数学B 第5章平面ベクトルと平面図形 — ベクトル方程式

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この節の前提数学II直線の方程式／位置ベクトル／ベクトルの内積

直線のベクトル方程式

直線の通る1点と方向ベクトルが与えられたとき

直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき

点 $A(a)$ を通り $0$ でない $d$ に平行な直線を $l$ とする。このとき、この直線上を動く点 $P$ の位置ベクトル $p$ の表し方を考えよう。

まず、点 $P$ が直線 $l$ 上にある限り、必ず $AP ∥ d$ であるから、ベクトルの平行条件より

$AP = td$

となる実数 $t$ が存在する。

また、 $OP$ はベクトルの分解を考えて

$OP =OA +AP$

つまり

$p = a + td ①$

が成り立つ。

この $①$ のことを、「点 $A(a)$ を通り $d$ に平行な直線のベクトル方程式(vector equation)」といい、 $t$ をその媒介変数(parameter) という。また、 $d$ を、この直線の方向ベクトル(direction vector) という。

$①$ で $t$ がすべての実数をとって変化すれば、点 $P$ は直線 $l$ 上のすべての点を動く。また、 $t$ がある範囲で変化すれば、点 $P$ は直線 $l$ 上の一部の点を動く。

直線l上の点A, Pと点Oに対し、点Oから点Pへのベクトルpが、点Oから点Aへのベクトルaと、点Aから点Pへのベクトルtdの和で表される過程が、上段と下段で描かれている。

「0≦tのとき」と添えられ、点Oから直線l上の点Pへ向かう矢印が描かれている。直線lは点Aを端点とし、上部のベクトルdと同じ方向の点P側が実線、反対側が破線になっている。

「1) 0 ≦ t のとき」とあり、点Oとベクトルdに平行な直線lが描かれている。直線lは点Aから右側の部分が太い実線、左側が破線で表され、実線上の点Pへ向かって点OからベクトルOPが伸びている。 2) t≦0のときとして、点Aを通る直線l上に点Pがあり、点Pは点Aから見てベクトルdと反対側に位置する。点Oから点Pへ伸びる矢印と、直線lのうち点Aから点P側の部分が実線で描かれている。「3) 0≦t≦1のとき」と題し、方向ベクトルdと平行な破線の直線l上で、点Aから点Pまでの線分APが太線で描かれている。点Oからは点Pに向かう矢印が伸びている。「2) t ≦ 0 のとき」というタイトルの下に、右上を向くベクトルdが示されている。点Aを通る直線lのうち、ベクトルdと反対方向の半直線上に点Pがあり、点Oから点Pへ向かう矢印が伸びている。

3) 0≦t≦1のときという見出しのもと、右上がりのベクトルdと、直線l上の2点A、Pが描かれている。原点Oから点Pへ向かう矢印が引かれ、直線l上の線分APが実線で強調されている。

次に、座標平面上で成分表示されたベクトルのベクトル方程式を考えてみよう。

点 $A(x0, y0)$ を通り、方向ベクトルが $d =(dx,dy)$ である直線上の点 $P$ の座標を $P(x, y)$ とおくと、 $a =(x0,y0), p =(x,y)$ であるから、 $①$ より

$p = a + td \Leftrightarrow (x,y)=(x0,y0)+t(dx,dy) \Leftrightarrow { arrayl x = x0 + dxt y = y0 + dyt array .$

と表せる。これを、 $t$ を媒介変数とする直線 $l$ の方程式という。

$dx \neq 0$ かつ $dy \neq 0$ のとき、この式から媒介変数 $t$ を消去すると

$(t =)(x - x0)/dx=(y - y0)/dy$ $\Leftrightarrow y =dy/dx(x - x0) + y0$

となり、これは点 $(x0, y0)$ を通る傾き $dy/dx$ の直線の方程式として、FTEXT数学II の『図形と方程式』ですでに学んだものと一致している。

問題1直線のベクトル方程式～その１～

以下のそれぞれについて、点 $A$ を通り方向ベクトルを $d$ とする直線 $l$ の方程式を、媒介変数 $t$ を用いて表せ。また、媒介変数を用いない形で直線の方程式を表せ。

