ベクトルの加法

無題

2 つのベクトル$\vec{a}，\vec{b}$ に対して，まず点$\text{ A}$ を定めて

となる点$\text{ B}，\text{ C}$ を取るとき，ベクトル$\overrightarrow{\text{AC}}$ を$\vec{a}$ と$\vec{b}$ の和といい，$\vec{a} + \vec{b}$ と書く．すなわち，

一般に，ベクトルの加法について，次のことが成り立つ．

【証明】

1. 

   2 つのベクトル，$\vec{a}，\vec{b}$ について

   \begin{align} \vec{a}&=\overrightarrow{\text{OA}}=\overrightarrow{\text{BC}}\\ \vec{b}&=\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{AC}} \end{align}

   となるように点 $\text{ O}，\text{ A}，\text{ B}，\text{ C}$ をとる．このとき，

   \begin{align} \vec{a}+\vec{b}&=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}}\\ \vec{b}+\vec{a}&=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{OC}} \end{align}

   よって

   \[\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\]

   以上より，$\vec{a}+\vec{b}(=\vec{b}+\vec{a})$ は $\overrightarrow{\text{OA}}(=\vec{a})，\overrightarrow{\text{OB}}(=\vec{b})$ によってつくられる平行四辺形 $\text{OACB}$ の対角線のベクトルとして表すことができる．

2. 

   3つのベクトル $\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ について $\vec{a}=\overrightarrow{\text{OA}}，\vec{b}=\overrightarrow{\text{AB}}，\vec{c}=\overrightarrow{\text{BC}}$ となるように点 $\text{O}，\text{A}，\text{B}，\text{C}$ をとる．

   このとき，

   \begin{align} (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} &=(\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AB}})+\overrightarrow{\text{BC}}\\ &=\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{OC}}\\ \vec{a}+(\vec{b} +\vec{c}) &=\overrightarrow{\text{OA}}+(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}})\\ &=\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}} \end{align}

   よって

   \[(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\]

以上より，ベクトルの和に関しては，その順序を区別しなくてよいので括弧を省略して，$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と書く．

逆ベクトル

（注）

ある$\vec{a}$に対し，大きさが等しく向きが反対であるベクトルを，$\vec{a}$ の 逆ベクトル(inverse vector) といい，$−\vec{a}$で表す．

いま，右図のように$\vec{a} =\overrightarrow{\text{AB}}$ とすると，$−\vec{a} =\overrightarrow{\text{BA}}$ であるから

である．

$\vec{a} =\overrightarrow{\text{AB}}$ と，その逆ベクトル$−\vec{a} =\overrightarrow{\text{BA}}$ の和は

となる．このとき，$\overrightarrow{\text{AA}}$ を，始点と終点が一致した特別な有向線分の表すベクトルと考えて，これを ゼロベクトル(zero vector) といい，記号$\vec{0}$ で表す．つまり

である．

ゼロベクトルの大きさは$0$ とし，その向きは考えないものとする．ゼロベクトルには，数の$0$ と同じように次のような性質がある．

無題

右図のような2 つのベクトルを考える．

いま，$\vec{a} + \vec{b} =\overrightarrow{\text{AC}}$ は右図より $\left( \begin{array}{c} 7\\ 4\\ \end{array} \right)$ となる．つまり

が成立する．

一般に，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ と $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right)$ の和$\vec{a} + \vec{b}$ は

となる．

無題

また，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ の逆ベクトルの成分表示は，右図より$−\vec{a} = \left( \begin{array}{c} −a_x\\ −a_y\\ \end{array} \right)$ となり，ゼロベクトルの成分表示は

となる．