ボールと箱のモデル7

説明文

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ボールと箱のモデルを使って

「区別する5個のボールを，区別しない3個の箱に最低1個は配る場合の数」

を求めてみよう．

箱に区別はないが，数を数えやすくするため，とりあえず区別して考えていく．つまり，箱に区別のある 普通の部屋割りに一度戻して考えていく．

ボールは区別するので番号をつけ，それを①，②，③，④，⑤とし， 箱もとりあえず区別するので番号をつけ，それを

としておく．

集合 $A,B,C,U$ をそれぞれ

$A$ :が空になる

$B$ :が空になる

$C$ :が空になる

$U$ :ボールを適当に箱にしまう場合(空・重複有り)

とおくと，部屋割りの数は $n(U)-n(A\cup{B}\cup{C})$ である．

$n(U)=3^5$

$\uparrow$ 重複順列 $_{3}\Pi_{5}$

$n(A)=n(B)=n(C)=2^5$

$\uparrow$ 1つ以上の部屋が空になる場合

$n(A\cap{B})=n(B\cap{C})=n(C\cap{A})=1$

$\uparrow$ 2つ(以上)の箱が空になる場合

$n(A\cap{B}\cap{C})=0$

$\uparrow$ 全部の箱がからになる場合

であるから，包含と排除の原理 (3集合版)を使って

\begin{align} &\ n(U)-n(A\cup{B}\cup{C})\\ =&\ n(U)-\{n(A)+n(B)+n(C)\\ &\ -n(A\cap{B})-n(B\cap{C})-n(C\cap{A})\\ &\ \ +n(A\cap{B}\cap{C})\}\\ =&\ n(U)-n(A)-n(B)-n(C)\\ &\ +n(A\cap{B})+n(B\cap{C})+n(C\cap{A})\\ &\ \ -n(A\cap{B}\cap{C})\\ =&\ 3^5-3\cdot2^5+3-0\\ =&\ 150 \end{align}

∴150通り

となる．

説明文

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以上までが，普通の部屋割りと同じ話であった．部屋に区別がない場合には，以下の点が違う．

今求めた150通りは，部屋に区別がある場合の部屋割りの数であるから，部屋に区別が無いときには，部屋を区別することによって 生じる $3!$ 通りものを1束にして数える必要がある． 例えば，図の $3!$ 通りのものは，部屋を区別しない立場では同一視しなければならない．

ここで，「区別する $n$ 個のボールを，区別しない $r$ 個の箱に最低1個は配る場合の数」を定義しておこう．

部屋割り(部屋の区別が無い場合)の数 $_{n}\mathrm{S}_{r}$ の定義

（無題）

「区別する $n$ 個のボールを，区別しない $r$ 個の箱に最低1個は配る場合の数」を， $\boldsymbol{_{n}\mathrm{S}_{r}}$ と表す．

この例では，$_{5}\mathrm{S}_{3}=\dfrac{150}{3!}=25$ である．

$_{n}\mathrm{S}_{r}$ の計算練習

  1. $_{2}\mathrm{S}_{1}$
  2. $_{2}\mathrm{S}_{2}$
  3. $_{3}\mathrm{S}_{1}$
  4. $_{3}\mathrm{S}_{2}$

  1. $_{2}\mathrm{S}_{1}$ は「区別する2個のボールを，区別しない1個の箱に最低1個は配る場合の数」である．これは，2個のボールを1つの箱にしまう $\boldsymbol{1}$ 通り．
  2. $_{2}\mathrm{S}_{2}$ は「区別する2個のボールを，区別しない2個の箱に最低1個は配る場合の数」 である．これは，2個のボールを2つの箱に1つずつしまう $\boldsymbol{1}$ 通り．
  3. $_{3}\mathrm{S}_{1}$ は「区別する3個のボールを，区別しない1個の箱に最低1個は配る場合の数」 である．これは，3個のボールを1つの箱にしまう $\boldsymbol{1}$ 通り．
  4. $_{3}\mathrm{S}_{2}$ は「区別する3個のボールを，区別しない2個の箱に最低1個は配る場合の数」 である．ボールを配るとき，ボールが1個の箱と2個の箱ができるが，どのボールが1個で箱に入るのかを考え， $_{3}\mathrm{C}_{1}=\boldsymbol{3}$ 通り．

部屋割り (部屋に区別が無い場合)

9人の人が，区別しない3つの部屋に泊まる場合について考える． どの部屋にも最低1人は泊まるものとすると，泊まり方には何通りの方法があるか．

まず，部屋を区別してから考える．求めるものは $_{9}\mathrm{S}_{3}$ である．

まず，3つの部屋を区別して考えていくため，部屋に $a,b,c$ と名前を付ける． 空の部屋があってもよいとした場合，各部屋への人の泊まり方は，各人に対して部屋の選び方が3通りずつあるので， $3^9$ 通り．

このうち，1部屋以上の部屋が空部屋になるのは

$_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot2^9$ 通り

2部屋が空部屋になるのは

$_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot1^9$ 通り

よって，空部屋が無いような人の泊まり方は

\begin{align} &3^9-\left(\ _{3}\mathrm{C}_{1}\cdot2^9-\ _{3}\mathrm{C}_{2}\cdot1^9\right)\\ =\ &3^9-3\times2^9+3通り \end{align}

本来部屋は区別しないので， $3!$ で割って

$\dfrac{3^9-3\times2^9+3}{3!}=\boldsymbol{3025}$ 通り

$\uparrow\ _{9}\mathrm{S}_{3}$