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順列について

順列nPrの定義

並べ方の樹形図

並べ方の樹形図

4枚のカード ABCD から2枚のカードを引いて,これらを1列に 並べる場合の数は次のように求めることができる.

まず,1枚目のカードの取り方は,4枚のカードのどれを取ってもよいから4通りある.

そして,1枚目のカードが決まれば,2枚目のカードの取り方は,残りの3枚のカードの中から1枚取るから3通りある.

つまり,1枚目のカードの取り方4通りに対して,2枚目のカードの取り方が3通りに定まるから, 2枚のカードの並べ方は『積の法則』より

4×3=12 通り

となる.

右の図は,2枚のカードの並べ方12通りを樹形図と平図を用いて表したものである.

ここで,n個のものからr個とって並べる順列を定義しておこう.

順列 nPr の定義

「区別するn個のものからr個取り出して1列に並べた列」のことを 順列(permutation)といい, その並べ方の総数を nPr と表す

上の例では, 4P2=4×3=12 である.

順列nPrの計算

区別する n 個のものから r 個取り出して1列に並べる順列の数 nPr は,上の例と同じように考えることができる.

1番目のものの取り方は n 通りあり, 2番目のものの取り方はそのそれぞれに対して n1 通りあり, 3番目のものの取り方はそのそれぞれに対して n2 通りあり, r 番目のものの取り方はそのそれぞれに対して n(r1) 通りある.

したがって,『積の法則』より

nPr=n(n1)(nr+1)r

と計算できることがわかる.

特に, rn に等しいとき,つまり r=n のときには, nPn=n(n1)(n2)321 となる.右辺は1から n までの すべての自然数の積であり,これを n階乗(factorial)といい,記号 n! で表す. つまり

n!= nPn=n(n1)(n2)321

である.

また, r<n のとき, nPr の分母・分子に (nr)! をかけることにより

nPr=nPr×(nr)!(nr)!=n(n1)(nr+1)(nr)21(nr)21

と変形なるので,分子は n! で表すことができ

nPr=n!(nr)!

となる.

r=n のとき, (2) は形式的に nPn=n!0! と表せるが, nPn=n! となって欲しいので, 0!=1 と定めることにする. こうすれば, (2)r=n のときにも成り立つ.

以上, (1)(2) をまとめると

順列 nPr の計算

順列 nPr

nPr= n(n1)(n2)(nr+1)=n!(nr)!

と計算できる.ただし,n,rは0以上の整数とし, n とする.

吹き出し無題

よくあるまちがいとして, _{n}\mathrm{P}_{0}=0 としてしまうというのがある. 上の式によれば,

_{n}\mathrm{P}_{0}=\dfrac{n!}{(n-0)!}=1 である. このことは, _{n}\mathrm{P}_{0} すなわち「区別する n 個のものから 0 個取り出して1列に並べる場合の数」は, 「1個も並べない」という1通りである,と

こじつけ

で覚えてしまうとよい.

また, \eqref{zyunretunPrnokeisan2}_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!} は,ただ計算上で成り立つだけでなく

とりあえず, n 個の区別するものをすべて並べて n! 通りの樹形図を作ってから,(左から r 個のものにしか着目しないので)関係のない 右から n − r 個の並べ方の違いについては無視するため, (n − r)! 通りで1束にして数えたもの

と考えることもできる.このことの具体例を示すため,以下には _{4}\mathrm{P}_{4}( = 4!)_{4}\mathrm{P}_{2} の対応を樹形図で表した. _{4}\mathrm{P}_{2} 通りは, _{4}\mathrm{P}_{4} 通りの順列において (4 − 2)! 通りで割って1束にしたものであることを確認しよう.

_{4}\mathrm{P}_{4}_{4}\mathrm{P}_{2} の樹形図

$_{4}\mathrm{P}_{4}$ と $_{4}\mathrm{P}_{2}$ の樹形図

例題:順列の計算練習

次の値を求めよ.

  1. _{5}\mathrm{P}_{2}
  2. _{7}\mathrm{P}_{4}
  3. _{6}\mathrm{P}_{3}
  4. _{10}\mathrm{P}_{8}

具体的な数を計算したいときには, \eqref{zyunretunPrnokeisan1} を使う.

  1. _{5}\mathrm{P}_{2}=5\cdot 4=\boldsymbol{20}
  2. _{7}\mathrm{P}_{4}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{840}
  3. _{6}\mathrm{P}_{3}=6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{120}
  4. \begin{align} _{10}\mathrm{P}_{8}&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\\ &=\boldsymbol{1814400} \end{align}

例題:順列~その1~

  1. 1,2,3,4,5,6 の6個の数字を使って3桁の整数を作るとき何通りの方法があるか.ただし,同じ文字は二度使えないものとする.
  2. 30人のクラスがある.このクラスで,委員長,副委員長,書記をそれぞれ一名ずつ決めるとき,何通りの決め方があるか.

