直線のベクトル方程式

直線の通る1点と方向ベクトルが与えられたとき

無題

無題 （注）

点$\text{A}(\vec{a})$ を通り$\vec{0}$ でない$\vec{d}$ に平行な直線を$l$ とする．このとき，この直線上を動く点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の 表し方を考えよう．

まず，点$\text{P}$ が直線$l$ 上にある限り，必ず$\overrightarrow{\text{AP}} \parallel \vec{d}$ であるから，ベクトルの平行条件より

\[\overrightarrow{\text{AP}} = t\vec{d}\]

となる実数$t$ が存在する．

また，$\overrightarrow{\text{OP}}$ はベクトルの分解を考えて

\[\overrightarrow{\text{OP}} =\overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{AP}}\]

つまり

\[\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} \tag{1}\label{chokusennotooru1tentohoukoubekutorugaataeraretatoki1}\]

が成り立つ．

この$\eqref{chokusennotooru1tentohoukoubekutorugaataeraretatoki1}$のことを，「点$\text{A}(\vec{a})$を通り$\vec{d}$ に平行な直線のベクトル方程式(vector equation) 」といい，$t$ をその媒介変数(parameter) という．また，$\vec{d}$ を，この直線の方向ベクトル(direction vector) という．

$\eqref{chokusennotooru1tentohoukoubekutorugaataeraretatoki1}$で$t$ がすべての実数をとって変化すれば，点$\text{P}$ は直線$l$ 上のすべての点を動く．また，$t$ がある範囲で変化すれば，点$\text{P}$ は直線$l$ 上の一部の点を動く．

【例1】

【例1】

【例2】

【例2】

【例3】

【例3】

次に，座標平面上で成分表示されたベクトルのベクトル方程式を考えてみよう．

点$\text{A}(x_0, y_0)$ を通り，方向ベクトルが$\vec{d} =\dbinom{d_x}{d_y}$である直線上の点$\text{P}$ の座標を$\text{P}(x, y)$ とおくと，$\vec{a} =\dbinom{x_0}{y_0}，\vec{p} =\dbinom{x}{y}$であるから， $\eqref{chokusennotooru1tentohoukoubekutorugaataeraretatoki1}$より

\begin{align} &\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}\\ &\Longleftrightarrow \dbinom{x}{y}=\dbinom{x_0}{y_0}+t\dbinom{d_x}{d_y}\\ &\Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + d_xt\\ y = y_0 + d_yt\\ \end{array} \right. \end{align}

と表せる．これを，$t$ を媒介変数とする直線$l$ の方程式という．

$d_x \neq 0$ かつ$d_y \neq 0$ のとき，この式から媒介変数$t$ を消去すると

\[(t =)\dfrac{x − x_0}{d_x}=\dfrac{y − y_0}{d_y}\] \[\Leftrightarrow y =\dfrac{d_y}{d_x}(x − x_0) + y_0\]

となり，これは点$(x_0, y_0)$ を通る傾き$\dfrac{d_y}{d_x}$の直線の方程式として，FTEXT数学II の『図形と方程式』ですでに学んだものと一致している．

直線のベクトル方程式～その１～

以下のそれぞれについて，点$\text{A}$ を通り方向ベクトルを$\vec{d}$ とする直線$l$の方程式を，媒介変数$t$ を用いて表せ．また，媒介変数を用いない形で直線の方程式を表せ．

  1. $ \text{A} (2, 1)，\vec{d} =\dbinom{4}{3}$
  2. $ \text{A} (4, 0)，\vec{d} =\dbinom{-3}{2}$
  3. $ \text{A} (−1, 3)，\vec{d} =\dbinom{2}{0}$
  4. $ \text{A} (−2, 1)，\vec{d} =\dbinom{0}{-3}$

  1. 直線のベクトル方程式～その１～の図１
    \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x=2+4t}\\\boldsymbol{y=1+3t}\\\end{array}\right. \end{eqnarray}

    上式と下式を $t$ について解くと，$t=\dfrac{x-2}{4}，t=\dfrac{y-1}{3}$ となるから

    \begin{align} &\dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-1}{3}\\ &{\Leftrightarrow}y-1=\dfrac{3}{4}(x-2)\\ &\Leftrightarrow\boldsymbol{y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}}． \end{align}
  2. 直線のベクトル方程式～その１～の図２
    \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x=4-3t}\\\boldsymbol{y=2t}\\\end{array}\right. \end{eqnarray}

