直線のベクトル方程式

1. 
   $$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x=2+4t}\\\boldsymbol{y=1+3t}\\\end{array}\right. \end{eqnarray}$$

   上式と下式を $t$ について解くと，$t=\dfrac{x-2}{4}，t=\dfrac{y-1}{3}$ となるから

   $$\begin{align} &\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-1}{3}\\ &{\Leftrightarrow}y-1=\dfrac{3}{4}(x-2)\\ &\Leftrightarrow\boldsymbol{y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}}． \end{align}$$
2. 
   $$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x=4-3t}\\\boldsymbol{y=2t}\\\end{array}\right. \end{eqnarray}$$

   上式と下式を $t$ について解くと，$t=\dfrac{x-4}{-3}，t=\dfrac{y}{2}$ となるから

   $$\begin{align} &\dfrac{x-4}{-3}=\dfrac{y}{2}\\ &{\Leftrightarrow}y=\dfrac{2}{-3}(x-4)\\ &\Leftrightarrow\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}}． \end{align}$$
3. $$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x=-1+2t}\\\boldsymbol{y=3}\\\end{array}\right. \end{eqnarray}$$
   

   $t$ が変化すると $x$ はすべての実数をとるが，$y$ は常に $3$ であるから

   $\boldsymbol{y=3}$ ($x$ はすべての実数)．

4. 
   $$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x=-2}\\\boldsymbol{y=1-3t}\\\end{array}\right. \end{eqnarray}$$

   $t$ が変化すると $y$ はすべての実数をとるが，$x$ は常に $-2$ であるから

   $\boldsymbol{x=-2}$ ($y$ はすべての実数)．

1. 線分$\text{OA}$ を$2 : 1$ に内分する点を$\text{C}$ とおくと，$\overrightarrow{\text{OC}} =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{OA}} = \dfrac{2}{3}\vec{a}$ であるから

   $$\overrightarrow{\text{OP}} = (1 − t)\overrightarrow{\text{OC}} + t\overrightarrow{\text{OB}}$$ $\blacktriangleleft \qquad \eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1}$を使った

   つまり

   $$\boldsymbol{\vec{p} =\dfrac{2(1 − t)}{3}\vec{a} + t\vec{b}}$$

   と表せる．

2. 線分$\text{OA}$ を$2 : 5$ に外分する点を$\text{C}$，線分$\text{OB}$ を$3 : 1$に内分する点を$\text{D}$ とおくと，$\overrightarrow{\text{OC}} = − \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{OA}} = − \dfrac{2}{3}\vec{a}$,$\overrightarrow{\text{OD}} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{OB}} = \dfrac{3}{4}\vec{b}$ であるから

   $$\overrightarrow{\text{OP}} = (1 − t)\overrightarrow{\text{OC}} + t\overrightarrow{\text{OB}}$$ $\blacktriangleleft \qquad \eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1}$を使った

   つまり

   $$\boldsymbol{\vec{p} =\dfrac{-2(1 − t)}{3}\vec{a} + \dfrac{3t}{4}\vec{b}}$$

   と表せる．

   ここで，$\eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1}$ $$\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}$$

   は，$1 − t = s$ とおくことにより

   $$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} (s + t = 1) \tag{2}\label{chokusennobekutoruhouteishikisono21}$$

   と表すこともできる．この$s, t$ に適当な条件をつけることにより，半直線や領域などを表すベクトル方程式をつくることができる．

1. まず，$s$ をある定数$s’ (> 0)$で固定し

   $$\overrightarrow{\text{OP}} = s’\vec{a} + t\vec{b} (t > 0)$$

   を考えると，点$\text{P}$は右図の半直線上にある．

   よって，$s$ を動かすと答えは下図網掛け部分となる．

   


2. まず，$s$ をある定数$s’ (> 0)$で固定し

   $$\overrightarrow{\text{OP}} = s’\vec{a} + t\vec{b} (t > 0)$$

   を考えると，点$\text{P}$は右図の半直線上にある．

   よって，$s$ を動かすと答えは下図網掛け部分となる．

   

