ベクトルの実数倍

ベクトルの実数倍の定義

$\vec{0} $でない$\vec{a}$ と実数$m$ に対し，$\vec{a}$ の$m$ 倍$m\vec{a}$ を次のように定める．

  1. 1の図

    $m\gt0$ のとき

    $\vec{a}$ と同じ向きで，大きさが $\left|\vec{a}\right|$ の $\underbrace{m}_{正}$ 倍のベクトル

  2. 2の図

    $m\lt0$ のとき

    $\vec{a}$ と反対の向きで，大きさが $\left|\vec{a}\right|$ の $\underbrace{\left|m\right|}_{正}$ 倍のベクトル

  3. $m=0$ のとき

    $0\vec{a}=\vec{0}$ と定める．

また，$\vec{a}=\vec{0}$ のときは，任意の実数 $m$ に対して $m\vec{0}=\vec{0}$ と定める．

特に，$m=1$ のときは $1$ を省略して書く．つまり $1\vec{a}=\vec{a}$ である．$m$ が分数 $m=\dfrac{l}{k}$ のとき，$\dfrac{l}{k}\vec{a}$ を $\dfrac{l\vec{a}}{k}$ と書くこともある．

ベクトルの実数倍に関する計算法則

ベクトルの実数倍に関する計算法則

  1. ベクトルの実数倍の結合法則

    \[m(n\vec{a}) = (mn)\vec{a}\]

  2. ベクトルの実数倍に対する分配法則

    \[(m + n)\vec{a} = m\vec{a} + n\vec{a}\]

  3. 実数倍のベクトルに関する分配法則

    \[m(\vec{a} + \vec{b}) = m\vec{a} + m\vec{b}\]

【証明】

  1. 1の図

    たとえば右図のように，$3(2\vec{a})$ は $2\vec{a}$ の向きを変えずに大きさを $3$ 倍したベクトルであるが，これは $\vec{a}$ を向きを変えずに $6$ 倍したベクトルと等しい．つまり

    \[3(2\vec{a})=6\vec{a}\]

    一般に，ベクトルの実数倍に関して

    \[m(n\vec{a})=(mn)\vec{a}\]

    が成り立つ．これらは同じベクトルを表すため区別する必要がないので，括弧を省略して単に $mn\vec{a}$ と書くこともある．

  2. 2の図

    たとえば右図のように，$(3+2)\vec{a}$ つまり $5\vec{a}$ は，$3\vec{a}$ と $2\vec{a}$ の和つまり $3\vec{a}+2\vec{a}$ と等しい．つまり

    \[(3+2)\vec{a}=3\vec{a}+2\vec{a}\]

    一般に，ベクトルの実数倍に関して

    \[(m+n)\vec{a}=m\vec{a}+n\vec{a}\]

    が成り立つ．

  3. 3の図

    たとえば右下図のように，$\vec{a}=\overrightarrow{\text{OA}}$ と $\vec{b}=\overrightarrow{\text{OB}}$ で張られる平行四辺形 $\text{OACB}$ と，$2.5\vec{a}=\overrightarrow{\text{OD}}$ と $2.5\vec{b}=\overrightarrow{\text{OE}}$ で張られる平行四辺形 $\text{ODFE}$ を考える．

    このとき，平行四辺形 $\text{OACB}$ と平行四辺形 $\text{ODFE}$ は相似な図形となり，その相似比は $1:2.5$ となるので

    \[\overrightarrow{\text{OF}}=2.5\overrightarrow{\text{OC}}=2.5(\vec{a}+\vec{b})\]

    となる．また，ベクトルの和から

    \[\overrightarrow{\text{OF}}=\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}=2.5\vec{a}+2.5\vec{b}\]

    でもあるから

    \[2.5(\vec{a}+\vec{b})=2.5\vec{a}+2.5\vec{b}\]

    が成り立つ．

    一般に，ベクトルの実数倍に関して

    \[m(\vec{a}+\vec{b})=m\vec{a}+m\vec{b}\]

    が成り立つ．

ベクトルの和，差，実数倍

無題

無題

右の図のようにベクトル$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ をおくとき，次のベクトルを作図せよ．

  1. $ −\dfrac{1}{2}\vec{a}$
  2. $ 2\vec{a} +\vec{c}$
  3. $ 2\vec{b} − 3\vec{c}$
  4. $ \vec{a} + \vec{b} +\vec{c}$

