メネラウスの定理

メネラウスの定理

メネラウスの定理

無題

$\triangle{\mathrm{ABC}}$ の辺 $\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$ またはその延長が，三角形の頂点を通らない直線 $\text{l}$ と，それぞれ点 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ で交わるとき

$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}}\cdot\frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}}\cdot\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1$

証明

メネラウスの定理

無題

$\triangle{\mathrm{ABC}}$ において，辺 $\text{AC}$ を $3:1$ の比に内分する点を $\text{E}$ ，辺 $\text{AB}$ を $1:2$ の比に内分する点を $\text{F}$ とし， $\text{BE}$ と $\text{CF}$ の交点を $\text{P}$ ， $\text{AP}$ と $\text{BC}$ の交点を $\text{D}$ とする．このとき，次のものを求めよ．

$BD:DC$
$AP:PD$
$CP:PF$
$\triangle{\mathrm{ABP}}:\triangle{\mathrm{ABC}}$

メネラウスの定理の解答

チェバの定理より，

$\frac{\text{BD}}{\text{DC}}\cdot\frac{\text{CE}}{\text{EA}}\cdot\frac{\text{AF}}{\text{FB}}=1,\frac{\text{BD}}{\text{DC}}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=1$

よって，

$BD:DC=\boldsymbol{6:1}$

$\triangle{\mathrm{ADC}}$ と直線 $\text{BE}$ にメネラウスの定理を用いると，

$\frac{\text{DB}}{\text{BC}}\cdot\frac{\text{CE}}{\text{EA}}\cdot\frac{\text{AP}}{\text{PD}}=1,\frac{6}{7}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{\text{AP}}{\text{PD}}=1$

よって，

$AP:PD=\boldsymbol{7:2}$

$\triangle{\mathrm{ACF}}$ と直線 $\text{BE}$ にメネラウスの定理を用いると，

$\frac{\text{CP}}{\text{PF}}\cdot\frac{\text{FB}}{\text{BA}}\cdot\frac{\text{AE}}{\text{EC}}=1,\frac{\text{CP}}{\text{PF}}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{1}=1$

よって，

$CP:PF=\boldsymbol{1:2}$

$AP:PD=7:2$ より， $\triangle{\mathrm{ABP}}=\dfrac{7}{9}\triangle{\mathrm{ABD}}$

$BD:DC=6:1$ より， $\triangle{\mathrm{ABD}}=\dfrac{6}{7}\triangle{\mathrm{ABC}}$

よって， $\triangle{\mathrm{ABP}}=\dfrac{7}{9}\times\dfrac{6}{7}\triangle{\mathrm{ABC}}=\dfrac{2}{3}\triangle{\mathrm{ABC}}$

ゆえに， $\triangle{\mathrm{ABP}}:\triangle{\mathrm{ABC}}=\boldsymbol{2:3}$