    上式と下式を $t$ について解くと，$t=\dfrac{x-4}{-3}，t=\dfrac{y}{2}$ となるから

    \begin{align} &\dfrac{x-4}{-3}=\dfrac{y}{2}\\ &{\Leftrightarrow}y=\dfrac{2}{-3}(x-4)\\ &\Leftrightarrow\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{8}{3}}． \end{align}
  3. \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x=-1+2t}\\\boldsymbol{y=3}\\\end{array}\right. \end{eqnarray}
    直線のベクトル方程式～その１～の図３

    $t$ が変化すると $x$ はすべての実数をとるが，$y$ は常に $3$ であるから

    $\boldsymbol{y=3}$ ($x$ はすべての実数)．

  4. 直線のベクトル方程式～その１～の図４
    \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{x=-2}\\\boldsymbol{y=1-3t}\\\end{array}\right. \end{eqnarray}

    $t$ が変化すると $y$ はすべての実数をとるが，$x$ は常に $-2$ であるから

    $\boldsymbol{x=-2}$ ($y$ はすべての実数)．

直線の通る2点が与えられたとき

異なる2 点$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b}) $を通る直線を$l$ とする．このとき，$l$ は点$\text{A}(\vec{a})$ を通り，方向ベクトルが$\vec{d} =\overrightarrow{\text{AB}} = \vec{b}−\vec{a}$の直線であるから，$l$ 上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関するベクトル方程式は，前のセクション、「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」の$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d} $より

\begin{align} \vec{p} &= \vec{a} + t(\vec{b} − \vec{a})\\ \Leftrightarrow \vec{p} &= (1 − t)\vec{a} + t\vec{b} \tag{1}\label{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1} \end{align}

となる．

直線のベクトル方程式～その２～

点$\text{O}$ に関する位置ベクトルを$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ とする．以下のそれぞれについて，直線$l$上の点$\text{P}(\vec{p})$ に関するベクトル方程式を適当な実数$t$ を用いて表せ．

直線のベクトル方程式～その２～の図その１直線のベクトル方程式～その２～の図その２

  1. 線分$\text{OA}$ を$2 : 1$ に内分する点を$\text{C}$ とおくと，$\overrightarrow{\text{OC}} =\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{OA}} = \dfrac{2}{3}\vec{a}$ であるから

    \[\overrightarrow{\text{OP}} = (1 − t)\overrightarrow{\text{OC}} + t\overrightarrow{\text{OB}}\] $\blacktriangleleft \qquad \eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1}$を使った

    つまり

    \[\boldsymbol{\vec{p} =\dfrac{2(1 − t)}{3}\vec{a} + t\vec{b}}\]

    と表せる．

  2. 線分$\text{OA}$ を$2 : 5$ に外分する点を$\text{C}$，線分$\text{OB}$ を$3 : 1$に内分する点を$\text{D}$ とおくと，$\overrightarrow{\text{OC}} = − \dfrac{2}{3}\overrightarrow{\text{OA}} = − \dfrac{2}{3}\vec{a}$,$\overrightarrow{\text{OD}} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text{OB}} = \dfrac{3}{4}\vec{b}$ であるから

    \[\overrightarrow{\text{OP}} = (1 − t)\overrightarrow{\text{OC}} + t\overrightarrow{\text{OB}} \] $\blacktriangleleft \qquad \eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1}$を使った

    つまり

    \[\boldsymbol{\vec{p} =\dfrac{-2(1 − t)}{3}\vec{a} + \dfrac{3t}{4}\vec{b}}\]

    と表せる．

    ここで，$\eqref{chokusennotooru2tengaataeraretatoki1}$ \[\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}\]

    は，$1 − t = s$ とおくことにより

    \[\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} (s + t = 1) \tag{2}\label{chokusennobekutoruhouteishikisono21}\]

    と表すこともできる．この$s, t$ に適当な条件をつけることにより，半直線や領域などを表すベクトル方程式をつくることができる．

1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡

無題

無題

点$\text{O}$ に関する位置ベクトルを$\text{A}(\vec{a})，\text{B}(\vec{b})$ とし，点$\text{P}$が \[\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}\] を満たし動くものとする．以下の場合について，点$\text{P}$の動く範囲を図示せよ．

  1. $ s > 0$ かつ$t > 0 $
  2. $ s < 0$ かつ$t > 0$
  3. $ \dfrac{5}{2}s + \dfrac{2}{3}t = 1 $
  4. $ s + t = \dfrac{2}{3}$
  5. $ s > 0 $かつ$t > 0 $かつ$s + t < 1$

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その１

  1. まず，$s$ をある定数$s’ (> 0) $で固定し

    \[\overrightarrow{\text{OP}} = s’\vec{a} + t\vec{b} (t > 0)\]