  1. 図示すると下図のようになる．
    1の図
  2. 図示すると下図のようになる．
    2の図
  3. 図示すると下図のようになる．
    3の図
  4. 図示すると下図のようになる．
    4の図

単位ベクトル

$\left|\vec{a}\right| \neq 0$ である$\vec{a}$ に対して，同じ向きの単位ベクトルは，$\vec{a}$ を自分自身の大きさで割った$\dfrac{1}{\left|\vec{a}\right|}\vec{a}$ となる．

単位ベクトル

  1. $\left|\vec{a}\right| = 5$ のとき，$\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトルを$\vec{a} $を用いて表せ．

  2. $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 3\\ −4\\ \end{array} \right)$ のとき，$\vec{b}$ と同じ向きの単位ベクトルを成分表示せよ．

  1. $\vec{a}$ と同じ向きの単位ベクトルは$\boldsymbol{\dfrac{1}{5}\vec{a} }$である．

  2. $\vec{b}$ と同じ向きの単位ベクトルは \begin{align} \dfrac{1}{\sqrt{3^2 + (−4)^2}} \left( \begin{array}{c} 3\\ −4\\ \end{array} \right) &= \dfrac{1}{5} \cdot \left( \begin{array}{c} 3\\ −4\\ \end{array} \right)\\ &= \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{\dfrac{3}{5}}\\ \boldsymbol{-\dfrac{4}{5}}\\ \end{array} \right) \end{align}

成分表示された平面ベクトルの実数倍

無題

無題 （注）

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ とおくとき，右図より

\[m\vec{a} = m \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} ma_x\\ ma_y\\ \end{array} \right)\]

となる．

また，$\left|\vec{a}\right| =\sqrt{{a_x }^2 + {a_y}^2}$ だから，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ と同じ向きの単位ベクトルの成分表示は， $\dfrac{1}{\sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2}} \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$となる．

ベクトルの実数倍

  1. $2(\vec{a} + 2\vec{b}) − (4\vec{a} + \vec{b})$ を計算せよ
  2. $(4\vec{a} + 2\vec{b}) − 2(2\vec{a} + \vec{b})$ を計算せよ

  1. \begin{align} & 2(\vec{a} + 2\vec{b}) − (4\vec{a} + \vec{b}) \\ &= 2\vec{a} + 4\vec{b} − 4\vec{a} − \vec{b}\\ &=\boldsymbol{ −2\vec{a} + 3\vec{b}} \end{align}
  2. \begin{align} &(4\vec{a} + 2\vec{b}) − 2(2\vec{a} + \vec{b})\\ &= 4\vec{a} + 2\vec{b} − 4\vec{a} − 2\vec{b}\\ &= \boldsymbol{\vec{0}} \end{align}

ベクトルの合成と分解

ベクトルの加法と減法で次の式を学習した．

\[\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}} =\overrightarrow{\text{AC}}\] \[\overrightarrow{\text{OA}} − \overrightarrow{\text{OB}} =\overrightarrow{\text{BA}}\]

このように2 つ以上のベクトルを1 つのベクトルで表現することをベクトルの合成という．

またこれらの式を逆にみて

\[\overrightarrow{\text{AC}} =\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BC}}\tag{1}\label{bekutorunogouseitobunkai1}\] \[\overrightarrow{\text{BA}} =\overrightarrow{\text{OA}} −\overrightarrow{\text{OB}}\tag{2}\label{bekutorunogouseitobunkai2}\]

1 つのベクトルを2 つ以上のベクトルで表現することをベクトルの分解という．

ベクトルの合成と分解の図その１

$\eqref{bekutorunogouseitobunkai1}$では経由点として点$\text{B}$ をとっているが，ベクトルの加法の定義を考えると，点$\text{B}$ でなくても任意の点でかまわないことがわかる．つまり

\[\overrightarrow{\text{AC}} =\overrightarrow{\text{A □}} +\overrightarrow{\text{□ C}}\]

として，□には好きな点を経由点としてとってよい．

同様にして，$\eqref{bekutorunogouseitobunkai2}$では始点として点$\text{ O}$ をとっているが，点$\text{ O }$でなくても任意の点でかまわないことがわかる．

つまり

\[\overrightarrow{\text{BA}} =\overrightarrow{\text{□ A}} −\overrightarrow{\text{□ B}}\]