$A (2, 1), d =(4,3)$
$A (4, 0), d =(-3,2)$
$A (-1, 3), d =(2,0)$
$A (-2, 1), d =(0,-3)$

解答を見る

\begin{eqnarray} \left{ $x=2+4t y=1+3t$ \right. \end{eqnarray}

上式と下式を $t$ について解くと、 $t=(x-2)/4, t=(y-1)/3$ となるから

$(x-2)/4=(y-1)/3 \Leftrightarrowy-1=3/4(x-2) \Leftrightarrowy=(3/4)x-1/2$
\begin{eqnarray} \left{ $x=4-3t y=2t$ \right. \end{eqnarray}

上式と下式を $t$ について解くと、 $t=(x-4)/(-3), t=y/2$ となるから

$(x-4)/(-3)=y/2 \Leftrightarrowy=2/(-3)(x-4) \Leftrightarrowy=-(2/3)x+8/3$
\begin{eqnarray} \left{ $x=-1+2t y=3$ \right. \end{eqnarray}

$t$ が変化すると $x$ はすべての実数をとるが、 $y$ は常に $3$ であるから

$y=3$ ( $x$ はすべての実数)。
\begin{eqnarray} \left{ $x=-2 y=1-3t$ \right. \end{eqnarray}

$t$ が変化すると $y$ はすべての実数をとるが、 $x$ は常に $-2$ であるから

$x=-2$ ( $y$ はすべての実数)。

直線の通る2点が与えられたとき

異なる2 点 $A(a), B(b)$ を通る直線を $l$ とする。このとき、 $l$ は点 $A(a)$ を通り、方向ベクトルが $d =AB = b-a$ の直線であるから、 $l$ 上の点 $P(p)$ に関するベクトル方程式は、前のセクション、「直線の通る1 点と方向ベクトルが与えられたとき」の $p = a + td$ より

$p = a + t(b - a) \Leftrightarrow p = (1 - t)a + tb ①$

となる。

問題2直線のベクトル方程式～その２～

点 $O$ に関する位置ベクトルを $A(a), B(b)$ とする。以下のそれぞれについて、直線 $l$ 上の点 $P(p)$ に関するベクトル方程式を適当な実数 $t$ を用いて表せ。

点Oから点A, Bへ伸ばした矢印と、線分OAを2:1に内分する点と点Bを通る直線lがある。直線l上の点Pに向けて、点Oから破線の矢印が伸びている。

点Oを始点とするベクトルOAが左上方向へ、ベクトルOBが右上方向へ伸びている。直線lは2つの点を通る。1つは線分OBを3対1に内分する点で、Oからその点までが四角数字の3、そこからBまでが四角数字の1と示されている。もう1つはAと反対の側、すなわち半直線AOをOの先へ延長した上にある点で、丸数字の3（OからAまで）と丸数字の2（Oからその点まで）により、長さの比が3対2であることが示されている。直線l上に点Pをとり、Oから破線の矢印OPが引かれている。

解答を見る

線分 $OA$ を $2 : 1$ に内分する点を $C$ とおくと、 $OC =(2/3)OA = (2/3)a$ であるから

$OP = (1 - t)OC + tOB$

$①$ を使った

つまり

$p =(2(1 - t)/3)a + tb$

と表せる。
線分 $OA$ を $2 : 5$ に外分する点を $C$ 、線分 $OB$ を $3 : 1$ に内分する点を $D$ とおくと、 $OC = - (2/3)OA = - (2/3)a$ , $OD = (3/4)OB = (3/4)b$ であるから