    を考えると，点$\text{P}$は右図の半直線上にある．

    よって，$s$ を動かすと答えは下図網掛け部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その２
    2. 1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その３

  2. まず，$s$ をある定数$s’ (> 0) $で固定し

    \[\overrightarrow{\text{OP}} = s’\vec{a} + t\vec{b} (t > 0)\]

    を考えると，点$\text{P}$は右図の半直線上にある．

    よって，$s$ を動かすと答えは下図網掛け部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その４

  3. $\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ は

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &= s\vec{a} + t\vec{b}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{OP}} &= \dfrac{5s}{2}\left(\dfrac{2}{5}\vec{a}\right) + \dfrac{2t}{3}\left(\dfrac{3}{2}\vec{b}\right) \end{align}

    と変形でき，条件より$\dfrac{5s}{2}+\dfrac{2t}{3}= 1 $であるから，答えは下図の直線部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その５

  4. $\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ は

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &= s\vec{a} + t\vec{b}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{OP}} &= \dfrac{3s}{2}\left(\dfrac{2}{3}\vec{a}\right) + \dfrac{3t}{2}\left(\dfrac{2}{3}\vec{b}\right) \end{align}

    と変形でき，条件より$\dfrac{3s}{2}+\dfrac{3t}{2}= 1 $であるから，答えは下図の直線部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その６
    5. 1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その７

  5. まず，条件より$s > 0, t > 0$ であるから，点$\text{P}$ は1.で求めた領域内にあることが必要．

    次に，$s+t$ の値を$k (< 1)$ で固定する，つまり$s+t = k$とすると，条件より$s > 0, t > 0$ であるから$k \neq 0$ なので

    \[s + t = k\] \[\Leftrightarrow \dfrac{s}{k} + \dfrac{t}{k}= 1\]

    となり，$\overrightarrow{\text{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ は

    \begin{align} \overrightarrow{\text{OP}} &= s\vec{a} + t\vec{b}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{OP}} &= \dfrac{s}{k}\left(k\vec{a}\right)+ \dfrac{t}{k}\left(k\vec{b}\right) \end{align}

    と変形できるので，点$\text{P}$ は右上図の線分上を動く．

    よって，$s + t$ の値を動かすと答えは下図網掛け部分となる．

    1 次結合で表された位置ベクトルの軌跡の図その８

直線の通る1点と法線ベクトルが与えられたとき

無題

無題

点$\text{A}(\vec{a})$ を通り$\vec{0}$ でない$\vec{n}$ に垂直な直線を$l$ とする．このとき，この直線上を動く点$\text{P}$の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．

まず，点$\text{P}$ が直線$l$ 上にある限り，必ず$\overrightarrow{\text{AP}}\perp\vec{n}$ であるから，ベクトルの垂直条件 より

\[\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\]

となる．

ここで，$\overrightarrow{\text{AP}} = \vec{p} − \vec{a}$ であるから

\[\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\]

つまり

\[(\vec{p} − \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0 \tag{1}\label{chokusennotooru1tentohousenbekutorugaataeraretatoki1}\]

が成り立つ．

この$\eqref{chokusennotooru1tentohousenbekutorugaataeraretatoki1}$のことを，「点$\text{A}(\vec{a})$ を通り$\vec{n}$ に垂直な直線のベクトル方程式」という．また，$\vec{n}$を，この直線の法線ベクトル(normal vector) という．

次に，座標平面上で成分表示されたベクトルのベクトル方程式を考えてみよう．

点$\text{A}(x_0, y_0)$ を通り，法線ベクトルが$\vec{n} =\dbinom{n_x}{n_y}$である直線上の点$\text{P}$ の座標を$\text{P} (x, y)$ とおくと，$\vec{a} =\dbinom{x_0}{y_0}，\vec{p} =\dbinom{x}{y}$であるから，$\eqref{chokusennotooru1tentohousenbekutorugaataeraretatoki1}$より

\begin{align} &(\vec{p} − \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \left\{ \dbinom{x}{y}-\dbinom{x_0}{y_0} \right\} \cdot \dbinom{n_x}{n_y}= 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x − x_0}{ y − y_0} \cdot \dbinom{n_x}{n_y}= 0\\ &\Leftrightarrow n_x(x − x_0) + n_y(y − y_0) = 0 \end{align}

と表せる．

ここで，$n_x$ を$a，n_y$ を$b，−(n_xx_0 + n_yy_0)$ を$c$ とおけば，この式は

\[ax + by + c = 0\]

