組合せについて

組合せ$_{n}\text{C}_{r}$の定義

4枚のカード $\fbox{A}$ , $\fbox{B}$ , $\fbox{C}$ , $\fbox{D}$ から 2枚のカードの(順序は考えずに)組をつくる場合の数は，すべて書き出すと

\begin{align} &\left\{\fbox{A},\fbox{B}\right\},\left\{\fbox{A},\fbox{C}\right\},\left\{\fbox{A},\fbox{D}\right\}\\ &,\left\{\fbox{B},\fbox{C}\right\},\left\{\fbox{B},\fbox{D}\right\},\left\{\fbox{C},\fbox{D}\right\} \end{align}

の6通りとなる．これは，順列の考え方を利用し，次のように計算することもできる．

まず，4枚のカードから2枚引いて順列を作ると，樹形図は図のようになり，その総数は $_{4}\mathrm{P}_{2}=4\times3=12$ 通りである．

しかし，2枚のカードの組を作る場合には，図の樹形図で例えば①，②は並ぶ順が異なるだけなので，これらは2つで1通りと数えなければならない． これら以外の順列にも同様のことがいえるので， 2枚のカードの組の総数は，順列の総数 $_{4}\mathrm{P}_{2}$ を2で割ることにより

\begin{align} \dfrac{_{4}\mathrm{P}_{2}}{2}=\dfrac{12}{2}=6 \end{align}

∴6通り

として計算できる．

このようにいくつかの組をつくる場合の数を定義しておこう．

組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ の定義

「区別する $n$ 個のものから $r$ 個取り出して作った組」のことを $\boldsymbol{n-r}$ 組合せ(combination)

といい， その組の総数を $\boldsymbol{{n}\mathrm{C}{r}}$ と表す．

この例では， $_{4}\mathrm{C}_{2}=\frac{4\times3}{2}=6$ である．

組合せ$_{n}\text{C}_{r}$の計算

区別する $n$ 個のものから $r$ 個取り出して作る組の総数 $_{n}\mathrm{C}_{r}$ も，先程の例と同じように考えることができる．

まず， $n$ 枚のカードから $r$ 枚引いて順列を作ると，その総数は $_{n}\mathrm{P}_{r}$ 通りある．

順列ではなく， $r$ 枚のカードの組を作る場合には， $n-r$ 順列のうち $r!$ 通りについては同一視することになるので， 順列の総数 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ を $r!$ で割ることにより

\begin{align} _{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}=&\ \frac{\overbrace{n(n-1)\cdots(n-r+1)}^{r個の積}}{r(r-1)\cdot2\cdot1}\\ =&\ \frac{n!}{(n-r)!r!} \end{align}

$\blacktriangleleft$ 順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の計算参照

以上，まとめると

組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ の計算

組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ は

\begin{align} _{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}=&\ \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)\cdot2\cdot1}\\ =&\ \frac{n!}{(n-r)!r!} \end{align}

と計算できる．

吹き出し無題

よくあるまちがいとして， $_{n}\mathrm{C}_{0}=0$ としてしまうというのがある． 上の式によれば， $_{n}\mathrm{C}_{0}=\frac{n!}{(n-0)!0!}=1$ である． このことは， $_{n}\mathrm{C}_{0}$ すなわち「区別する $n$ 個のものから0個選ぶ場合の数」は， 「1個も選ばない」という1通りである，と

こじつけ

で覚えてしまうとよい．

組合せの計算練習

次の値を求めよ．

  1. $_{5}\mathrm{C}_{2}$
  2. $_{4}\mathrm{C}_{4}$
  3. $_{10}\mathrm{C}_{3}$
  4. $_{20}\mathrm{C}_{2}$

  1. $_{5}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=\boldsymbol{10}$

  2. $_{4}\mathrm{C}_{4}=\dfrac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\boldsymbol{1}$

  3. $_{10}\mathrm{C}_{3}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=\boldsymbol{120}$

  4. $_{20}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{20\cdot 19}{2\cdot 1}=\boldsymbol{190}$

組合せ〜その1〜

男子が5人，女子が5人いる中で，4人を選ぶ場合の数について以下の問に答えよ．

  1. 男女関係無く選ぶときの場合の数は何通りか．
  2. 男子から2人，女子から2人選ぶときの場合の数は何通りか．
  3. 男子から3人，女子から1人選ぶときの場合の数は何通りか．

  1. $_{10}\mathrm{C}_{4}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\boldsymbol{210}$ 通り
  2. 男子2人の組合せそれぞれに対して，女子2人の組合せが決められるので