として，□には好きな点を始点としてとってよい．

ベクトルの合成と分解

  1. 合成 $\overrightarrow{\text{A □}} + \overrightarrow{\text{□ B}} = \overrightarrow{\text{AB}}$

    $\overrightarrow{\text{□ B}} − \overrightarrow{\text{□ A}} = \overrightarrow{\text{AB}}$

  2. 分解 $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{A □}} + \overrightarrow{\text{□ B}}$

    $\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{□ B}} −\overrightarrow{\text{□ A}}$

吹き出しベクトルの合成と分解

合成公式の第1 式と分解公式の第2 式はよく使うので覚えておこう．

ベクトルの加法

正六角形$\text{ ABCDEF}$ において，辺$\text{ DE}$ の中点を$\text{ M}$ とし，線分$\text{ AM }$の中点を$\text{ N}$，辺$\text{ BC}$の中点を$\text{ P }$とする．このとき，$\overrightarrow{\text{AM}}$ および$\overrightarrow{\text{NP}}$ を，$\overrightarrow{\text{AB}}，\overrightarrow{\text{AF}}$ を用いて表せ．

無題
無題

この正六角形の中心を$\text{ O}$ とする．

\begin{align} \overrightarrow{\text{AM}} &=\overrightarrow{\text{AD}} +\overrightarrow{\text{DM}} = 2\overrightarrow{\text{AO}} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{DE}}\\ &= 2(\overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{BO}}) − \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{ED}}\\ &= 2(\overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{AF}}) − \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}\\ &=\left(2 − \dfrac{1}{2}\right) \overrightarrow{\text{AB}} + 2\overrightarrow{\text{AF}} \\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + 2\overrightarrow{\text{AF}}}\\ \overrightarrow{\text{NP}} &=\overrightarrow{\text{AP}} −\overrightarrow{\text{AN}} =\left(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{BP}} − \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AM}}\right)\\ &=\overrightarrow{\text{AB}} + \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{\text{AB}} + \overrightarrow{\text{AF}}) \\ &\ \qquad − \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AB}} + 2\overrightarrow{\text{AF}}\right)\\ &=\left(1 + \dfrac{1}{2}− \dfrac{3}{4}\right)\overrightarrow{\text{AB}} +\left(\dfrac{1}{2}− 1\right) \overrightarrow{\text{AF}}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}\overrightarrow{\boldsymbol{\text{AB}}} − \boldsymbol{\dfrac{1}{2}}\overrightarrow{\boldsymbol{\text{AF}}} \end{align}

ベクトルの平行条件

（注）

$\vec{0}$ でない2 つのベクトル$\vec{a}$ と$\vec{b}$ の向きが同じか，または反対であるとき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ は平行であるといい，$\boldsymbol{\vec{a} \parallel \vec{b}}$ と表す．

このとき，$\vec{a} = k\vec{b}$ となる実数$k $が存在する．逆に，$k \neq 0$ のとき，$\vec{a} = k\vec{b}$ ならば$\vec{a} \parallel \vec{b}$といえる．つまり

$\vec{a} \parallel \vec{b} \Longleftrightarrow \vec{a} = k\vec{b}$となる$k \in R$ が存在する

である．

また，成分表示された2 つのベクトル，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ と$\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right)$ が平行であるとき

ベクトルの平行条件の図その１
\[\left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) = k \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right) \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} kb_x\\ kb_y\\ \end{array} \right)\] \[\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_x = kb_x\\ a_y = kb_y\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k =\dfrac{a_x}{b_x}\\ k =\dfrac{a_y}{b_y}\\ \end{array} \right.\]

より$(k =)\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}$，つまり

\[a_xb_y = a_yb_x\]

が成り立つ．この式は右上図のように，「① の積 = ②の積」と覚えておくとよい．

ベクトルの平行条件

$\vec{0}$ でない2 つのベクトル$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right)$ について

\begin{align} \vec{a} \parallel \vec{b} &\Longleftrightarrow \vec{a} = k\vec{b}となるk \in R が存在する\\ &\Longleftrightarrow a_xb_y = a_yb_x \end{align}

ベクトルの平行条件

$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} −2\\ 3\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 4\\ x\\ \end{array} \right)$ のとき，$\vec{a}$ と$\vec{b}$ が平行であるように$x$ の値を定めよ．

ベクトルの平行条件$a_xb_y = a_yb_x$ を考えて

\[(−2) \cdot x = 3 \cdot 4 \Leftrightarrow \boldsymbol{x = −6}\]