$OP = (1 - t)OC + tOD$

$①$ を使った

つまり

$p =((-2(1 - t))/3)a + (3t/4)b$

と表せる。

ここで、 $①$ $p = (1 - t)a + tb$

は、 $1 - t = s$ とおくことにより

$p = sa + tb (s + t = 1) ②$

と表すこともできる。この $s, t$ に適当な条件をつけることにより、半直線や領域などを表すベクトル方程式をつくることができる。

問題31 次結合で表された位置ベクトルの軌跡

点 $O$ に関する位置ベクトルを $A(a), B(b)$ とし、点 $P$ が $OP = sa + tb$ を満たし動くものとする。ただし、3 点 $O, A, B$ は一直線上にないものとする。以下の場合について、点 $P$ の動く範囲を図示せよ。

$s > 0$ かつ $t > 0$
$s < 0$ かつ $t > 0$
$(5/2)s + (2/3)t = 1$
$s + t = 2/3$
$s > 0$ かつ $t > 0$ かつ $s + t < 1$

点Oを始点とする2つのベクトルが描かれている。右方向の点Aに向かう矢印にベクトルa、上方向の点Bに向かう矢印にベクトルbが添えられている。

解答を見る

まず、 $s$ をある定数 $s’ (> 0)$ で固定し

$OP = s’a + tb (t > 0)$

を考えると、点 $P$ は次の図の半直線上にある。

よって、 $s$ を動かすと答えは下図網掛け部分となる。
まず、 $s$ をある定数 $s’ (< 0)$ で固定し

$OP = s’a + tb (t > 0)$

を考えると、点 $P$ は次の図の半直線上にある。

よって、 $s$ を動かすと答えは下図網掛け部分となる。
$OP = sa + tb$ は

$OP = sa + tb \Leftrightarrow OP = 5s/2((2/5)a) + 2t/3((3/2)b)$

と変形でき、条件より $5s/2+2t/3= 1$ であるから、答えは下図の直線部分となる。
$OP = sa + tb$ は

$OP = sa + tb \Leftrightarrow OP = 3s/2((2/3)a) + 3t/2((2/3)b)$

と変形でき、条件より $3s/2+3t/2= 1$ であるから、答えは下図の直線部分となる。
まず、条件より $s > 0, t > 0$ であるから、点 $P$ は1.で求めた領域内にあることが必要。

次に、 $s+t$ の値を $k (< 1)$ で固定する、つまり $s+t = k$ とすると、条件より $s > 0, t > 0$ であるから $k > 0$ なので

$s + t = k$ $\Leftrightarrow s/k + t/k= 1$

となり、 $OP = sa + tb$ は

$OP = sa + tb \Leftrightarrow OP = s/k(ka)+ t/k(kb)$

と変形できるので、点 $P$ は次の図の線分上を動く。

よって、 $s + t$ の値を動かすと答えは下図網掛け部分となる。

直線の通る1点と法線ベクトルが与えられたとき

点 $A(a)$ を通り $0$ でない $n$ に垂直な直線を $l$ とする。このとき、この直線上を動く点 $P$ の位置ベクトル $p$ の表し方を考えよう。

まず、点 $P$ が直線 $l$ 上にある限り、必ず $AP⊥n$ であるから、ベクトルの垂直条件より

$AP ・ n = 0$

となる。

ここで、 $AP = p - a$ であるから

$AP ・ n = 0$

つまり

$(p - a) ・ n = 0 ①$

が成り立つ。

この $①$ のことを、「点 $A(a)$ を通り $n$ に垂直な直線のベクトル方程式」という。また、 $n$ を、この直線の法線ベクトル(normal vector) という。

次に、座標平面上で成分表示されたベクトルのベクトル方程式を考えてみよう。

点 $A(x0, y0)$ を通り、法線ベクトルが $n =(nx,ny)$ である直線上の点 $P$ の座標を $P (x, y)$ とおくと、 $a =(x0,y0), p =(x,y)$ であるから、 $①$ より

$(p - a) ・ n = 0 \Leftrightarrow { (x,y)-(x0,y0) } ・ (nx,ny)= 0 \Leftrightarrow ( x - x0, y - y0) ・ (nx,ny)= 0 \Leftrightarrow nx(x - x0) + ny(y - y0) = 0$

