順列について
順列nPrの定義
並べ方の樹形図

4枚のカード A , B , C , D から2枚のカードを引いて,これらを1列に 並べる場合の数は次のように求めることができる.
まず,1枚目のカードの取り方は,4枚のカードのどれを取ってもよいから4通りある.
そして,1枚目のカードが決まれば,2枚目のカードの取り方は,残りの3枚のカードの中から1枚取るから3通りある.
つまり,1枚目のカードの取り方4通りに対して,2枚目のカードの取り方が3通りに定まるから, 2枚のカードの並べ方は『積の法則』より
4×3=12 通り
となる.
右の図は,2枚のカードの並べ方12通りを樹形図と平図を用いて表したものである.
ここで,n個のものからr個とって並べる順列を定義しておこう.
順列 nPr の定義
「区別するn個のものからr個取り出して1列に並べた列」のことを 順列(permutation)といい, その並べ方の総数を nPr と表す
上の例では, 4P2=4×3=12 である.
順列nPrの計算
区別する n 個のものから r 個取り出して1列に並べる順列の数 nPr は,上の例と同じように考えることができる.
1番目のものの取り方は n 通りあり, 2番目のものの取り方はそのそれぞれに対して n−1 通りあり, 3番目のものの取り方はそのそれぞれに対して n−2 通りあり, ⋯ r 番目のものの取り方はそのそれぞれに対して n−(r−1) 通りある.
したがって,『積の法則』より
nPr=n(n−1)⋯(n−r+1)⏟r個の積と計算できることがわかる.
特に, r が n に等しいとき,つまり r=n のときには, nPn=n(n−1)(n−2)⋯⋯3⋅2⋅1 となる.右辺は1から n までの すべての自然数の積であり,これを n の階乗(factorial)といい,記号 n! で表す. つまり
n!= nPn=n(n−1)(n−2)⋯⋯3⋅2⋅1である.
また, r<n のとき, nPr の分母・分子に (n−r)! をかけることにより
nPr=nPr×(n−r)!(n−r)!=n(n−1)⋯(n−r+1)(n−r)⋯2⋅1(n−r)⋯2⋅1と変形なるので,分子は n! で表すことができ
nPr=n!(n−r)!となる.
r=n のとき, (2) は形式的に nPn=n!0! と表せるが, nPn=n! となって欲しいので, 0!=1 と定めることにする. こうすれば, (2) は r=n のときにも成り立つ.
以上, (1) , (2) をまとめると
順列 nPr の計算
順列 nPr は
nPr= n(n−1)(n−2)⋯⋯(n−r+1)=n!(n−r)!と計算できる.ただし,n,rは0以上の整数とし, n≧ とする.
吹き出し無題
よくあるまちがいとして, _{n}\mathrm{P}_{0}=0 としてしまうというのがある. 上の式によれば,
_{n}\mathrm{P}_{0}=\dfrac{n!}{(n-0)!}=1 である. このことは, _{n}\mathrm{P}_{0} すなわち「区別する n 個のものから 0 個取り出して1列に並べる場合の数」は, 「1個も並べない」という1通りである,と
こじつけ
で覚えてしまうとよい.
また, \eqref{zyunretunPrnokeisan2} の _{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!} は,ただ計算上で成り立つだけでなく
とりあえず, n 個の区別するものをすべて並べて n! 通りの樹形図を作ってから,(左から r 個のものにしか着目しないので)関係のない 右から n − r 個の並べ方の違いについては無視するため, (n − r)! 通りで1束にして数えたもの
と考えることもできる.このことの具体例を示すため,以下には _{4}\mathrm{P}_{4}( = 4!) と _{4}\mathrm{P}_{2} の対応を樹形図で表した. _{4}\mathrm{P}_{2} 通りは, _{4}\mathrm{P}_{4} 通りの順列において (4 − 2)! 通りで割って1束にしたものであることを確認しよう.
_{4}\mathrm{P}_{4} と _{4}\mathrm{P}_{2} の樹形図