    3. $_{5}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{5}\mathrm{C}_{2}=\dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}\cdot \dfrac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=\boldsymbol{100}$ 通り

  3. 男子3人の組合せそれぞれに対して，女子1人の組合せが決められるので

    4. $_{5}\mathrm{C}_{3}\cdot\ _{5}\mathrm{C}_{1}=\dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \dfrac{5}{1}=\boldsymbol{50}$ 通り

組合せ〜その2〜

説明文

説明文

  1. 図のように，横に4本，縦に7本の直行する平行線が引かれている． この中に長方形はいくつあるか求めよ．
  2. 正十角形の対角線の本数を求めよ．

  1. 横4本の平行線のうちから2本，縦7本の平行線のうちから2本をそれぞれ選べば，1個の長方形が定まる．

    2. よって

    $_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{7}\mathrm{C}_{2}=\boldsymbol{126}$ 本

  2. 10個の頂点のうち2個を選べば，1本の対角線または辺が定まる．辺の数は10本であるから，これを除いて

    3. $_{10}\mathrm{C}_{2}-10=45-10=\boldsymbol{35}$ 本

組み分け

10人を次のように分ける方法は何通りあるか．

  1. 7人，3人に分ける．
  2. 5人，5人に分ける．
  3. 4人，3人，3人に分ける．
  4. 2人，2人，2人，2人，2人に分ける．

  1. 10人から3人を選びグループとし，残った7人をもうひとつのグループにすればよい．よって

    2. $_{10}\mathrm{C}_{3}\cdot\ _{7}\mathrm{C}_{7}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot1=\boldsymbol{120}$ 通り

  2. 10人から5人を選びグループとし，残った5人をもうひとつのグループにすればよい．

    3. しかし，10人を $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$ とすると，例えばはじめに $a,b,c,d,e$ の5人を 選んだ場合と，はじめに $f,g,h,i,j$ を選んだ場合では，どちらも

    \begin{align} (a,b,c,d,e)(f,g,h,i,j) \end{align}

    という2つのグループに分かれるという点では同じである．つまり，これらは2つで1通りと数えなければならない．

    他の選び方でも同様のことがいえるので，2で割ることにより重複の分を修正して

    \begin{align} \dfrac{_{10}\mathrm{C}_{5}\cdot\ _{5}\mathrm{C}_{5}}{2} &=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot1\cdot\dfrac{1}{2}\\ &=\boldsymbol{126}通り \end{align}
  3. 最初に4人選びグループとし，残った6人から3,3人のグループをつくればよい． ただし，3人のグループが2つあるので，2. と同じように重複した分は修正する必要がある．
    4. \begin{align} &\ \frac{_{10}\mathrm{C}_{4}\cdot\ _{6}\mathrm{C}_{3}\cdot\ _{3}\mathrm{C}_{3}}{2}\\ =&\ \frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{1}{2}\\ =&\ \boldsymbol{2100} \end{align}

    ∴2100通り

  4. 2人ずつ選んでいって，重複を修正すると
    5. \begin{align} &\ \frac{_{10}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{8}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{6}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{4}\mathrm{C}_{2}\cdot\ _{2}\mathrm{C}_{2}}{5!}\\ =&\ \frac{10\cdot 9}{2\cdot 1}\cdot \frac{8\cdot 7}{2\cdot 1}\cdot \frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}\\ &\qquad\cdot \frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}\cdot \frac{1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\\ =&\ \boldsymbol{945} \end{align}

    ∴945通り

ボールと箱のモデル4

説明文

説明文

$_{5}\mathrm{C}_{3}$ の定義は

「区別する5個のものから3個とりだして作る組の総数」

であったが，これはボールと箱のモデルを使って

「区別しない3個のボールを，区別する5個の箱に多くても1個配る場合の数」

といいかえることができる．これは，次のように説明できる．

準備として，3つのボールは区別しないでそれを $\bigcirc{}$ , $\bigcirc{}$ , $\bigcirc{}$ とし， 箱は区別するので番号をつけ，それをとしておく．

3つの区別しないボールを，5つの区別する箱に高々1個配る場合の総数は，結局5つの箱からボールを入れるための箱を3つ選ぶ 選び方と等しくなり，これは「区別する5個のものから3個とりだして作る組の総数」と考えることができるので $_{5}\mathrm{C}_{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=10$ 通りとなる．

一般に，次のようにまとめることができる．

組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ のボールと箱のモデル

組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ はボールと箱のモデルを用いて

「区別しない $r$ 個のボールを，区別する $n$ 個の箱に高々1個配る場合の総数」

と考えることができる．