と表せる。

ここで、 $nx$ を $a, ny$ を $b, -(nxx0 + nyy0)$ を $c$ とおけば、この式は

$ax + by + c = 0$

と書きなおされ、これは直線の方程式として、FTEXT数学II『図形と方程式』ですでに学んだものと一致している。

また、このことから、直線 $ax + by + c = 0$ の法線ベクトルの1 つとして $(a,b)$ が拾える。

点Oから直線l上の点Aに向かうベクトルaと、点Pに向かうベクトルpが伸びている。また、直線lに対して垂直な向きに法線ベクトルnが示されている。

問題4直線のベクトル方程式～その３～

次のそれぞれについて、点 $A$ を通り法線ベクトルを $n$ とする直線の方程式を求めよ。

$A(2, 1), n =(4,3)$
$A(4, 0), n =(-3,2)$
$A(-1, 3), n =(2,0)$
$A(-2, 1), n =(0,-3)$

解答を見る

直線 $l$ 上を動く点 $P$ の座標を $(x, y)$ とおく。

$AP ・ n = 0 \Leftrightarrow ( x - 2, y - 1) ・ (4,3)=0 \Leftrightarrow 4(x - 2) + 3(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 11 = 0$
$AP ・ n = 0 \Leftrightarrow ( x - 4, y ) ・ (-3,2)=0 \Leftrightarrow - 3(x - 4) + 2y = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 12 = 0$
$AP ・ n = 0 \Leftrightarrow ( x - (-1), y - 3) ・ (2,0)=0 \Leftrightarrow 2(x + 1) + 0(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x+1 = 0$
$AP ・ n = 0 \Leftrightarrow ( x - (-2), y - 1) ・ (0,-3)=0 \Leftrightarrow 0(x + 2) - 3(y - 1) = 0 \Leftrightarrow y - 1 = 0$

問題5点と直線の距離の公式

直線 $l : ax + by + c = 0$ と点 $A(x0, y0)$ との距離 $d$ を求めよ。

座標平面上に直線 ax+by+c=0 と点 A(x0, y0) があり、点 A から直線へ下ろした垂線の足 H との距離が d と示されている。また、直線に垂直な法線ベクトル n も描かれている。

解答を見る

座標平面上に直線 ax+by+c=0 と点 A(x_0, y_0) があり、点 A から直線へ下ろした垂線の足を H、その長さを d としている。また、直線上の点 P から A へのベクトルや法線ベクトル n が描かれている。

直線 $l$ 上の点を $P(x1, y1)$ とおくと、 $P$ の座標に関して

$ax1 + by1 + c = 0 ①$

が成り立つ。

いま、 $PA$ を $n$ に正射影したベクトル $PA\ton$ は、 $HA$ と等しいので、この $PA\ton$ の大きさが $d$ となる。 $正射影ベクトルの内積での表し方を使った ◀ 正射影ベクトルの内積での表し方 ◀ を使った PA\ton =((PA ・ n)/|n|²)n （注）正射影ベクトルの内積での表し方 =(( x0 - x1, y0 - y1)・ (a,b))/(a² + b²)(a,b) =( a(x0 - x1) + b(y0 - y1))/( a² + b²)(a,b) =( ax0 + by0 - ax1 - by1)/( a² + b²)(a,b) =( ax0 + by0 + c )/( a² + b²)(a,b) （注） ①を使った$

よって

つまり、 $d =(| ax0 + by0 + c |)/( \sqrt( a² + b²))$ となる。

ここで、直線のベクトル方程式をまとめておこう。

定理1直線のベクトル方程式

$OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OD = d$ 、 $OP = p$ とし、 $P$ は直線上の任意の点で、 $s, t$ は実数の変数、 $d \neq 0$ 、 $n \neq 0$ 、 $A \neq B$ とする。

