線形2項間漸化式の解法
線形2項間漸化式
次の問題について考えてみよう．
線形2項間漸化式～その１～
$a_1=1,a_{n+1}=3a_n+2\quad(n\geqq1)$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ．
まず，上の式の $n$ に $n=1,2,3,4,5,6,\cdots,n$ を代入し，具体的に数列を書き並べてみると
\begin{array}{rc} n:&1&2&3&4&5&6&\cdots&n\\ \{a_n\}:&1&5&17&53&161&485&\cdots&\boxed{?} \end{array}となるが，数列 $\{a_n\}$ は等差数列でも等比数列でもないので， $\boxed{?}$ の部分はすぐにはわからない．
等比数列の漸化式に帰着させる（3項間）
漸化式
\[a_{n+1}=3a_n+2\tag{1}\label{touhisuretunikityaku1}\]において注目すべきは $a_n$ の係数(=3)である．具体的に数列を書き並べていくと，数列 $\{a_n\}$ は約3倍ずつ増えていっていることがわかるだろう．
しかしさきほど述べたように，純粋に3倍されているわけではないので等比数列ではない．原因は漸化式 $\eqref{touhisuretunikityaku1}$ で定数(=2)が加えられているためである．そこで，この定数をうまく消去して，最終的に等比数列の性質から一般項を求める方針で考えてみよう．
定数(=2)を消去するために， $a_{n+1}$ と $a_n$ を $x$ に置きなおした等式を考える.
\[x=3x+2\tag{2}\label{touhisuretunikityaku2}\]$\eqref{touhisuretunikityaku1}$ と $\eqref{touhisuretunikityaku2}$ の式を並べて引き算する．
\begin{array}{c} &a_{n+1}&=&3a_n&+&2\\ -)&x&=&3x&+&2\\\hline &a_{n+1}-x&=&3(a_n-x) \end{array}これで定数部分を消去することができた．
また， $a_n-x=b_n$ と置きなおすと， $b_{n+1}=3b_n$ となることからもわかるように，等比数列の漸化式に帰着することができた．
線形2項間漸化式の解法
線形2項間漸化式～その２～
$a_1=1,a_{n+1}=4a_n+6\quad(n\geqq1)$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ．
漸化式
\[a_{n+1}=4a_n+6\]から，式
\[x=4x+6\tag{1}\label{senkei2koukanzenkasikinokaihou1}\]を辺々ひくと
\[a_{n+1}-x=4(a_n-x)\tag{2}\label{senkei2koukanzenkasikinokaihou2}\]ここで， $\eqref{senkei2koukanzenkasikinokaihou1}$ を解くと
\begin{align} &x=4x+6\\ \Leftrightarrow\ &-3x=6\\ \therefore\ &x=-2 \end{align}となるから， $\eqref{senkei2koukanzenkasikinokaihou2}$ の $x$ にこの値を代入し
\begin{align} &a_{n+1}-(-2)=3\{a_n-(-2)\}\\ &\uparrow a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\\ \therefore\ &a_{n+1}+2=3(a_n+2)\\ \end{align}$\blacktriangleleft$ $b_n=a_n+2$ とおくと $b_{n+1}=3b_n$ と表せ,等比数列であることがわかる
を得る．
これは，数列 $\{a_n+2\}$ が，初項 $(a_1+2)=3$ ，公比4の等比数列であることを表している．
$\blacktriangleleft$ 数列 $\{a_n+2\}$ の初項は $a_1$ ではなく， $a_1+2$ である
よって
\begin{align} &a_n+2=(a_1+2)\cdot4^{n-1}\\ \therefore\ &\boldsymbol{a_n=3\cdot4^{n-1}-2} \end{align}$\blacktriangleleft$ 等比数列の一般項
線形2項間漸化式の解法
$\text{STEP}1$
漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ から方程式 $x=px+q$ をつくる．
$\text{STEP}2$
漸化式 $a_{n+1}=pa_n+q$ から方程式 $x=px+q$ を引き
\[a_{n+1}-x=p(a_n-x)\]を得る．
$\text{STEP}3$
方程式の解 $\alpha$ を求め， $\text{STEP}2$ で得られた漸化式に代入する．
\[a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\]$\text{STEP}4$
等比数列の公式を用いて，漸化式を解き， $a_n$ を求めれば完成．
\begin{align} &a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\\ \therefore\ &a_n-\alpha=(a_1-\alpha)p^{n-1}\\ &\uparrow等比数列の一般項の公式を用いた \end{align}よって， $a_n=(a_1-\alpha)p^{n-1}+\alpha$ となる．