例題:順列の計算練習
次の値を求めよ.
- _{5}\mathrm{P}_{2}
- _{7}\mathrm{P}_{4}
- _{6}\mathrm{P}_{3}
- _{10}\mathrm{P}_{8}
具体的な数を計算したいときには, \eqref{zyunretunPrnokeisan1} を使う.
- _{5}\mathrm{P}_{2}=5\cdot 4=\boldsymbol{20}
- _{7}\mathrm{P}_{4}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{840}
- _{6}\mathrm{P}_{3}=6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{120}
- \begin{align} _{10}\mathrm{P}_{8}&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\\ &=\boldsymbol{1814400} \end{align}
例題:順列~その1~
- 1,2,3,4,5,6 の6個の数字を使って3桁の整数を作るとき何通りの方法があるか.ただし,同じ文字は二度使えないものとする.
- 30人のクラスがある.このクラスで,委員長,副委員長,書記をそれぞれ一名ずつ決めるとき,何通りの決め方があるか.
- 3桁の整数は,異なる6個の数字から3つ選んで並べることにより作ることができるから
- 委員長,副委員長,書記をそれぞれ一名ずつ決めるには,30人の中から3人を選んで横1列並べ, 左から順に委員長,副委員長,書記とすればよいので
_{6}\mathrm{P}_{3}=6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{120} 通り
_{30}\mathrm{P}_{3}=30\cdot 29\cdot 28=\boldsymbol{24360} 通り
例題:順列~その2~
5個の整数 0,1,2,3,4 があり,この中から異なる数字を用いて整数を作る.
- 3桁の整数は何通り作れるか.
- 3桁の整数で,かつ百の位と十の位が奇数のものは何通り作れるか.
- 百の位にあるのは 0,1,2,3,4 のうち0を除いた ←最高位の数字は0にならないことに注意
- 奇数は1と3の2種類がある. 百の位と十の位に関しての順列は _{2}\mathrm{P}_{2} 通り.このそれぞれに対して, 一の位には残りの0,2,4の3種類の数字が入るので
4種類,このそれぞれに対して 十の位にあるのは百の位で選んだ以外の数字で4種類,さらにこのそれぞれに対して 一の位にあるのは百の位と十の位にない3種類がある.よって
4\cdot 4\cdot 3=\boldsymbol{48} 通り
《別解:補集合を考える》
5種類の文字から3つ選んで並べたときの順列 _{5}\mathrm{P}_{3} 通りから, 百の位の数が0であるときの順列 _{4}\mathrm{P}_{2} 通りを引くことによって
_{5}\mathrm{P}_{3}-_{4}\mathrm{P}_{2}=\boldsymbol{48} 通り
_{2}\mathrm{P}_{2}\cdot 3=\boldsymbol{6} 通り
順列~その3~
7つの整数 1,2,3,4,5,6,7 を1列に並べる.
- 6と7が隣り合うものは何通りあるか.
- 5と6と7が隣り合うものは何通りあるか.
- 両端が1と2になるものは何通りあるか.
- 隣り合う6と7の2つを合わせて1つのものとして考え,全体で6つのものの順列を考え
- 隣り合う5と6と7の3つを合わせて1つのものとして考え,全体で5つのものの順列を考え
- 両端には1と2の順列を考え2通り.

6! 通り
このそれぞれに対して,6と7の並び方は,67と76の2通りあるので
6!\times2=\boldsymbol{1440} 通り

5! 通り
このそれぞれに対して,5と6と7の並び方は, 3! 通りあるので
5!\times3!=\boldsymbol{720} 通り

このそれぞれに対して,両端でない文字は 5! 通りの並び方があるので
5!\times2=\boldsymbol{240} 通り
吹き出し無題
ものを並べる問題で,“隣り合う”ものを考える場合には,その隣り合うものをひとまとめにして考えるとよい.
ボールと箱のモデル1
_{5}\mathrm{P}_{3} の定義は
「区別する5個のものから3個とりだして1列に並べるときの並べ方の総数」
であったが,これは以下に示すボールと箱のモデルを使って
「区別する3個のボールを,区別する5個の箱に多くても1個配る場合の総数」
といいかえることができる.
準備として,ボールは区別するので番号をつけ,それを①,②,③とし, 箱も区別するので番号をつけ,それを


としておく.
まず,ボール①を箱に配ることを考えると,箱は5つあるので5通りの場合がある.
次に,ボール②を箱に配ることを考えると,すでにボール①は箱に配られていて 残りの箱は4つあるので,4通りの場合がある.
さらに,ボール③を箱に配ることを考えると,すでにボール①と②は 箱に配られていて残りの箱は3つあるので,3通りの場合がある.
以上から,ボールの箱への配り方は 5\times4\times3 通りあり,これは _{5}\mathrm{P}_{3} と一致する.
一般に,次のようにまとめることができる.
順列 _{n}\mathrm{P}_{r} のボールと箱のモデル
順列 _{n}\mathrm{P}_{r} はボールと箱のモデルを用いて
「区別する r 個のボールを,区別する n 個の箱に高々1個配る場合の総数」
と考えることができる.