円のベクトル方程式

中心と半径が与えられたとき

無題

無題

点$\text{C}(\vec{c})$ を中心とする，半径$r$ の円を$\text{C}$ とする．このとき，この円周上を動く点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．

点$\text{P}$ が円$\text{C}$ 上にあるとき，線分$\text{CP}$ の長さは常に$r$ となる，すなわち$\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r$となるから

\[\left|\overrightarrow{\text{CP}}\right| = r\] \[\Leftrightarrow \left|\vec{p} −\vec{c}\right| =r \tag{2}\label{chuushintohankeigaataeraretatoki2}\]

が成り立つ．この$\eqref{chuushintohankeigaataeraretatoki2}$を円$\text{C}$ のベクトル方程式という．

また，座標平面上で$\vec{c}$ が$\vec{c} =\dbinom{x_0}{y_0}$と成分表示された場合，$\vec{p} =\dbinom{x}{y}$とおくと

\begin{align} &\left|\vec{p} −\vec{c}\right| = r\\ &\Leftrightarrow \left| \dbinom{x}{y}-\dbinom{x_0}{y_0}\right|= r\\ &\Leftrightarrow \left| \dbinom{x-x_0}{y-y_0}\right|= r\\ &\Leftrightarrow \sqrt{(x − x_0)^2 + (y − y_0)^2} = r\\ &\Leftrightarrow (x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 = r^2 \end{align}

となり，これはFTEXT数学II の『図形と方程式』で学習した円の方程式と一致する．

直径の両端が与えられたとき

無題

無題

異なる2 点$\text{A}(\vec{a})$ と$\text{B}(\vec{b})$ を直径の両端とするの円を$\text{C}$ とする．このとき，この円周上を動く点$\text{P}$ の位置ベクトル$\vec{p}$ の表し方を考えよう．

点$\text{P}$ が円$\text{C}$ 上にあるとき，線分$\text{AP}$ と$\text{BP}$ は直交する，すなわち$\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} = 0$ となるから

\[\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} = 0\] \[\Leftrightarrow (\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0 \tag{3}\label{chokkeinoryoutangaataeraretatoki3}\]

が成り立つ．この$\eqref{chokkeinoryoutangaataeraretatoki3}$も円$\text{C}$ のベクトル方程式である．

また，座標平面上で$\vec{a}$ が$\vec{a} =\dbinom{a_x}{a_y}，\vec{b}$ が$\vec{b} =\dbinom{b_x}{b_y}$と成分表示された場合，$\vec{p} =\dbinom{x}{y}$とおくと

\begin{align} &(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0\\ &\Leftrightarrow \left(\dbinom{x}{y}-\dbinom{a_x}{a_y}\right)\\ &\qquad \cdot \left(\dbinom{x}{y}-\dbinom{b_x}{b_y}\right)= 0\\ &\Leftrightarrow \dbinom{x-a_x}{y-a_y}\cdot \dbinom{x-b_x}{y-b_y}= 0\\ &\Leftrightarrow (x − ax)(x − bx) \\ &\qquad + (y − ay)(y − by) = 0 \end{align}

となり，これは2 点$\text{A}(a_x, a_y)，\text{B}(b_x, b_y)$ を直径とする円の方程式を表す．

円のベクトル方程式の別表記

異なる2 点$\text{A}(\vec{a})$ と$\text{B}(\vec{b})$ を直径の両端とする円を$\text{C}$ とする．$\eqref{chokkeinoryoutangaataeraretatoki3}$より，円$\text{C}$ のベクトル方程式は

\[(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0\]

であったが，円$\text{C}$ の中心の位置ベクトルは$\dfrac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$，半径は$\dfrac{\left|\vec{b} −\vec{a}\right|}{2}$となるので，前のセクション、「中心と半径が与えられたとき」の$\left|\vec{p} −\vec{c}\right| =r$より

\[\left|\vec{p} −\dfrac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\right|=\dfrac{\left|\vec{b} −\vec{a}\right|}{2}\]

とも表される．

いま，この2 式が等しくなることをベクトルの計算で証明せよ．

\begin{align} &\left|\vec{p} −\dfrac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\right|=\dfrac{\left|\vec{b} −\vec{a}\right|}{2}\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p} −\dfrac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\right|^2=\dfrac{\left|\vec{b} −\vec{a}\right|^2}{4}\\ &\qquad \blacktriangleleft 両辺が正なので，2 乗しても同値が保たれる．\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p}\right|^2 − \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + \dfrac{\left|\vec{a} + \vec{b}\right|^2}{4}\\ &\qquad =\dfrac{\left|\vec{a}\right|^2− 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \left|\vec{b}\right|^2}{4}\\ &\qquad \blacktriangleleft \left|\vec{a} + \vec{b}\right|^2=\left|\vec{a}\right|^2− 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \left|\vec{b}\right|^2\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p}\right|^2 − \vec{p} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\\ &\Leftrightarrow (\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0 \end{align}

円のベクトル方程式

平面上に定点$\text{A}(\vec{a})$ があり，点$\text{P}(\vec{p})$ が以下の式を満たしながら動くとき，$\text{P}$ はどのような軌跡を描くか考えよ．

  1. $ \left|\vec{p}\right|^2 − 2\vec{a} \cdot \vec{p}+\left|\vec{a}\right|^2 = 4 \left|\vec{a}\right|^2$
  2. $ \left|\vec{p} −\vec{a}\right| = 2 \left|\vec{p}\right|$