点 $A$ を通り、 $OD$ に平行な直線

$p = a + td$
2 点 $A, B$ を通る直線

$p = (1 - t)a + tb$
または $p = sa + tb (s + t = 1)$
点 $A$ を通り、 $n$ に垂直な直線

$(p - a) ・ n = 0$

円のベクトル方程式

中心と半径が与えられたとき

点 $C(c)$ を中心とする、半径 $r$ の円を $C$ とする。このとき、この円周上を動く点 $P$ の位置ベクトル $p$ の表し方を考えよう。

点 $P$ が円 $C$ 上にあるとき、線分 $CP$ の長さは常に $r$ となる、すなわち $|CP| = r$ となるから

$|CP| = r$ $\Leftrightarrow |p -c| =r ②$

が成り立つ。この $②$ を円 $C$ のベクトル方程式という。

また、座標平面上で $c$ が $c =(x0,y0)$ と成分表示された場合、 $p =(x,y)$ とおくと

となり、これはFTEXT数学II の『図形と方程式』で学習した円の方程式と一致する。

点Oを基準として、点Cを中心とする半径rの円周上に点Pがある。点Oから点Cへのベクトルc、点Oから点Pへのベクトルp、および中心Cと点Pの距離rが示されている。

直径の両端が与えられたとき

異なる2 点 $A(a)$ と $B(b)$ を直径の両端とするの円を $C$ とする。このとき、この円周上を動く点 $P$ の位置ベクトル $p$ の表し方を考えよう。

点 $P$ が円 $C$ 上にあるとき、線分 $AP$ と $BP$ は直交する、すなわち $AP ・ BP = 0$ となるから

$AP ・ BP = 0$ $\Leftrightarrow (p - a) ・ (p - b) = 0 ③$

が成り立つ。この $③$ も円 $C$ のベクトル方程式である。

また、座標平面上で $a$ が $a =(ax,ay), b$ が $b =(bx,by)$ と成分表示された場合、 $p =(x,y)$ とおくと

$(p - a) ・ (p - b) = 0 \Leftrightarrow ((x,y)-(ax,ay)) ・ ((x,y)-(bx,by))= 0 \Leftrightarrow (x-ax,y-ay)・ (x-bx,y-by)= 0 \Leftrightarrow (x - ax)(x - bx) + (y - ay)(y - by) = 0$

となり、これは2 点 $A(ax, ay), B(bx, by)$ を直径とする円の方程式を表す。

原点Oから、線分ABを直径とする円上の点A、P、Bへ伸びる位置ベクトルa、ベクトルp、ベクトルbが描かれている。破線で結ばれた三角形APBの∠Pは直角である。

問題6円のベクトル方程式の別表記

異なる2 点 $A(a)$ と $B(b)$ を直径の両端とする円を $C$ とする。 $③$ より、円 $C$ のベクトル方程式は

$(p - a) ・ (p - b) = 0$

であったが、円 $C$ の中心の位置ベクトルは $(a + b)/2$ 、半径は $(|b -a|)/2$ となるので、前のセクション、「中心と半径が与えられたとき」の $|p -c| =r$ より

$|p -(a + b)/2|=(|b -a|)/2$

とも表される。

いま、この2 式が等しくなることをベクトルの計算で証明せよ。

解答を見る

$両辺が以上なので、乗しても同値が保たれる。 ◀ 両辺が0 以上なので、2 乗しても同値が保たれる。 ◀ |p -(a + b)/2|=(|b -a|)/2 \Leftrightarrow |p -(a + b)/2|²=(|b -a|²)/4 （注）両辺が0 以上なので、2 乗しても同値が保たれる。 \Leftrightarrow |p|² - p ・ (a + b) + (|a + b|²)/4 =(|a|²- 2a ・ b + |b|²)/4 （注） |b -a|²=|a|²- 2a ・ b + |b|² \Leftrightarrow |p|² - p ・ (a + b) + a ・ b = 0 \Leftrightarrow (p - a) ・ (p - b) = 0$

問題7円のベクトル方程式

平面上に定点 $A(a)$ があり、点 $P(p)$ が以下の式を満たしながら動くとき、 $P$ はどのような軌跡を描くか考えよ。

$|p|² - 2a ・ p+|a|² = 4 |a|²$
$|p -a| = 2 |p|$

解答を見る

$ベクトルの計算での「平方完成」 ◀ ベクトルの計算での「平方完成」 |p|² - 2a ・ p +|a|²= 4 |a|² \Leftrightarrow |p -a|²= 4 |a|² （注）ベクトルの計算での「平方完成」 \Leftrightarrow |p -a|= 2 |a|$

