空間での座標の表し方

空間での座標の表し方

空間での座標の表し方の図その１

空間内に1 点$\text{O}$ を定め，$\text{O}$ で互いに直交する3 つの直線$\text{O}_x，\text{O}_y，\text{O}_z$ を引く．これらの各直線を，$\text{O}$ を原点とする数直線と考えたとき，$\text{O}_x，\text{O}_y，\text{O}_z$ を座標軸(coordinate axis) ，または直交座標軸(orthogonal axis) といい，座標軸定められた空間を座標空間(coordinate space) という．

このときの$\text{O}$ のことを座標空間の原点(limiting point) といい，数直線$\text{O}_x，\text{O}_y，\text{O}_z$ をそれぞれ， $\boldsymbol{x}$ 軸(x-axis) ，$\boldsymbol{y}$ 軸(y-axis) ，$\boldsymbol{z}$ 軸(z-axis) という．

また，下図に示すように

  • $x$ 軸と$y$ 軸を含む平面を$\boldsymbol{xy}$ 平面(xy-plane)
  • $y$ 軸と$z$ 軸を含む平面を$\boldsymbol{yz}$ 平面(yz-plane)
  • $z$ 軸と$x$ 軸を含む平面を$\boldsymbol{zx}$ 平面(zx-plane)

という．

空間での座標の表し方の図その2空間での座標の表し方の図その3空間での座標の表し方の図その4
空間での座標の表し方の図その5

空間座標内のある点$\text{P}$ を通り，3 つの座標軸のそれぞれに直交する各平面が，$x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸と交わる点を，それぞれ$\text{A}，\text{B}，\text{C}$ とし，その各座標軸上における座標を，それぞれ$a，b，c$ とする．

このとき定まる3 つの実数の組$(a, b, c)$ を点$\text{P}$ の座標(coordinate) といい，$a，b，c$ をそれぞれ点$\text{P}$ の$\boldsymbol{x}$ 座標(x-coordinate) ，$\boldsymbol{y}$ 座標(y-coordinate) ，$\boldsymbol{z}$ 座標(z-coordinate) という．点$\text{P}$ の座標が$(a, b, c)$ であるとき，$\boldsymbol{\text{P}(a, b, c)}$ と表す．

空間座標

以下の問いに答えよ．

  1. $\text{A}(2, − 1, 3)$ と$xz$ 平面について対称な点$\text{A}’$ の座標を求めよ．
  2. $\text{A}(3, − 2, 4)$ と$\text{B}(2, 0, 3)$ について，線分$\text{AB}$ の長さを求めよ．

無題
無題

  1. 右図のように$y$ 座標の符号が変化し，$x，z$ 座標は不変であるから，$\text{A}’$ の座標は$ \boldsymbol{(2, 1, 3)}$ である．
  2. \begin{align} \text{AB} &=\sqrt{(2 − 3)^2 + (0 + 2)^2 + (3 − 4)^2}\\ &=\boldsymbol{\sqrt{6}} \end{align}