  1. 3桁の整数は,異なる6個の数字から3つ選んで並べることにより作ることができるから
  2. _{6}\mathrm{P}_{3}=6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{120} 通り

  3. 委員長,副委員長,書記をそれぞれ一名ずつ決めるには,30人の中から3人を選んで横1列並べ, 左から順に委員長,副委員長,書記とすればよいので
  4. _{30}\mathrm{P}_{3}=30\cdot 29\cdot 28=\boldsymbol{24360} 通り

例題:順列~その2~

5個の整数 0,1,2,3,4 があり,この中から異なる数字を用いて整数を作る.

  1. 3桁の整数は何通り作れるか.
  2. 3桁の整数で,かつ百の位と十の位が奇数のものは何通り作れるか.

  1. 百の位にあるのは 0,1,2,3,4 のうち0を除いた ←最高位の数字は0にならないことに注意
  2. 4種類,このそれぞれに対して 十の位にあるのは百の位で選んだ以外の数字で4種類,さらにこのそれぞれに対して 一の位にあるのは百の位と十の位にない3種類がある.よって

    4\cdot 4\cdot 3=\boldsymbol{48} 通り

    《別解:補集合を考える》

    5種類の文字から3つ選んで並べたときの順列 _{5}\mathrm{P}_{3} 通りから, 百の位の数が0であるときの順列 _{4}\mathrm{P}_{2} 通りを引くことによって

    _{5}\mathrm{P}_{3}-_{4}\mathrm{P}_{2}=\boldsymbol{48} 通り

  3. 奇数は1と3の2種類がある. 百の位と十の位に関しての順列は _{2}\mathrm{P}_{2} 通り.このそれぞれに対して, 一の位には残りの0,2,4の3種類の数字が入るので
  4. _{2}\mathrm{P}_{2}\cdot 3=\boldsymbol{6} 通り

順列~その3~

7つの整数 1,2,3,4,5,6,7 を1列に並べる.

  1. 6と7が隣り合うものは何通りあるか.
  2. 5と6と7が隣り合うものは何通りあるか.
  3. 両端が1と2になるものは何通りあるか.

  1. 隣り合う6と7の2つを合わせて1つのものとして考え,全体で6つのものの順列を考え
  2. 6! 通り

    このそれぞれに対して,6と7の並び方は,67と76の2通りあるので

    6!\times2=\boldsymbol{1440} 通り

  3. 隣り合う5と6と7の3つを合わせて1つのものとして考え,全体で5つのものの順列を考え
  4. 5! 通り

    このそれぞれに対して,5と6と7の並び方は, 3! 通りあるので

    5!\times3!=\boldsymbol{720} 通り

  5. 両端には1と2の順列を考え2通り.
  6. このそれぞれに対して,両端でない文字は 5! 通りの並び方があるので

    5!\times2=\boldsymbol{240} 通り

吹き出し無題

ものを並べる問題で,“隣り合う”ものを考える場合には,その隣り合うものをひとまとめにして考えるとよい.

ボールと箱のモデル1

_{5}\mathrm{P}_{3} の定義は

「区別する5個のものから3個とりだして1列に並べるときの並べ方の総数」

であったが,これは以下に示すボールと箱のモデルを使って

「区別する3個のボールを,区別する5個の箱に多くても1個配る場合の総数」

といいかえることができる.

準備として,ボールは区別するので番号をつけ,それを①,②,③とし, 箱も区別するので番号をつけ,それを

としておく.

まず,ボール①を箱に配ることを考えると,箱は5つあるので5通りの場合がある.

次に,ボール②を箱に配ることを考えると,すでにボール①は箱に配られていて 残りの箱は4つあるので,4通りの場合がある.

さらに,ボール③を箱に配ることを考えると,すでにボール①と②は 箱に配られていて残りの箱は3つあるので,3通りの場合がある.

以上から,ボールの箱への配り方は 5\times4\times3 通りあり,これは _{5}\mathrm{P}_{3} と一致する.

一般に,次のようにまとめることができる.

順列 _{n}\mathrm{P}_{r} のボールと箱のモデル

順列 _{n}\mathrm{P}_{r} はボールと箱のモデルを用いて

「区別する r 個のボールを,区別する n 個の箱に高々1個配る場合の総数」

と考えることができる.