平面ベクトルの成分表示
平面ベクトルを成分で表す
無題
座標平面上にあるベクトルに対して，そのベクトルを成分を用いて表してみよう．
右図のように，$xy$ 平面上に2 点$\text{A}(2, 3)，\text{B}(7, 6)$ をとり，有向線分$\text{AB}$ を考える．
このとき，$\overrightarrow{\text{AB}}$ を
$x$の増分: $8 − 3 = 5$
$y$の増分: $4 − 1 = 3$
を用いて，$\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} 5\\ 3\\ \end{array} \right)$ と表すことにする．
一般には，点$\text{P}(x_1, y_1)，\text{Q}(x_2, y_2)$ において，有向線分$\text{PQ}$ における$x $の増分$x_2 − x_1，y$の増分$y_2 − y_1$ をもちいて
\[\overrightarrow{\text{PQ}} = \left( \begin{array}{c} x_2 − x_1\\ y_2 − y_1\\ \end{array} \right) \]と表す．ベクトルのこのような表し方を成分表示といい，$x_2 − x_1$ の値を$x $成分(xcomponent)，$y_2 − y_1$ の値を$y$ 成分(y-component) という．
ベクトルの成分表示
無題
右の図のベクトル$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}$ を成分で表せ．
まず，$\vec{a}$ の始点の座標は$(0, 0)$，終点の座標は$(1, 2)$ である．したがって
\[\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 – 0\\ 2 – 0\\ \end{array} \right) = \boldsymbol{ \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \end{array} \right)}\] となる．同様にして，$\boldsymbol{\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 3\\ −2\\ \end{array} \right) ，\vec{c} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 3\\ \end{array} \right)}$となる．成分表示された平面ベクトルの相等
一般に，2 つの$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right) ，\vec{b} = \left( \begin{array}{c} b_x\\ b_y\\ \end{array} \right)$ の相等に関して
\[\vec{a} = \vec{b} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_x = b_x\\ a_y = b_y\\ \end{array} \right. \]が成り立つ．
成分表示された平面ベクトルの大きさ
また，$\overrightarrow{\text{AB}}$ の大きさ$\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right|$ は，線分$\text{AB}$ の長さであるから，三平方の定理より \[\left|\overrightarrow{\text{AB}}\right| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}\]
となる．
一般に，$\vec{a} = \left( \begin{array}{c} a_x\\ a_y\\ \end{array} \right)$ の大きさ$\left|\vec{a}\right|$ は
\[\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\]で求まる．
特に，2 点$\text{P}(x_1, y_1)，\text{Q}(x_2, y_2)$ については
\[\left|\overrightarrow{\text{PQ}}\right| = \sqrt{(x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2}\]となる．
有向線分のあらわすベクトルの大きさ
無題
右の図のベクトル$\vec{a}，\vec{b}，\vec{c}，\vec{d}$ について，それぞれの大きさを求めよ．
\begin{align} \left|\vec{a}\right| &=\sqrt{(1 − 3)^2 + (2 – 3)^2} =\sqrt{4 + 1} =\boldsymbol{\sqrt{5}}\\ \left|\vec{b}\right| &=\sqrt{ (4 − 1)^2 + \{2 − (−2)\}^2 }\\ &=\sqrt{9 + 16} =\boldsymbol{ 5}\\ \left|\vec{c}\right| &=\sqrt{ (−2)^2 + 3^2} =\sqrt{4 + 9} =\boldsymbol{\sqrt{13}}\\ \left|\vec{d}\right| &=\sqrt{\left\{−1 − (−3)\right\}^2 +\left \{−2 − (−1)\right\}^2} \\ &=\sqrt{4 + 1} =\boldsymbol{\sqrt{5}} \end{align}