  1. \begin{align} &\left|\vec{p}\right|^2 − 2\vec{a} \cdot \vec{p} +\left|\vec{a}\right|^2= 4 \left|\vec{a}\right|^2\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p} −\vec{a}\right|^2= 4 \left|\vec{a}\right|^2\\ &\qquad \blacktriangleleft ベクトルの計算での「平方完成」\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p} −\vec{a}\right|= 2 \left|\vec{a}\right| \end{align}

    よって，$\text{P}$ は$\boldsymbol{\text{A}(\vec{a})}$ を中心とする半径$\boldsymbol{2 \times \text{OA}}$ の円を描く．

  2. \begin{align} &\left|\vec{p} −\vec{a}\right| = 2 \left|\vec{p}\right|\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p} −\vec{a}\right|^2 = \left(2\left|\vec{p}\right|\right)^2\\ &\quad \blacktriangleleft 両辺正なので，2 乗しても同値は保たれる\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p}\right|^2 − 2\vec{a} \cdot \vec{p} +\left|\vec{a}\right|^2= 4 \left|\vec{p}\right|^2\\ &\qquad \blacktriangleleft \left|\vec{a} +\vec{b}\right|^2=\left|\vec{a}\right|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} +\left|\vec{b}\right|^2\\ &\Leftrightarrow 3\left|\vec{p}\right|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{p} =\left|\vec{a}\right|^2\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p}\right|^2 + \dfrac{2}{3}\vec{a} \cdot \vec{p} =\dfrac{1}{3}\left|\vec{a}\right|^2\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p}+\dfrac{1}{3}\vec{a}\right|^2=\dfrac{4}{9}\left|\vec{a}\right|^2\\ &\qquad \blacktriangleleft ベクトルの計算での「平方完成」\\ &\Leftrightarrow \left|\vec{p}+\dfrac{1}{3}\vec{a}\right|=\dfrac{2}{3}\left|\vec{a}\right| \end{align}

    よって，$\text{P}$ は$\boldsymbol{\text{B}\left(− \dfrac{1}{3}\vec{a}\right)}$ を中心とする半径$\boldsymbol{\dfrac{2}{3}\times \text{OA}}$ の円を描く．

円の接線のベクトル方程式

点$\text{C}(\vec{c})$ を中心とする半径$r$ の円周上の点$\text{P}_0( \vec{p_0})$ における接線のベクトル方程式は，この接線上を動く点を$\text{P}(\vec{p})$ として

\[( \vec{p_0} −\vec{c}) \cdot (\vec{p} −\vec{c}) = r^2\]

と表されることを示せ．

また，$\vec{c} =\dbinom{x_0}{y_0}， \vec{p_0} =\dbinom{x_1}{y_1}$としたとき，接線の方程式を求めよ．

$\overrightarrow{\text{CP}_0}$と$\overrightarrow{\text{CP}}$ のなす角を$\theta$ として，この2 つのベクトルの内積を考えると

\begin{align} &\overrightarrow{\text{CP}_0} \cdot \overrightarrow{\text{CP}} = \text{CP}_0 \times \text{CP} \times \cos \theta\\ &\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{CP}_0} \cdot \overrightarrow{\text{CP}} = {\text{CP}_0}^2\\ &\qquad \blacktriangleleft \overrightarrow{\text{CP}} を\overrightarrow{\text{CP}_0} に正射影した\\ &\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{CP}_0} \cdot \overrightarrow{\text{CP}} = r^2\\ &\Leftrightarrow ( \vec{p_0} −\vec{c}) \cdot (\vec{p} −\vec{c}) = r^2 \end{align}
円の接線のベクトル方程式の図その１

接線の方程式は，$\vec{p} =\dbinom{x}{y}$とおき，いま得られた式に，$\vec{c} =\dbinom{x_0}{y_0}， \vec{p_0} =\dbinom{x_1}{y_1}，\vec{p} =\dbinom{x}{y}$を代入して

\begin{align} &( \vec{p_0} −\vec{c}) \cdot (\vec{p} −\vec{c}) = r^2\\ &\Leftrightarrow \dbinom{x_1 − x_0}{y_1 − y_0}\cdot \dbinom{x − x_0}{y − y_0}= r^2\\ &\Leftrightarrow \boldsymbol{ (x_1 − x_0)(x − x_0) }\\ &\qquad \qquad \boldsymbol{+ (y_1 − y_0)(y − y_0) = r^2} \end{align}

となる．

$\overrightarrow{\text{CP}_0} \cdot \overrightarrow{\text{P}_0\text{P}} = 0 $より$( \vec{p_0} −\vec{c}) \cdot (\vec{p} − \vec{p_0}) = 0$ もある．

以上，円のベクトル方程式をまとめておこう．

円のベクトル方程式

$\overrightarrow{\text{OA}} = \vec{a}，\overrightarrow{\text{OB}} = \vec{b}，\overrightarrow{\text{OC}} = \vec{c}，\overrightarrow{\text{OP}} = \vec{p}$ とし，$\text{P}$ は円周上の任意の点とする．

  1. 中心$\text{C}$，半径$r$ の円

    \[\left|\vec{p} −\vec{c}\right|=r\]
  2. 線分$\text{AB}$ を直径とする円 \[(\vec{p} − \vec{a}) \cdot (\vec{p} − \vec{b}) = 0\]