3. $\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ は

   $$\begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &= s\vec{a} + t\vec{b}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{OP}} &= \dfrac{5s}{2}\left(\dfrac{2}{5}\vec{a}\right) + \dfrac{2t}{3}\left(\dfrac{3}{2}\vec{b}\right) \end{align}$$

   と変形でき，条件より$\dfrac{5s}{2}+\dfrac{2t}{3}= 1$であるから，答えは下図の直線部分となる．

   

4. $\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ は

   $$\begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &= s\vec{a} + t\vec{b}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{OP}} &= \dfrac{3s}{2}\left(\dfrac{2}{3}\vec{a}\right) + \dfrac{3t}{2}\left(\dfrac{2}{3}\vec{b}\right) \end{align}$$

   と変形でき，条件より$\dfrac{3s}{2}+\dfrac{3t}{2}= 1$であるから，答えは下図の直線部分となる．

   


5. まず，条件より$s > 0, t > 0$ であるから，点$\text{P}$ は1.で求めた領域内にあることが必要．

   次に，$s+t$ の値を$k (< 1)$ で固定する，つまり$s+t = k$とすると，条件より$s > 0, t > 0$ であるから$k \neq 0$ なので

   $$s + t = k$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{s}{k} + \dfrac{t}{k}= 1$$

   となり，$\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ は

   $$\begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &= s\vec{a} + t\vec{b}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{OP}} &= \dfrac{s}{k}\left(k\vec{a}\right)+ \dfrac{t}{k}\left(k\vec{b}\right) \end{align}$$

   と変形できるので，点$\text{P}$ は右上図の線分上を動く．

   よって，$s + t$ の値を動かすと答えは下図網掛け部分となる．

   

直線$l$ 上を動く点$\text{P}$ の座標を$(x, y)$ とおく．

1. $$\begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x − 2}{ y − 1} \cdot \dbinom{4}{3}=0\\ &\Leftrightarrow 4(x − 2) + 3(y − 1) = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{4x + 3y − 11 = 0} \end{align}$$
2. $$\begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x − 4}{ y } \cdot \dbinom{-3}{2}=0\\ &\Leftrightarrow − 3(x − 4) + 2y = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{3x − 2y − 12 = 0} \end{align}$$
3. $$\begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x – (-1)}{ y − 3} \cdot \dbinom{2}{0}=0\\ &\Leftrightarrow 2(x + 1) + 0(y − 3) = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{x+1 = 0} \end{align}$$
4. $$\begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x – (-2)}{ y − 1} \cdot \dbinom{0}{-3}=0\\ &\Leftrightarrow 0(x + 2) − 3(y − 1) = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{y − 1 = 0} \end{align}$$

直線$l$ 上の点を$\text{P}(x_1, y_1)$ とおくと，$\text{P}$ の座標に関して

が成り立つ．

いま，$\overrightarrow{\text{PA}}$ を$\vec{n}$ に正射影したベクトル$_{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n}$ は，$\overrightarrow{\text{HA}}$と等しいので，この$_{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n}$ の大きさが$d$ となる． $$\begin{align} _{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n} &=\dfrac{\overrightarrow{\text{PA}} \cdot \vec{n}}{\left|\vec{n}\right|^2}\vec{n} \\ &\blacktriangleleft 正射影ベクトルの内積での表し方\\ &=\dfrac{\dbinom{ x_0 − x_1}{ y_0 − y_1}\cdot \dbinom{a}{b}}{a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &=\dfrac{ a(x_0 − x_1) + b(y_0 − y_1)}{ a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &=\dfrac{ ax_0 + by_0 − ax_1 − by_1}{ a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &=\dfrac{ ax_0 + by_0 + c }{ a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &\blacktriangleleft \eqref{tentochokusennokyorinokoushiki}を使った \end{align}$$

よって

つまり，$\boldsymbol{d =\dfrac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{ \sqrt{ a^2 + b^2}}}$となる．