順列について

順列$_{n}\text{P}_{r}$の定義

並べ方の樹形図

4枚のカード $\fbox{A}$ ， $\fbox{B}$ ， $\fbox{C}$ ， $\fbox{D}$ から2枚のカードを引いて，これらを1列に並べる場合の数は次のように求めることができる．

まず，1枚目のカードの取り方は，4枚のカードのどれを取ってもよいから4通りある．

そして，1枚目のカードが決まれば，2枚目のカードの取り方は，残りの3枚のカードの中から1枚取るから3通りある．

つまり，1枚目のカードの取り方4通りに対して，2枚目のカードの取り方が3通りに定まるから， 2枚のカードの並べ方は『積の法則』より

$4\times3=12$ 通り

となる．

右の図は，2枚のカードの並べ方12通りを樹形図と平図を用いて表したものである．

ここで，n個のものからr個とって並べる順列を定義しておこう．

順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の定義

「区別するn個のものからr個取り出して1列に並べた列」のことを 順列(permutation)といい，その並べ方の総数を $\boldsymbol{_{n}\mathrm{P}_{r}}$ と表す

上の例では， $_{4}\mathrm{P}_{2}=4\times3=12$ である．

順列$_{n}\text{P}_{r}$の計算

区別する $n$ 個のものから $r$ 個取り出して1列に並べる順列の数 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ は，上の例と同じように考えることができる．

1番目のものの取り方は $n$ 通りあり， 2番目のものの取り方はそのそれぞれに対して $n − 1$ 通りあり， 3番目のものの取り方はそのそれぞれに対して $n − 2$ 通りあり， $\cdots$ $r$ 番目のものの取り方はそのそれぞれに対して $n − (r − 1)$ 通りある．

したがって，『積の法則』より

\begin{align} _{n}\mathrm{P}_{r}&=\underbrace{n(n-1)\cdots(n-r+1)}\tag{1}\label{zyunretunPrnokeisan1}_{r個の積} \end{align}

と計算できることがわかる．

特に， $r$ が $n$ に等しいとき，つまり $r = n$ のときには， $_{n}\mathrm{P}_{n}=n(n-1)(n-2)\cdots\cdots3\cdot2\cdot1$ となる．右辺は1から $n$ までのすべての自然数の積であり，これを $n$ の階乗(factorial)といい，記号 $\boldsymbol{n!}$ で表す．つまり

\[n!=\ _{n}\mathrm{P}_{n}=n(n-1)(n-2)\cdots\cdots3\cdot2\cdot1\]

である．

また， $r < n$ のとき， $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の分母・分子に $(n − r)!$ をかけることにより

\begin{align} &_{n}\mathrm{P}_{r}=_{n}\mathrm{P}_{r}\times\dfrac{(n-r)!}{(n-r)!}\\ =&\dfrac{n(n-1)\cdots(n-r+1)(n-r)\cdots2\cdot1}{(n-r)\cdots2\cdot1} \end{align}

と変形なるので，分子は $n!$ で表すことができ

\[_{n}\mathrm{P}_{r}=\dfrac{n!}{(n-r)!}\tag{2}\label{zyunretunPrnokeisan2}\]

となる．

$r = n$ のとき，　$\eqref{zyunretunPrnokeisan2}$ は形式的に $_{n}\mathrm{P}_{n}=\frac{n!}{0!}$ と表せるが， $_{n}\mathrm{P}_{n} = n!$ となって欲しいので， $0! = 1$ と定めることにする．こうすれば， $\eqref{zyunretunPrnokeisan2}$ は $r = n$ のときにも成り立つ．

以上， $\eqref{zyunretunPrnokeisan1}$ ， $\eqref{zyunretunPrnokeisan2}$ をまとめると

順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の計算

順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ は

\begin{align} _{n}\mathrm{P}_{r}=&\ n(n-1)(n-2)\cdots\cdots(n-r+1)\\ =&\dfrac{n!}{(n-r)!} \end{align}

と計算できる．ただし，n，rは0以上の整数とし， $n\geqq{r}$ とする．

吹き出し無題

よくあるまちがいとして， $_{n}\mathrm{P}_{0}=0$ としてしまうというのがある．上の式によれば，

$_{n}\mathrm{P}_{0}=\dfrac{n!}{(n-0)!}=1$ である．このことは， $_{n}\mathrm{P}_{0}$ すなわち「区別する $n$ 個のものから $0$ 個取り出して1列に並べる場合の数」は，「1個も並べない」という1通りである，と

こじつけ

で覚えてしまうとよい．

また， $\eqref{zyunretunPrnokeisan2}$ の $_{n}\mathrm{P}_{r}=\frac{n!}{(n-r)!}$ は，ただ計算上で成り立つだけでなく

とりあえず， $n$ 個の区別するものをすべて並べて $n!$ 通りの樹形図を作ってから，（左から $r$ 個のものにしか着目しないので）関係のない右から $n − r$ 個の並べ方の違いについては無視するため， $(n − r)!$ 通りで1束にして数えたもの

と考えることもできる．このことの具体例を示すため，以下には $_{4}\mathrm{P}_{4}( = 4!)$ と $_{4}\mathrm{P}_{2}$ の対応を樹形図で表した． $_{4}\mathrm{P}_{2}$ 通りは， $_{4}\mathrm{P}_{4}$ 通りの順列において $(4 − 2)!$ 通りで割って1束にしたものであることを確認しよう．