と書きなおされ，これはの直線の方程式として，FTEXT数学II『図形と方程式』ですでに学んだものと一致している．

また，このことから，直線$ax + by + c = 0$ の法線ベクトルの1 つとして$\dbinom{a}{b}$が拾える．

直線のベクトル方程式～その３～

次のそれぞれについて，点$\text{A}$ を通り法線ベクトルを$\vec{n}$ とする直線の方程式を求めよ．

  1. $\text{A}(2, 1)，\vec{n} =\dbinom{4}{3}$
  2. $\text{A}(4, 0)，\vec{n} =\dbinom{-3}{2}$
  3. $\text{A}(-1, 3)，\vec{n} =\dbinom{2}{0}$
  4. $\text{A}(-2, 1)，\vec{n} =\dbinom{0}{-3}$

直線$l$ 上を動く点$\text{P}$ の座標を$(x, y)$ とおく．

  1. \begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x − 2}{ y − 1} \cdot \dbinom{4}{3}=0\\ &\Leftrightarrow 4(x − 2) + 3(y − 1) = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{4x + 3y − 11 = 0} \end{align}
  2. \begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x − 4}{ y } \cdot \dbinom{-3}{2}=0\\ &\Leftrightarrow − 3(x − 4) + 2y = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{3x − 2y − 12 = 0} \end{align}
  3. \begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x – (-1)}{ y − 3} \cdot \dbinom{2}{0}=0\\ &\Leftrightarrow 2(x + 1) + 0(y − 3) = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{x+1 = 0} \end{align}
  4. \begin{align} &\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \vec{n} = 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{ x – (-2)}{ y − 1} \cdot \dbinom{0}{-3}=0\\ &\Leftrightarrow 0(x + 2) − 3(y − 1) = 0\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{y − 1 = 0} \end{align}

点と直線の距離の公式

無題

無題

直線$l : ax + by + c = 0$ と点$\text{A}(x_0, y_0)$ との距離$d$ を求めよ．

点と直線の距離の公式の解答の図その１

直線$l$ 上の点を$\text{P}(x_1, y_1)$ とおくと，$\text{P}$ の座標に関して

\[ax_1 + by_1 + c = 0 \tag{1}\label{tentochokusennokyorinokoushiki}\]

が成り立つ．

いま，$\overrightarrow{\text{PA}}$ を$\vec{n}$ に正射影したベクトル$_{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n}$ は，$\overrightarrow{\text{HA}}$と等しいので，この$_{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n}$ の大きさが$d$ となる． \begin{align} _{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n} &=\dfrac{\overrightarrow{\text{PA}} \cdot \vec{n}}{\left|\vec{n}\right|^2}\vec{n} \\ &\blacktriangleleft 正射影ベクトルの内積での表し方\\ &=\dfrac{\dbinom{ x_0 − x_1}{ y_0 − y_1}\cdot \dbinom{a}{b}}{a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &=\dfrac{ a(x_0 − x_1) + b(y_0 − y_1)}{ a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &=\dfrac{ ax_0 + by_0 − ax_1 − by_1}{ a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &=\dfrac{ ax_0 + by_0 + c }{ a^2 + b^2}\dbinom{a}{b}\\ &\blacktriangleleft \eqref{tentochokusennokyorinokoushiki}を使った \end{align}

よって

\begin{align} \left|_{\overrightarrow{\text{PA}}\rightarrow}\vec{n}\right| &=\left|\dfrac{ ax_0 + by_0 + c }{ a^2 + b^2}\right|\sqrt{ a^2 + b^2}\\ &=\dfrac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{ a^2 + b^2}\sqrt{ a^2 + b^2}\\ &=\dfrac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{ \sqrt{ a^2 + b^2}} \end{align}

つまり，$\boldsymbol{d =\dfrac{\left| ax_0 + by_0 + c \right|}{ \sqrt{ a^2 + b^2}}}$となる．

ここで，直線のベクトル方程式をまとめておこう．

直線のベクトル方程式

$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}$，$\overrightarrow{\text{OB}} = \vec{b}$，$\overrightarrow{\text{OD}} = \vec{d}$，$\overrightarrow{\text{OP}} = \vec{p}$ とし，$\text{P}$ は直線上の任意の点で，$s，t$ は実数の変数，$\vec{n} \neq \vec{0}$ とする．

  1. 点$\text{A}$ を通り，$\text{OD}$に平行な直線

    \[\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}\]

  2. 2 点$\text{A}，\text{B}$ を通る直線

    \[\vec{p} = (1 − t)\vec{a} + t\vec{b}\] または \[\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} (s + t = 1)\]

  3. 点$\text{A}$ を通り，$\vec{n}$ に垂直な直線

    \[(\vec{p} − \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0\]