohankeigaataeraretatoki1} \end{align}が成り立つ．この$\eqref{chuushintohankeigaataeraretatoki1}$を球$S$ベクトル方程式という．
また，座標空間内で$\vec{c}$ が$\vec{c} = \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right)$ と成分表示された場合， $\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ とおくと
\begin{align} &\left|\vec{p} −\vec{c}\right| = r \\ \Leftrightarrow &\left|\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} x_0\\ y_0\\ z_0\\ \end{array} \right) \right| = r \Leftrightarrow \left|\left( \begin{array}{c} x − x_0\\ y − y_0\\ z − z_0\\ \end{array} \right) \right| = r\\ \Leftrightarrow &\sqrt{(x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 + (z − z_0)^2} = r\\ \Leftrightarrow &(x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 + (z − z_0)^2 = r^2 \end{align}となり，これを座標空間における球の方程式という．
直径の両端が与えられたとき（空間）
異なる2 点$\text{A}(\vec{a})$ と$\text{B}(\vec{b})$ を直径の両端とするの球を$S$ とする．このとき，この球面上を動くの点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．
点$\text{P}$ が球$S$ 上にあるとき，常に線分$\text{AP}$ と$\text{BP}$ は直交，すなわち$\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} = 0$ となるから
\begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} = 0\\ \Leftrightarrow &(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0 \tag{2}\label{chokkeinoryoutangaataeraretatoki2} \end{align}が成り立つ．この$\eqref{chokkeinoryoutangaataeraretatoki2}$も球$S$ のベクトル方程式である．
また，座標空間内で$\vec{a}$ が$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ b_z\\ \end{array} \right)$ と成分表示された場合，$\vec{p} = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right)$ とおくと
\begin{align} &(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0\\ \Leftrightarrow &\left( \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \right) \cdot \left( \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{array} \right) \right) = 0\\ \Leftrightarrow &\left( \begin{array}{c} x – a_x\\ y – a_y\\ z – a_z\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x − b_x\\ y – b_y\\ z – b_z\\ \end{array} \right) = 0\\ \Leftrightarrow &(x − a_x)(x − b_x) + (y − a_y)(y − b_y) \\ &\qquad \qquad + (z − a_z)(z − b_z) = 0 \end{align}となり，これは2 点$\text{A}(a_x, a_y, a_z)$，$\text{B}(b_x, b_y, b_z)$ を直径とする球の方程式を表す．
球面のベクトル方程式
以下の条件を満たす球面の方程式を求めよ．
- 中心が$(1, − 2, 3)$ で，半径が$4$
- 中心が原点で，点$(6, 3, 2)$ を通る
- 直径の両端が$(5, − 2, 2)，(1, 6, 4)$
中心と半径が与えられたとき円のベクトル方程式より
\begin{align} &\Leftrightarrow \left|\vec{p} −\vec{c}\right| = 4\\ &\Leftrightarrow \left| \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \right) − \left( \begin{array}{c} 1\\ −2\\ 3\\ \end{array} \right) \right| = 4\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x − 1)^2 + (y + 2)^2 + (z − 3)^2 }= 4\\ &\therefore \boldsymbol{ (x − 1)^2 + (y + 2)^2 + (z − 3)^2 = 16} \end{align}中心が原点なので，半径を$r$ とすると
\[x^2 + y^2 + z^2 = r^2\]となる．ここで，$(6, 3, 2)$ を通ることより
\[6^2 + 3^2 + 2^2 = r^2 \Leftrightarrow r^2 = 49\]したがって，求める方程式は$\boldsymbol{x^2 + y^2 + z^2 = 49}$ である．
直径の両端が与えられたときのベクトル方程式より
\begin{align} &(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0\\ \Leftrightarrow &\left( \begin{array}{c} x – 5\\ y + 2\\ z – 2\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x – 1\\ y – 6\\ z – 4\\ \end{array} \right) = 0\\ \Leftrightarrow &(x − 5)(x − 1) + (y + 2)(y − 6)\\ &\qquad\qquad \qquad + (z − 2)(z − 4) = 0\\ \Leftrightarrow &\boldsymbol{ (x − 3)^2 + (y − 2)^2 + (z − 3)^2 = 21} \end{align}