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一般の命題の数学的帰納法

一般の命題の数学的帰納法

一般の命題の場合でも,その命題を等式で表してやれば,等式の数学的帰納法と同様になる.

基本的な数学的帰納法~その3~

2以上の自然数 n において

p の整式 pn+(1p)n1(1p)2 で割りきれる

ことを証明せよ.

  1. n=1 のとき
  2. p2+(1p)21= p22p+1= (1p)2

    となるので,確かに (1) は成り立つ.

  3. n=m のとき( m はある自然数とする) (1) が成り立つと仮定する,つまり
  4. pm+(1p)m1=(1p)2Q(p)

    を満たす p の整式 Q(p) が存在すると仮定する.

    一般に,「整式 f(x)(1p)2 で割りきれる」とは f(x)=(1p)2Q(x) となるような整式 Q(x) が存在することである

    このとき, (1)n=m+1 とおいた等式

    pm+1+(1p)(m+1)1=(1p)2R(p)

    を満たす p の整式 R(p) が存在することを以下に示す.

    仮定 (2) を使えるような形をうまくつくる

    ((3))=ppm+m+1pmp1=ppm+mpmp=p{pm+(1p)m1(2)}p{(1p)m1}+mpmp=p(1p)2Q(p)mp(1p)+p+mpmp

    Q(p) は整数だから pQ(p)+m も整式となり,これを R(p) とおくと

    \begin{align} &(\eqref{meidainokinoho3}の左辺)\\ =&(1-p)^2R(p)\\ =&(\eqref{meidainokinoho3}の右辺)\\ \end{align}

    よって, n=m のとき \eqref{meidainokinoho1} が成り立つと仮定すれば, n=m+1 の場合も \eqref{meidainokinoho1} が成り立つことがいえた.

1. 2. によって,数学的帰納法からすべての自然数 n について, \eqref{meidainokinoho1} は成り立つ.