$_{4}\mathrm{P}_{4}$ と $_{4}\mathrm{P}_{2}$ の樹形図

$$_{4}\mathrm{P}_{4}$ と $_{4}\mathrm{P}_{2}$ の樹形図$

例題：順列の計算練習

次の値を求めよ．

$_{5}\mathrm{P}_{2}$
$_{7}\mathrm{P}_{4}$
$_{6}\mathrm{P}_{3}$
$_{10}\mathrm{P}_{8}$

例題：順列の計算練習の解答

具体的な数を計算したいときには， $\eqref{zyunretunPrnokeisan1}$ を使う．

$_{5}\mathrm{P}_{2}=5\cdot 4=\boldsymbol{20}$
$_{7}\mathrm{P}_{4}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{840}$
$_{6}\mathrm{P}_{3}=6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{120}$
\begin{align} _{10}\mathrm{P}_{8}&=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\\ &=\boldsymbol{1814400} \end{align}

例題：順列～その1～

$1,2,3,4,5,6$ の6個の数字を使って3桁の整数を作るとき何通りの方法があるか．ただし，同じ文字は二度使えないものとする．
30人のクラスがある．このクラスで，委員長，副委員長，書記をそれぞれ一名ずつ決めるとき，何通りの決め方があるか．

例題：順列～その1～の解答

3桁の整数は，異なる6個の数字から3つ選んで並べることにより作ることができるから

$_{6}\mathrm{P}_{3}=6\cdot 5\cdot 4=\boldsymbol{120}$ 通り

委員長，副委員長，書記をそれぞれ一名ずつ決めるには，30人の中から3人を選んで横1列並べ，左から順に委員長，副委員長，書記とすればよいので

$_{30}\mathrm{P}_{3}=30\cdot 29\cdot 28=\boldsymbol{24360}$ 通り

例題：順列～その2～

5個の整数 $0,1,2,3,4$ があり，この中から異なる数字を用いて整数を作る．

3桁の整数は何通り作れるか．
3桁の整数で，かつ百の位と十の位が奇数のものは何通り作れるか．

例題：順列～その2～の解答

百の位にあるのは $0,1,2,3,4$ のうち0を除いた ←最高位の数字は0にならないことに注意

4種類，このそれぞれに対して十の位にあるのは百の位で選んだ以外の数字で4種類，さらにこのそれぞれに対して一の位にあるのは百の位と十の位にない3種類がある．よって

$4\cdot 4\cdot 3=\boldsymbol{48}$ 通り

《別解：補集合を考える》

5種類の文字から3つ選んで並べたときの順列 $_{5}\mathrm{P}_{3}$ 通りから，百の位の数が0であるときの順列 $_{4}\mathrm{P}_{2}$ 通りを引くことによって

$_{5}\mathrm{P}_{3}-_{4}\mathrm{P}_{2}=\boldsymbol{48}$ 通り

奇数は1と3の2種類がある．百の位と十の位に関しての順列は $_{2}\mathrm{P}_{2}$ 通り．このそれぞれに対して，一の位には残りの0，2，4の3種類の数字が入るので

$_{2}\mathrm{P}_{2}\cdot 3=\boldsymbol{6}$ 通り

順列～その3～

7つの整数 $1,2,3,4,5,6,7$ を1列に並べる．

6と7が隣り合うものは何通りあるか．
5と6と7が隣り合うものは何通りあるか．
両端が1と2になるものは何通りあるか．

順列～その3～の解答

隣り合う6と7の2つを合わせて1つのものとして考え，全体で6つのものの順列を考え

$6!$ 通り

このそれぞれに対して，6と7の並び方は，67と76の2通りあるので

$6!\times2=\boldsymbol{1440}$ 通り

隣り合う5と6と7の3つを合わせて1つのものとして考え，全体で5つのものの順列を考え

$5!$ 通り

このそれぞれに対して，5と6と7の並び方は， $3!$ 通りあるので

$5!\times3!=\boldsymbol{720}$ 通り

両端には1と2の順列を考え2通り．

このそれぞれに対して，両端でない文字は $5!$ 通りの並び方があるので

$5!\times2=\boldsymbol{240}$ 通り

吹き出し無題

ものを並べる問題で，“隣り合う”ものを考える場合には，その隣り合うものをひとまとめにして考えるとよい．

ボールと箱のモデル1

$_{5}\mathrm{P}_{3}$ の定義は

「区別する5個のものから3個とりだして1列に並べるときの並べ方の総数」

であったが，これは以下に示すボールと箱のモデルを使って

「区別する3個のボールを，区別する5個の箱に多くても1個配る場合の総数」

といいかえることができる．

準備として，ボールは区別するので番号をつけ，それを①，②，③とし，箱も区別するので番号をつけ，それを

としておく．

まず，ボール①を箱に配ることを考えると，箱は5つあるので5通りの場合がある．

次に，ボール②を箱に配ることを考えると，すでにボール①は箱に配られていて残りの箱は4つあるので，4通りの場合がある．

さらに，ボール③を箱に配ることを考えると，すでにボール①と②は箱に配られていて残りの箱は3つあるので，3通りの場合がある．

以上から，ボールの箱への配り方は $5\times4\times3$ 通りあり，これは $_{5}\mathrm{P}_{3}$ と一致する．

一般に，次のようにまとめることができる．

順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ のボールと箱のモデル

順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ はボールと箱のモデルを用いて

「区別する $r$ 個のボールを，区別する $n$ 個の箱に高々1個配る場合の総数」

と考えることができる．