$_{n}\text{C}_{r}$の性質

1. $_{n}\mathrm{C}_{r}=\ _{n}\mathrm{C}_{n−r}$
1. ～計算式を用いた方法～
\begin{align} &\ _{n}\mathrm{C}_{r}\\ =&\ \frac{_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}\\ =&\ \frac{n!}{(n-r)!r!}\\ =&\ \frac{1}{(n-r)!}\cdot\frac{n!}{r!}\\ =&\ \frac{1}{(n-r)!}\cdot\frac{n!}{\left\{n-(n-r)\right\}!}\\ =&\ \frac{1}{(n-r)!}\cdot\ _{n}\mathrm{P}_{n-r}\\ =&\ \frac{_{n}\mathrm{P}_{n-r}}{(n-r)!}\\ =&\ _{n}\mathrm{C}_{n-r} \end{align}

$\uparrow$ 組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ の計算，順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の計算参照

2. ～組合せの意味を考えた説明～

異なる $n$ 個の中から $r$ 個選ぶ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ 通りそれぞれは， $n$ 個のものから選ばずに残す $(n−r)$ 個のものを選ぶ $_{n}\mathrm{C}_{n−r}$ 通りと 一対一に対応する．つまり， $r$ 個選ぶとは，選ばない $n−r$ を「選ぶ」ことと等しい． よって

\begin{align} _{n}\mathrm{C}_{r}=\ _{n}\mathrm{C}_{n-r} \end{align}

が成り立つ．

2. $_{n}\mathrm{C}_{r}=\ _{n−1}\mathrm{C}_{r}+\ _{n−1}\mathrm{C}_{r−1}$
1. ～計算式を用いた方法～
\begin{align} &\ _{n-1}\mathrm{C}_{r}+\ _{n-1}\mathrm{C}_{r-1}\\ =&\frac{_{n-1}\mathrm{P}_{r}}{r!}+\frac{_{n-1}\mathrm{P}_{r-1}}{(r-1)!}\\ =&\frac{(n-1)!}{\left\{(n-1)-r\right\}!r!}\!\\ &\qquad+\!\frac{(n-1)!}{\left\{(n-1)-(r-1)\right\}!(r-1)!}\\ =&\frac{(n-1)!}{(n-r-1)!r!}+\frac{(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!}\\ =&\frac{(n-1)!}{(n-r-1)!(r-1)!}\left\{\frac{1}{r}+\frac{1}{n-r}\right\}\\ =&\frac{(n-1)!}{(n-r-1)!(r-1)!}\cdot\frac{n}{r(n-r)}\\ =&\frac{n!}{(n-r)!r!}\\ =&\frac{_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}\\ =&_{n}\mathrm{C}_{r} \end{align}

$\uparrow$ 組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ の計算，順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の計算参照

2. ～組合せの意味を考えた説明～

異なるn個のものの中からr個選ぶ方法は，次の2つの場合に分けることができる．

1. ある特定の1個を含まないで $r$ 個選ぶ

$\uparrow\ _{n−1}\mathrm{C}_{r}$ 通り

2. ある特定の1個を含んで $r$ 個選ぶ

$\uparrow\ _{n−1}\mathrm{C}_{r−1}$ 通り

この2つは同時に起こることはないので

\begin{align} _{n}\mathrm{C}_{r}=\ _{n-1}\mathrm{C}_{r}+\ _{n-1}\mathrm{C}_{r-1} \end{align}

$\uparrow$ 和の法則

が成り立つ．

3. $r\ _{n}\mathrm{C}_{r}=n\ _{n-1}\mathrm{C}_{r-1}$
1. ～計算式を用いた方法～
\begin{align} &\ r\ _{n}\mathrm{C}_{r}\\ =&\ r\times\frac{_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}\\ =&\ r\times\frac{n!}{(n-r)!r!}\\ =&\ \frac{n!}{(n-r)!(r-1)!}\\ =&\ n\times\frac{(n-1)!}{\left\{n-1-(r-1)\right\}!(r-1)!}\\ =&\ n\times\frac{_{n-1}\mathrm{P}_{r-1}}{(r-1)!}\\ =&\ n\ _{n-1}\mathrm{C}_{r-1} \end{align}

$\uparrow$ 組合せ $_{n}\mathrm{C}_{r}$ の計算，順列 $_{n}\mathrm{P}_{r}$ の計算参照

2. ～組合せの意味を考えた説明～

$n$ 人の中から $r$ 人の班をつくり班長を決める場合の数について考える． $n$ 人の中から班員 $r$ 人選び，その $r$ 人の中からリーダーを1人決める方法には $_{n}\mathrm{C}_{r}\times{r}$ 通りある． また別の方法として， $n$ 人の中から先にリーダーを決めておき，残りの班員 $r−1$ 人を選ぶ方法には $n\ _{n−1}\mathrm{C}_{r−1}$ 通りある． よって

\begin{align} r_{n}\mathrm{C}_{r}=n\ _{n-1}\mathrm{C}_{r-1} \end{align}

が成り立つ．

北に1区画進むことを↑，東に1区画進むことを→で表すと，例えば図のように進む場合には

$\uparrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow\uparrow\uparrow\rightarrow\uparrow\uparrow\rightarrow\rightarrow$

と表すことができる．

1. 北に1区画進むことを $\uparrow$ ，東に1区画進むことを $\rightarrow$ で表すと，A地点からB地点への最短経路は，5個の $\uparrow$ と6個の $\rightarrow$ ($\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow\rightarrow$ ) を一列に並べる順列の総数に等しい．

よって，求める最短経路の数は

$\dfrac{11!}{5!6!}=\boldsymbol{462}$ 通り

$\uparrow$ 同じ物を含む順列 $\text{C}(n_1,n_2,\cdots,n_m)$ の計算

となる．

1. (C地点を通る最短経路)

まず，A地点からC地点までの最短経路の数は

$\dfrac{4!}{2!2!}=6$ 通り

であり，この6通りそれぞれに対し，C地点からB地点までの最短経路

$\dfrac{7!}{3!4!}=35$ 通り

が決まるから，積の法則より

$6\times35=\boldsymbol{210}$ 通り

2. (D地点を通る最短経路)

同様にして

$\dfrac{7!}{4!3!}\times\dfrac{4!}{1!3!}=35\times4=\boldsymbol{140}$ 通り

3. 集合C,Dをそれぞれ

$C$ :C地点を通る最短経路

$D$ :D地点を通る最短経路

とおくと， $n(C\cap D)$ ，つまりC，D両地点を通る最短経路の数は

\begin{align} n(C\cap D)=&\ \frac{4!}{2!2!}\times\frac{3!}{2!1!}\times\frac{4!}{1!3!}\\ =&\ 6\times3\times4=72 \end{align}

であるから， $n(C\cup D)$ ，つまり求める最短経路の数は

\begin{align} n(C\cup D)&=n(C)+n(D)-n(C\cap D)\\ &=210+140-72=\boldsymbol{278} \end{align}

∴278通り

$\uparrow$ 包含と排除の原理 (2集合版)