よって、 $P$ は $A(a)$ を中心とする半径 $2 \times OA$ の円を描く。
$両辺が以上なので、乗しても同値は保たれるベクトルの計算での「平方完成」 ◀ 両辺が0 以上なので、2 乗しても同値は保たれる ◀ ◀ ベクトルの計算での「平方完成」 |p -a| = 2 |p| \Leftrightarrow |p -a|² = (2|p|)² （注）両辺が0 以上なので、2 乗しても同値は保たれる \Leftrightarrow |p|² - 2a ・ p +|a|²= 4 |p|² （注） |a +b|²=|a|² + 2a ・ b +|b|² \Leftrightarrow 3|p|² + 2a ・ p =|a|² \Leftrightarrow |p|² + (2/3)a ・ p =1/3|a|² \Leftrightarrow |p+(1/3)a|²=4/9|a|² （注）ベクトルの計算での「平方完成」 \Leftrightarrow |p+(1/3)a|=2/3|a|$

よって、 $P$ は $B(- (1/3)a)$ を中心とする半径 $2/3\times OA$ の円を描く。

問題8円の接線のベクトル方程式

点 $C(c)$ を中心とする半径 $r$ の円周上の点 $P0( p0)$ における接線のベクトル方程式は、この接線上を動く点を $P(p)$ として

$( p0 -c) ・ (p -c) = r²$

と表されることを示せ。

また、 $c =(x0,y0), p0 =(x1,y1)$ としたとき、接線の方程式を求めよ。

解答を見る

$CP0$ と $CP$ のなす角を $θ$ として、この2 つのベクトルの内積を考えると

$をに正射影した ◀ をに正射影した CP0 ・ CP = CP0 \times CP \times cos θ \Leftrightarrow CP0 ・ CP = CP0² （注） CP をCP0 に正射影した \Leftrightarrow CP0 ・ CP = r² \Leftrightarrow ( p0 -c) ・ (p -c) = r²$

中心Cの円の接点P0を通る接線上に点Pがある。中心Cから点P0、点Pへ向かう2つのベクトルCP0、CPが描かれており、そのなす角はθである。

接線の方程式は、 $p =(x,y)$ とおき、いま得られた式に、 $c =(x0,y0), p0 =(x1,y1), p =(x,y)$ を代入して

$( p0 -c) ・ (p -c) = r² \Leftrightarrow (x1 - x0,y1 - y0)・ (x - x0,y - y0)= r² \Leftrightarrow (x1 - x0)(x - x0) + (y1 - y0)(y - y0) = r²$

となる。

$CP0 ・ P0P = 0$ より $( p0 -c) ・ (p - p0) = 0$ もある。

以上、円のベクトル方程式をまとめておこう。

定理2円のベクトル方程式

$OA = a, OB = b, OC = c, OP = p$ とし、 $P$ は円周上の任意の点とする。

中心 $C$ 、半径 $r$ の円

$|p -c|=r$
線分 $AB$ を直径とする円 $(p - a) ・ (p - b) = 0$

最終更新: 2026-09-03

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質問の内容

数学B 第5章 平面ベクトルと平面図形 — ベクトル方程式

直線のベクトル方程式

直線の通る1点と方向ベクトルが与えられたとき

問題1直線のベクトル方程式～その１～

直線の通る2点が与えられたとき

問題2直線のベクトル方程式～その２～

問題31 次結合で表された位置ベクトルの軌跡

直線の通る1点と法線ベクトルが与えられたとき

問題4直線のベクトル方程式～その３～

問題5点と直線の距離の公式

定理1直線のベクトル方程式

円のベクトル方程式

中心と半径が与えられたとき

直径の両端が与えられたとき

問題6円のベクトル方程式の別表記

問題7円のベクトル方程式

問題8円の接線のベクトル方程式

定理2円のベクトル方程式

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